Thuộc tính Isometry bị hạn chế (RIP) trong cảm biến nén

Ý nghĩa của điều kiện Thuộc tính hình học hạn chế (RIP) trong cảm biến nén cho phân tích tín hiệu thưa thớt là gì? Làm thế nào chúng ta có thể định nghĩa Hằng số hình học hạn chế (RIC) cho điều kiện RIP?

Cảm ơn trước!

compressive-sensing

— bộ chỉnh
nguồn

Vui lòng xem bài viết gần đây về các đặc tính, khái quát hóa và tính hữu dụng của RIP trong Cảm biến nén ... arxiv.org/abs/1410.1956

— Oliver

Thuộc tính isometry bị hạn chế nói rằng:

(1 - δ_{S}) | | x | |_{2}^{2} \leq | | A x | |_{2}^{2} \leq (1 + δ_{S}) | | x | |_{2}^{2}

$\begin{equation} (1-\delta_S)||x||_2^2 \le ||A x||_2^2 \le (1+\delta_S)||x||_2^2 \end{equation}$ bất cứ gì

S

$S$ véc tơ

x

$x$ . Hằng số đẳng hình hạn chế là

δ_{S}

$\delta_S$ ,

0 < δ_{S} < 1

$0 < \delta_S < 1$ .

Điều này có nghĩa là ma trận $A$ được đảm bảo chỉ thay đổi độ dài của bất kỳ vectơ $x$ "Rất ít" miễn là vectơ $x$ là ít nhất $S$ -không rõ (có nhiều nhất $S$ hệ số khác không).

Giả sử chúng ta có sự độc đoán $\frac{S}{2}$ vectơ thưa $x$ . Để có thể xây dựng lại các vectơ như vậy nói chung, từ các phép đo được thực hiện như $y = A x$ , chúng ta cần chắc chắn rằng có thể phân biệt giữa các phép đo $y_1 = A x_1$ và $y_2 = A x_2$ của bất kỳ hai vectơ như vậy. Nếu $y_1 = y_2$ cho bất kỳ hai vectơ như vậy $x_1$ và $x_2$ , chúng tôi sẽ không thể phân biệt chúng và tái cấu trúc chúng một cách rõ ràng. Vì vậy, chúng ta cần đảm bảo rằng các phép đo của bất kỳ hai $\frac{S}{2}$ các vectơ khác nhau là "đủ khác nhau".

Nếu chúng ta tính toán sự khác biệt giữa bất kỳ hai $\frac{S}{2}$ các vectơ khác nhau, sự khác biệt của chúng có thể nhiều nhất $S$ -không rõ. Vì vậy, để xây dựng lại bất kỳ $\frac{S}{2}$ véc tơ chính xác từ các phép đo được thực hiện với $A$ , thuộc tính isometry bị hạn chế định lượng tốt như thế nào $A$ hãy để chúng tôi làm điều đó (nhỏ hơn $\delta_S$ , tốt hơn).

Để biết giới thiệu sớm về cảm biến nén và thuộc tính isometry bị hạn chế (và các khái niệm khác), xem Candès & Wakin, 2008 .

— Thomas Arildsen
nguồn

Chúng ta cũng lưu ý rằng hằng số

δ_{S}

$\delta_{S}$ không cần giống nhau ở cả hai phía, ví dụ ma trận cảm biến Gaussian. Xin vui lòng xem bài viết gần đây. arxiv.org/abs/1410.1956

— Oliver

Nếu thuộc tính đã cho giữ cho bất kỳ ma trận con nào của

A

$A$ ?

— Dilawar

người ta có thể kiểm tra thuộc tính RIP cho một ma trận cụ thể trong thực tế với một thuật toán không?

— Charlie Parker

@CharlieParker không tiếc là không. Nó liên quan đến việc tính toán SVD của tất cả các khả năng có thể

S

$S$ các ma trận phụ của

A

$A$ . Điều này nhanh chóng trở thành một số kết hợp không thực tế để tính toán ngay cả đối với kích thước khiêm tốn

A

$A$ . Và, hãy nhớ rằng cảm biến nén hoạt động tốt hơn kích thước lớn hơn của

A

$A$ và

x

$x$ .

— Thomas Arildsen