Ý nghĩa của phần thực và phần ảo của Fourier Biến đổi tín hiệu

Nói là tín hiệu của thời gian , biến đổi Fourier của biến . $f$ $t$ $F$ $v$

Được biết, trong tọa độ cực,cho chúng ta biết tần số hiện diện trên tín hiệu là bao nhiêu và cho chúng ta biết mức độ đóng góp của tần số này được dịch pha. $|F(v)|$ $v$ $Arg(F(v))$

Thông tin nào làm phần thực và phần ảo của nó cho chúng ta biết?

Hoặc nếu tôi điều chỉnh lại câu hỏi của mình: chúng ta có thể đưa ra một diễn giải về biến đổi Fourier trong tọa độ Descartes như chúng ta có thể làm trong tọa độ cực không?

fourier-transform

— người dùng2682877
nguồn

Câu trả lời:

Phần thực và phần ảo của biến đổi Fourier của tín hiệu là biến đổi Fourier của phần chẵn và phần lẻ của tín hiệu: $x(t)$

X_{R} (ω) = \frac{1}{2} [X (ω) + X^{*} (ω)] ⟺ \frac{1}{2} [x (t) + x^{*} (- t)] = x_{e} (t) X_{I} (ω) = \frac{1}{2 j} [X (ω) - X^{*} (ω)] ⟺ \frac{1}{2 j} [x (t) - x^{*} (- t)] = - j \cdot x_{o} (t)

$X_R(\omega)=\frac12[X(\omega)+X^*(\omega)]\Longleftrightarrow\frac12[x(t)+x^*(-t)]=x_e(t)\\ X_I(\omega)=\frac{1}{2j}[X(\omega)-X^*(\omega)]\Longleftrightarrow\frac{1}{2j}[x(t)-x^*(-t)]=-j\cdot x_o(t)$

trong đó và là phần thực và phần ảo của và và là phần chẵn và lẻ của . $X_R(\omega)$ $X_I(\omega)$ $X(\omega)$ $x_e(t)$ $x_o(t)$ $x(t)$

— Matt L
nguồn

Xin lỗi để được dày đặc, nhưng tôi vẫn không nhận được nó. Bạn có ý nghĩa gì bởi "phần chẵn và lẻ" của tín hiệu? (Tôi cũng không chắc mũi tên kép có nghĩa gì trong ký hiệu của bạn.)

— natevw

Cập nhật: có lẽ điều này có liên quan đến các hàm chẵn và lẻ, như được nêu ở đây: cs.unm.edu/~williams/cs530/symmetry.pdf ?

— natevw

@natevw: Mũi tên kép có nghĩa là các hàm ở bên trái và bên phải của nó tạo thành một cặp biến đổi Fourier. Mọi tín hiệu có thể được phân tách thành các phần chẵn và lẻ: , trong đó là một hàm chẵn và là một hàm lẻ.

x (t) = x_{e} (t) + x_{o} (t)

$x(t)=x_e(t)+x_o(t)$

x_{e} (t)

$x_e(t)$

x_{o} (t)

$x_o(t)$

— Matt L.

Cảm ơn, điều đó làm rõ câu trả lời của bạn kết hợp với các slide giới thiệu của bài thuyết trình "đối xứng" mà tôi đã liên kết ở trên!

— natevw

Và j trong phần tưởng tượng / lẻ là gì?

— sssheridan

Nếu có tần số bằng nhau nhưng một tần số âm là khác thì chúng sẽ hủy và sẽ không có tín hiệu tưởng tượng nào.

— Gamaliel
nguồn

-1

$e^{j\omega t}$ $\omega$

— Seetha Rama Raju Sanapala
nguồn

Mặc dù quan điểm của bạn về phần điện trở / phần phản ứng trong các hệ thống tuyến tính có thể thực sự thú vị, nhưng ở dạng hiện tại, câu trả lời của bạn rất lộn xộn và khó hiểu. Tôi đang đánh giá thấp nó

— Antoine Bassoul