Chúng tôi muốn tính toán mối quan hệ định lượng giữa nhiễu tương tự gần tần số LO và thống kê các điểm được tìm thấy trong mặt phẳng IQ sau khi giải điều chế IQ. Để hiểu hoàn toàn câu hỏi, trước tiên chúng tôi đưa ra một mô tả chi tiết về hệ thống giải điều chế IQ.

Hệ thống giải điều chế IQ

Bộ trộn IQ nhận tín hiệu ở tần số cao và đưa chúng đến tần số thấp hơn để chúng có thể được xử lý dễ dàng hơn. Hình 1 cho thấy một sơ đồ của bộ trộn IQ. Tín hiệu dao động cục bộ (LO) $\cos(\Omega t$ ) được sử dụng để trộn tín hiệu RF xuống tần số thấp hơn.

Hệ thống giải điều chế IQ hoàn chỉnh Hình 1: Chuỗi xử lý tín hiệu hoàn chỉnh. Tín hiệu tần số vi sóng (và nhiễu) đi vào bộ trộn IQ thông qua cổng RF. Tín hiệu này được trộn với bộ tạo dao động cục bộ (LO) để chuyển đổi thành tín hiệu tần số trung gian $I$ và $Q$ . Các tín hiệu tần số trung gian sau đó được lọc để loại bỏ thành phần tần số cao còn lại (xem văn bản) và được lấy mẫu kỹ thuật số. Việc phát hiện biên độ và pha của từng thành phần tần số được thực hiện thông qua biến đổi Fourier rời rạc trong logic kỹ thuật số.

Tín hiệu mạch lạc - trường hợp dc

Giả sử trong tín hiệu RF đến là $M \cos(\Omega t + \phi)$ . Sau đó $I$ và $Q$ tín hiệu sẽ là

\begin{aligned} I (t) & = \frac{M}{2} \cos (ϕ) + \frac{M}{2} \cos (2 Ω t + ϕ) \\ Q (t) & = - \frac{M}{2} \sin (ϕ) - \frac{M}{2} \sin (2 Ω t + ϕ) . \end{aligned}

$\begin{align} I(t) &= \frac{M}{2} \cos(\phi) + \frac{M}{2} \cos(2\Omega t + \phi) \\ Q(t) &= -\frac{M}{2} \sin(\phi) - \frac{M}{2} \sin(2\Omega t + \phi) \, . \end{align}$ Chúng tôi chuyển các tín hiệu này qua các bộ lọc thông thấp để loại bỏ

2 Ω

$2 \Omega$ điều khoản, năng suất

\begin{aligned} I_{F} (t) & = \frac{M}{2} \cos (ϕ) \\ Q_{F} (t) & = - \frac{M}{2} \sin (ϕ) . \end{aligned}

$\begin{align} I_F(t) &= \frac{M}{2} \cos(\phi) \\ Q_F(t) &= -\frac{M}{2} \sin(\phi) \, . \end{align}$ Như chúng ta có thể thấy, các dc

I

$I$ và

Q

$Q$ điện áp có thể được coi là tọa độ Descartes cho biên độ và pha của tín hiệu gốc. Do đó, bộ trộn đã thực hiện nhiệm vụ của mình là cho phép chúng ta tìm biên độ và pha của tín hiệu tần số cao bằng cách chỉ thực hiện các phép đo tần số thấp.

Tín hiệu mạch lạc - trường hợp ac

Trong thực tế, chúng ta thường không giải điều chế tín hiệu RF thành dc. Cái này có một vài nguyên nhân:

Mật độ phổ nhiễu hầu như luôn luôn giảm mạnh ở tần số thấp.
Nếu chúng ta muốn đo đồng thời biên độ và pha của một số thành phần hình sin ở các tần số khác nhau, chúng ta không thể giải điều chế trực tiếp thành dc trong phần tương tự của hệ thống.

Như một ví dụ liên quan đến # 2, chúng ta có thể có

R F (t) = M_{1} \cos ([Ω + ω_{1}] t + ϕ_{1}) + M_{2} \cos ([Ω + ω_{2}] t + ϕ_{2}) .

$\begin{equation} RF(t) = M_1 \cos([\Omega + \omega_1] t + \phi_1 ) + M_2 \cos([\Omega + \omega_2] t + \phi_2) \, . \end{equation}$ Để tìm biên độ và pha của cả hai thành phần tần số, chúng ta phải sử dụng xử lý tín hiệu phức tạp hơn một chút. Các

I_{F}

$I_F$ và

Q_{F}

$Q_F$ dạng sóng trong trường hợp này là

\begin{aligned} I_{F} (t) & = \frac{M_{1}}{2} \cos (ω_{1} t + ϕ_{1}) + \frac{M_{2}}{2} \cos (ω_{2} t + ϕ_{2}) \\ Q_{F} (t) & = - \frac{M_{1}}{2} \sin (ω_{1} t + ϕ_{1}) - \frac{M_{2}}{2} \sin (ω_{2} t + ϕ_{2}) . \end{aligned}

$\begin{align} I_F(t) &= \frac{M_1}{2} \cos(\omega_1 t + \phi_1) + \frac{M_2}{2} \cos(\omega_2 t + \phi_2) \\ Q_F(t) &= -\frac{M_1}{2} \sin(\omega_1 t + \phi_1) - \frac{M_2}{2} \sin(\omega_2 t + \phi_2) \, . \end{align}$ Để tìm cả biên độ và cả hai pha, về cơ bản chúng ta cần thực hiện một phép biến đổi Fourier. Để làm điều này, chúng tôi số hóa các dạng sóng, mang lại

\begin{aligned} I_{n} & = \frac{M_{1}}{2} \cos (ω_{1} n δ t + ϕ_{1}) + \frac{M_{2}}{2} \cos (ω_{2} n δ t + ϕ_{2}) \\ Q_{n} & = - \frac{M_{1}}{2} \sin (ω_{1} n δ t + ϕ_{1}) - \frac{M_{2}}{2} \sin (ω_{2} n δ t + ϕ_{2}) \end{aligned}

$\begin{align} I_n &= \frac{M_1}{2} \cos(\omega_1 n \delta t + \phi_1) + \frac{M_2}{2} \cos(\omega_2 n \delta t + \phi_2) \\ Q_n &= - \frac{M_1}{2} \sin(\omega_1 n \delta t + \phi_1) - \frac{M_2}{2} \sin(\omega_2 n \delta t + \phi_2) \end{align}$ Ở đâu

δ t

$\delta t$ là khoảng thời gian lấy mẫu kỹ thuật số. Sau đó, trong logic kỹ thuật số, chúng tôi xây dựng chuỗi phức tạp

z_{n}

$z_n$ Được định nghĩa bởi

z_{n} \equiv I_{n} + i Q_{n}

$z_n \equiv I_n + i Q_n$ . Đối với các tín hiệu được viết ở trên, đây là

z_{n} = \frac{M_{1}}{2} \exp (i [ω_{1} n δ t + ϕ_{1}]) + \frac{M_{2}}{2} \exp (i [ω_{2} n δ t + ϕ_{2}]) .

$\begin{equation} z_n = \frac{M_1}{2} \exp \left( i \left[ \omega_1 n \delta t + \phi_1 \right] \right) + \frac{M_2}{2} \exp \left( i \left[ \omega_2 n \delta t + \phi_2 \right] \right) \, . \end{equation}$ Nếu chúng ta bây giờ, trong logic kỹ thuật số, hãy tính tổng

Z (ω_{k}) = \frac{1}{N} \sum_{n = 0}^{N - 1} z_{n} e^{- i ω_{k} n δ t}

$\begin{equation} Z(\omega_k) = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} z_n e^{-i \omega_k n \delta t} \end{equation}$ chúng tôi phục hồi biên độ và pha cho thành phần ở tần số

ω_{k}

$\omega_k$ . Ví dụ, nếu chúng ta tính toán

Z (ω_{1})

$Z(\omega_1)$ chúng ta sẽ nhận được

(M_{1} / 2) \exp (i ϕ_{1})

$(M_1/2) \exp(i \phi_1)$ .

Tiếng ồn

Trong thực tế tín hiệu luôn đi kèm với nhiễu. Ảnh hưởng của tiếng ồn là tạo ra $Z(\omega)$ một biến ngẫu nhiên thay vì một giá trị xác định. Nói cách khác, cho mỗi $\omega$ $Z(\omega)$ là ngẫu nhiên và sẽ khác nhau cho mỗi lần thực hiện thí nghiệm.

Chúng ta có thể đoán từ trực giác rằng trong sự hiện diện của tiếng ồn $Z(\omega)$ có phân bố đối xứng tròn trong mặt phẳng IQ với giá trị trung bình bằng giá trị xác định $(M/2)\exp(i \phi)$ . Câu hỏi là chính xác phân phối thống kê của $Z$ trong sự hiện diện của tiếng ồn?

— DanielSank
nguồn

Bởi vì mỗi bước trong chuỗi xử lý là tuyến tính, chúng tôi xem xét một trường hợp chỉ có nhiễu và không có tín hiệu kết hợp. Biểu thị tiếng ồn $\xi(t)$ . Các $I$ và $Q$ tín hiệu là

\begin{aligned} I (t) & = ξ (t) \cos (Ω t) \\ Q (t) & = - ξ (t) \sin (Ω t) . \end{aligned}

$\begin{align}\ I(t) &= \xi(t) \cos(\Omega t) \\ Q(t) &= - \xi(t) \sin(\Omega t) \, . \end{align}$ Chúng tôi biểu thị hiệu ứng của bộ lọc dưới dạng tích chập với chức năng đáp ứng thời gian

h

$h$ ,

I_{F} (t) = \int_{- \infty}^{\infty} d t^{'} ξ (t^{'}) \cos (Ω t^{'}) h (t - t^{'})

$\begin{equation} I_F(t) = \int_{-\infty}^\infty dt' \, \xi(t') \cos(\Omega t') h(t - t') \end{equation}$ và tương tự cho

Q_{F}

$Q_F$ . Lưu ý rằng, vì bộ lọc là nhân quả,

h (t) = 0

$h(t)=0$ cho

t < 0

$t<0$ . Việc lấy mẫu chỉ đơn giản là chọn giá trị của

I_{F}

$I_F$ và

Q_{F}

$Q_F$ vào những thời điểm

{n δ t}

$\{ n \delta t \}$ ,

I_{n} = \int_{- \infty}^{\infty} d t^{'} ξ (t^{'}) \cos (Ω t^{'}) h (n δ t - t^{'})

$\begin{equation} I_n = \int_{-\infty}^\infty dt' \, \xi(t') \cos(\Omega t') h(n \delta t - t') \end{equation}$ và tương tự cho

Q_{n}

$Q_n$ . Sau khi xây dựng được mô tả ở trên cho phần kỹ thuật số của chuỗi xử lý, chúng tôi có

Z (ω) = \frac{1}{N} \sum_{n = 0}^{N - 1} \int_{- \infty}^{\infty} d t^{'} ξ (t^{'}) e^{- i Ω t^{'}} h (n δ t - t^{'}) e^{- i ω n δ t} .

$\begin{equation} Z(\omega) = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} \int_{-\infty}^\infty dt' \, \xi(t') e^{-i \Omega t'} h(n \delta t - t') e^{-i \omega n \delta t} \, . \end{equation}$ Do đó, vấn đề của chúng tôi là tính toán số liệu thống kê của biểu thức này.

Thay đổi biến $n \delta t - t' \rightarrow t'$ sản xuất

Z (ω) = \frac{1}{N} \sum_{n = 0}^{N - 1} \int_{- \infty}^{\infty} d t^{'} ξ (n δ t - t^{'}) e^{- i Ω (n δ t - t^{'})} h (t^{'}) e^{- i ω n δ t} .

$\begin{equation} Z(\omega) = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \int_{-\infty}^\infty dt' \, \xi(n \delta t - t') e^{-i \Omega (n \delta t - t')} h(t') e^{-i \omega n \delta t} \, . \end{equation}$ Ở giai đoạn này, chúng ta có thể kiểm tra độ tỉnh táo bằng cách tính giá trị trung bình của

Z (ω)

$Z(\omega)$ . Hãy nhớ rằng, đây là một quần thể trung bình. Nói cách khác, chúng tôi đang tính toán giá trị trung bình của

Z (ω)

$Z(\omega)$ mà chúng ta sẽ tìm thấy bằng cách chuyển đổi nhiều trường hợp nhiễu được giải điều chế thành các điểm IQ và sau đó lấy giá trị trung bình của tất cả các điểm đó. Trong mọi trường hợp, kết quả là

\begin{aligned} ⟨ Z (ω) ⟩ & = \frac{1}{N} \sum_{n = 0}^{N - 1} \int_{- \infty}^{\infty} d t^{'} \underset{0}{\underset{⏟}{⟨ ξ (n δ t - t^{'}) ⟩}} e^{- i Ω (n δ t - t^{'})} h (t^{'}) e^{- i ω n δ t} \\ = 0 . \end{aligned}

$\begin{align} \langle Z(\omega) \rangle &= \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \int_{-\infty}^\infty dt' \, \underbrace{\langle\xi(n \delta t - t')\rangle}_0 e^{-i \Omega (n \delta t - t')} h(t') e^{-i \omega n \delta t} \\ &= 0 \, . \end{align}$ Điều này có ý nghĩa như chúng ta mong đợi tiếng ồn không nên thay đổi giá trị trung bình của điểm IQ được giải điều chế, mà chỉ nên thêm một số tính ngẫu nhiên tập trung vào giá trị xác định.

Tôi không biết làm thế nào để tính toán số liệu thống kê của $Z(\omega)$ trực tiếp, vì vậy chúng tôi thực hiện một cách tiếp cận khác bằng cách tính toán thay vì bình phương trung bình của $Z(\omega)$ . Theo định lý giới hạn trung tâm, phần thực và phần ảo của $Z$ nên có ít nhất xấp xỉ Guassian phân phối (và, như chúng tôi đã chỉ ra, không tương quan) để tìm mô đun bình phương trung bình của $Z$ thực sự nói với chúng ta tất cả những gì chúng ta cần biết

Chúng tôi tiến hành bằng cách trực tiếp xây dựng $|Z(\omega)|^2$ và lấy trung bình thống kê (trung bình thống kê được ký hiệu là $\langle \cdot \rangle$ ).

\begin{aligned} ⟨ {| Z (ω) |}^{2} ⟩ & = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} d t^{'} d t^{″} \frac{1}{N^{2}} \sum_{n, m = 0}^{N - 1} \\ e^{i Ω (t^{'} - t^{″})} h (t^{'}) h (t^{″}) ⟨ ξ (n δ t - t^{'}) ξ (m δ t - t^{″}) ⟩ e^{- i (Ω + ω) (n - m) δ t} . (*) \end{aligned}

$\begin{align} \langle \left| Z(\omega) \right| ^2 \rangle &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty dt' \, dt'' \, \frac{1}{N^2} \sum_{n,m=0}^{N-1} \nonumber \\ & e^{i\Omega (t' - t'')} h(t') h(t'') \langle \xi(n\delta t - t') \xi(m\delta t - t'') \rangle e^{-i(\Omega + \omega)(n - m)\delta t} \, . \qquad (*) \end{align}$ Bây giờ chúng ta sử dụng định lý Wiener-Khinchin nói rằng đối với một quá trình ngẫu nhiên đứng yên

ξ (t)

$\xi(t)$ trung bình thống kê

⟨ ξ (τ) ξ (0) ⟩

$\langle \xi(\tau) \xi(0) \rangle$ có liên quan đến mật độ phổ công suất

S_{ξ}

$S_\xi$ thông qua phương trình sau:

⟨ ξ (τ) ξ (0) ⟩ = \frac{1}{2} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d ω}{2 π} S_{ξ} (ω) e^{i ω τ} .

$\begin{equation} \langle \xi(\tau) \xi(0) \rangle = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega}{2\pi} S_\xi(\omega) e^{i \omega \tau} \, . \end{equation}$ Sử dụng công thức này cho

⟨ ξ (n δ t - t^{'}) ξ (m δ t - t^{″})

$\langle \xi(n\delta t - t') \xi(m\delta t - t'')$ sản lượng

\begin{aligned} ⟨ | Z (ω) |^{2} ⟩ & = \frac{1}{2} \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} d t^{'} d t^{″} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d ω^{'}}{2 π} \frac{1}{N^{2}} \sum_{n, m = 0}^{N - 1} \\ e^{i Ω (t^{'} - t^{″})} h (t^{'}) h (t^{″}) S_{ξ} (ω^{'}) e^{i ω^{'} ((n - m) δ t - (t^{'} - t^{″}))} e^{- i (Ω + ω) (n - m) δ t} \\ = \frac{1}{2} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d ω^{'}}{2 π} | h (ω^{'} - Ω) |^{2} S_{ξ} (ω^{'}) {| \frac{1}{N} \sum_{n = 0}^{N - 1} e^{- i (Ω + ω - ω^{'}) n δ t} |}^{2} \\ = \frac{1}{2 N} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d ω^{'}}{2 π} | h (ω^{'} - Ω) |^{2} S_{ξ} (ω^{'}) \underset{N^{th} order Fejer kernel}{\underset{⏟}{\frac{1}{N} {(\frac{\sin ([Ω + ω - ω^{'}] δ t N / 2)}{\sin ([Ω + ω - ω^{'}] δ t / 2)})}^{2}}} \\ = \frac{1}{2 N} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d ω^{'}}{2 π} | h (ω^{'} - Ω) |^{2} S_{ξ} (ω^{'}) F_{N} ([Ω + ω - ω^{'}] δ t / 2) \end{aligned}

$\begin{align} \langle|Z(\omega)|^2 \rangle &= \frac{1}{2} \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty dt' \, dt'' \, \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi}\frac{1}{N^2} \sum_{n,m=0}^{N-1} \nonumber \\ & e^{i\Omega (t' - t'')} h(t') h(t'') S_\xi(\omega') e^{i\omega' ((n-m)\delta t - (t' - t''))} e^{-i(\Omega + \omega)(n - m)\delta t} \\ &= \frac{1}{2} \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi} |h(\omega' - \Omega)|^2 S_\xi(\omega') \left| \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} e^{-i(\Omega + \omega - \omega') n \delta t} \right|^2 \\ &= \frac{1}{2N} \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi} |h(\omega' - \Omega)|^2 S_\xi(\omega') \underbrace{ \frac{1}{N} \left( \frac{\sin([\Omega + \omega - \omega'] \delta t N / 2)}{\sin([\Omega + \omega - \omega']\delta t / 2)} \right)^2 }_{N^{\text{th}}\text{ order Fejer kernel}} \\ &= \frac{1}{2N} \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi} |h(\omega' - \Omega)|^2 S_\xi(\omega') \mathcal{F}_N([\Omega + \omega - \omega'] \delta t / 2) \\ \end{align}$ Ở đâu

F_{N}

$\mathcal{F}_N$ là

N^{th}

$N^{\text{th}}$ đặt hàng nhân Fejer . Thay đổi biến

Ω - ω^{'} \to ω^{'}

$\Omega - \omega' \rightarrow \omega'$ chúng tôi nhận được

⟨ | Z (ω) |^{2} ⟩ = \frac{1}{2 N} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d ω^{'}}{2 π} | h (- ω^{'}) |^{2} S_{ξ} (Ω - ω^{'}) F_{N} ([ω^{'} + ω] δ t / 2) .

$\begin{equation} \langle |Z(\omega)|^2 \rangle = \frac{1}{2N} \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi} |h(-\omega')|^2 S_\xi(\Omega - \omega') \mathcal{F}_N([\omega' + \omega]\delta t / 2) \, . \end{equation}$ Cho đến nay các kết quả đã được chính xác và kết quả chính xác có thể được tìm thấy bằng cách đánh giá số các tích phân. Bây giờ chúng tôi thực hiện một loạt các giả định tương đối yếu để đi đến một công thức thực tế. Nhân Fejer

F_{N} (x)

$\mathcal{F}_N(x)$ có trọng lượng tập trung gần

x = 0

$x=0$ . Do đó, chúng tôi hòa nhập hơn

S_{ξ}

$S_\xi$ chỉ dành cho tần số gần

Ω

$\Omega$ và vì vậy, trong tích phân này, chúng ta có thể tính gần đúng

S_{ξ}

$S_\xi$ như một hằng số

S (Ω - ω^{'}) \approx S_{ξ} (Ω)

$S(\Omega - \omega') \approx S_\xi(\Omega)$ , cho

⟨ | Z (ω) |^{2} ⟩ = \frac{1}{2 N} S_{ξ} (Ω) \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d ω^{'}}{2 π} | h (- ω^{'}) |^{2} F_{N} ([ω^{'} + ω] δ t / 2) .

$\begin{equation} \langle |Z(\omega)|^2 \rangle = \frac{1}{2N} S_\xi(\Omega) \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi} |h(-\omega')|^2 \mathcal{F}_N([\omega' + \omega]\delta t / 2) \, . \end{equation}$ Ở đây chúng ta có thể thấy rằng các thống kê nhiễu của điểm IQ được giải điều chế chỉ phụ thuộc vào mật độ phổ RF gần tần số LO. Điều này thật ý nghĩa; bộ trộn IQ được thiết kế để đưa nội dung tín hiệu gần tần số LO và đưa nó xuống mức IF thấp hơn, nơi nó có thể được xử lý. Các bộ lọc khử răng cưa loại bỏ tất cả các thành phần tần số ở quá xa LO.

Null đầu tiên của $\mathcal{F}_N(x)$ xảy ra tại $x = 2\pi / N$ và hầu hết trọng lượng được chứa trong một vài thùy đầu tiên. Các null đầu tiên là do

\frac{ω_{null}^{'}}{2 π} = - \frac{ω}{2 π} \pm \frac{1}{N δ t} .

$\begin{equation} \frac{\omega'_{\text{null}}}{2\pi} = - \frac{\omega}{2\pi} \pm \frac{1}{N \delta t} \, . \end{equation}$ Điều này có nghĩa là tích phân trên

ω^{'}

$\omega'$ bị chi phối bởi các tần số trong một phạm vi được cho bởi tần số lấy mẫu chia cho

N

$N$ . Trong hầu hết các ứng dụng thực tế, phạm vi này rất nhỏ

h (ω)

$h(\omega)$ gần như không đổi trong phạm vi này. Nếu đó là trường hợp, chúng ta có thể thay thế

h (- ω^{'})

$h(-\omega')$ với

h (ω)

$h(\omega)$ (lưu ý rằng

h (- ω) = h (ω)

$h(-\omega) = h(\omega)$ ) Phát hiện

\begin{aligned} ⟨ | Z (ω) |^{2} ⟩ & = \frac{1}{2 N} S_{ξ} (Ω) | h (ω) |^{2} \underset{1 / δ t}{\underset{⏟}{\int_{- \infty}^{\infty} \frac{d ω^{'}}{2 π} F_{N} ([ω^{'} + ω] δ t / 2 N)}} \\ = \frac{S_{ξ} (Ω)}{2 T} | h (ω) |^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \langle |Z(\omega)|^2 \rangle &= \frac{1}{2N}S_\xi(\Omega)|h(\omega)|^2 \underbrace{ \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi} \mathcal{F}_N([\omega' + \omega] \delta t / 2 N) }_{1 / \delta t} \\ &= \frac{S_\xi(\Omega)}{2 T} |h(\omega)|^2 \end{align}$ Ở đâu

T \equiv N δ t

$T \equiv N \delta t$ là tổng thời gian đo.

Tỷ lệ tín hiệu trên tạp âm

Một cách hợp lý cũng được biết rằng nếu một biến ngẫu nhiên $Z$ có Gaussian và các phần thực và ảo phân phối độc lập, và có mô đun bình phương trung bình $R$ , sau đó các phân phối của phần thực và phần ảo của biến đó có độ lệch chuẩn $\sqrt{R/2}$ . $^{[a]}$ Do đó, lấy kết quả của chúng tôi cho $\langle |Z(\omega)|^2 \rangle$ , quan sát của chúng tôi rằng các phần thực và tưởng tượng của $Z$ được phân phối theo Gaussian và thực tế là chúng không tương thích, $^{[b]}$ chúng ta biết rằng độ lệch chuẩn của các bản phân phối của phần thực và phần ảo là

σ = \sqrt{S_{ξ} (Ω) | h (ω) |^{2} / 4 T} .

$\begin{equation} \sigma = \sqrt{S_\xi(\Omega) |h(\omega)|^2 / 4 T} \, . \end{equation}$ Như đã thảo luận ở đầu, một tín hiệu

M \cos ([Ω + ω] t + ϕ)

$M \cos([\Omega + \omega] t + \phi)$ trở thành

(M / 2) e^{i ϕ}

$(M/2)e^{i \phi}$ trong mặt phẳng IQ. Tất nhiên, ở đó chúng tôi đã bỏ qua ảnh hưởng của bộ lọc mà chỉ đơn giản là mở rộng biên độ thành

Z (ω) = \frac{M | h (ω) |}{2} e^{i ϕ} .

$\begin{equation} Z(\omega) = \frac{M |h(\omega)|}{2} e^{i \phi} \, . \end{equation}$ Giả sử, như được minh họa trong Hình 2, chúng tôi đang sử dụng hệ thống giải điều chế IQ để phân biệt giữa hai hoặc nhiều tín hiệu, mỗi tín hiệu có một pha khác nhau nhưng có cùng biên độ

M

$M$ . Do nhiễu, mỗi biên độ / pha có thể dẫn đến một đám mây điểm trong mặt phẳng IQ với khoảng cách xuyên tâm

M | h (ω) | / 2

$M |h(\omega)|/2$ từ nguồn gốc. Khoảng cách giữa tâm của hai đám mây là

g (M / 2) | h (ω) |

$g(M/2)|h(\omega)|$ Ở đâu

g

$g$ là một yếu tố hình học phụ thuộc vào các giai đoạn của các đám mây. Nếu góc vòng cung giữa hai đám mây là

θ

$\theta$ và trung tâm của mỗi đám mây là tương đương từ nguồn gốc sau đó

g = 2 \sin (θ / 2)

$g = 2 \sin(\theta / 2)$ . Ví dụ: nếu hai giai đoạn là

\pm π / 2

$\pm\pi/2$ sau đó

g = 2 \sin (π / 2) = 2

$g=2 \sin(\pi/2) = 2$ . Về mặt hình học, điều này là do khoảng cách giữa các trung tâm của đám mây lớn hơn gấp đôi so với khoảng cách của một trong hai đám mây từ gốc.

Tỷ lệ tín hiệu / nhiễu (SNR) là

\begin{aligned} SNR & \equiv \frac{{separation}^{2}}{2 \times (cloud std deviation)^{2}} \\ = \frac{(g M | h (ω) | / 2)^{2}}{2 S_{ξ} (Ω) | h (ω) |^{2} / 4 T} \\ = \frac{(g M)^{2} T}{2 S_{ξ} (Ω)} \\ = \frac{g^{2} P T}{S_{ξ} (Ω)} . \end{aligned}

$\begin{align} \text{SNR} & \equiv \frac{\text{separation}^2}{2 \times (\text{cloud std deviation})^2} \\ &= \frac{(g M |h(\omega)|/2)^2}{2 S_\xi(\Omega) |h(\omega)|^2 / 4T} \\ &= \frac{(g M)^2 T}{2 S_\xi(\Omega)}\\ &= \frac{g^2 P T}{S_\xi(\Omega)} \, . \end{align}$ Ở đâu

P \equiv M^{2} / 2

$P \equiv M^2/2$ là công suất tương tự đến. Lưu ý rằng SNR không phụ thuộc vào

h

$h$ . Để ghi nhớ kết quả này, lưu ý rằng công suất nhiễu là mật độ phổ nhân với băng thông

B

$B$ . Đang lấy

B = 1 / T

$B = 1/T$ chúng tôi thấy rằng kết quả của chúng tôi chỉ nói rằng SNR trong mặt phẳng IQ chính xác bằng SNR tương tự nhân với yếu tố hình học

g^{2}

$g^2$ .

nhập mô tả hình ảnh ở đây

Hình 2: Hai đám mây IQ. Sự tách biệt giữa tâm của các đám mây tỷ lệ thuận với cường độ xuyên tâm của chúng $M$ , nhưng được thu nhỏ bởi một yếu tố hình học $g$ . Được chiếu lên đường nối giữa tâm của chúng, mỗi đám mây trở thành phân bố Gaussian với chiều rộng $\sqrt{S_\xi(\Omega)|h(\omega)|^2/4T}$ .

$[a]$ : Tra cứu phân phối vuông chi .

$[b]$ : Chúng ta có thể thấy rằng phần thực và phần ảo của $Z$ trong thực tế không tương quan bằng cách viết tương đương của phương trình $(*)$ nhưng cho $\langle \Re Z \Im Z \rangle$ . Làm điều này, chúng ta sẽ thấy rằng tổng đã biến thành kernel Fejer trong trường hợp cho $\langle |Z|^2 \rangle$ sẽ về không (ít nhất là xấp xỉ) bởi vì nó sẽ gần như là sự chồng chéo của một sin và cos, là trực giao.