Làm cách nào để ước tính hàm truyền từ đáp ứng tần số chỉ cường độ?

Với đáp ứng tần số tùy ý, phương thức xử lý tín hiệu nào có thể tồn tại có thể đoán, ước tính hoặc xác định hàm truyền (chòm sao cực và không) mang lại xấp xỉ "hợp lý tốt" (đối với một số tiêu chí chất lượng ước tính đã cho) cho đáp ứng tần số đã cho đó? Điều gì có nghĩa là tồn tại để ước tính số cực và số không cần thiết cho một hàm truyền nhất định cộng với một khoản phụ cấp sai số gần đúng nhất định? Hoặc làm thế nào người ta có thể xác định những ràng buộc này không thể được đáp ứng, nếu có thể?

Nếu đáp ứng tần số đã cho thực sự được tạo ra bởi một hàm truyền đã biết, liệu bất kỳ phương thức nào trong số các phương thức này sẽ hội tụ vào hàm truyền ban đầu đó? Sẽ thế nào nếu đáp ứng tần số đã cho có bị lỗi đo lường (giả định Gaussian)?

Giả sử làm việc trong mặt phẳng Z với phổ được lấy mẫu, mặc dù các câu trả lời miền liên tục cũng có thể thú vị.

Đã thêm: Các phương thức giải pháp có khác nhau không nếu chỉ đưa ra cường độ của đáp ứng tần số (ví dụ: một giải pháp có bất kỳ đáp ứng pha nào được cho phép)?

Đã thêm: Vấn đề thứ hai là điều tôi quan tâm nhất, với đáp ứng cường độ đã biết xung quanh vòng tròn đơn vị, nhưng phản ứng pha không xác định / không đo lường được, hệ thống đo có thể được ước tính, và nếu vậy trong điều kiện nào?

transfer-function frequency-response zeros

— hotpaw2
nguồn

Bạn đang cố gắng để xấp xỉ một đáp ứng tần số tùy ý như một phổ hợp lý? Đó là (b [0] + b [1] z ^ -1 ...) / (1 + a [1] z ^ -1 ...)? Nếu vậy, điều này thường được gọi là mô hình ARMA. Khó hơn so với mô hình AR vì sự tự tương quan của tín hiệu có xu hướng liên quan phi tuyến tính với các hệ số trung bình di động (b [] hoặc 0). Nếu giả định của tôi là đúng, tôi có thể viết một phản hồi chính thức hơn.

— Bryan

@Bryan: Vâng. Tôi đã cố gắng ngụ ý rằng bằng cách nêu một giải pháp "cực và không" (một hàm truyền hợp lý) là phù hợp (tốt nhất là chỉ khi tốt hơn tất cả các cực hoặc tất cả các giải pháp / ước tính bằng không cùng độ).

— hotpaw2

Ý nghĩa nào được gắn với đáp ứng tần số ? Một số người phân biệt giữa chức năng đáp ứng tần số

hoặc

và hàm truyền

và một số người không. Xem ví dụ, các cuộc thảo luận sau câu trả lời này cho một câu hỏi trước đó.

H (ω)

$H(\omega)$

H (f)

$H(f)$

H (s)

$H(s)$

— Dilip Sarwate

@Dilip Sarwate: Chỉ cho H (w) cho vòng tròn đơn vị (có thừa không?), Giải / ước tính một biểu diễn mặt phẳng z hoàn chỉnh. Hy vọng rằng, điều đó phù hợp với tuyên bố ban đầu của tôi về câu hỏi.

— hotpaw2

Bạn cũng thay đổi mọi thứ. Các cực và các số không có thể thay đổi với đáp ứng cường độ vẫn như cũ. Ví dụ phổ biến nhất về điều này là khi người ta đang thiết kế bộ lọc pha tối thiểu. Điều này thường liên quan đến việc lấy một hệ thống hiện có và phản ánh các cực và số không trong vòng tròn đơn vị. Điều này chỉ thay đổi đáp ứng pha, không phải phản ứng cường độ.

— Bryan

Câu trả lời:

Một cách tiếp cận là sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất miền tần số (FDLS) . Đưa ra một tập hợp các mẫu (phức tạp) của đáp ứng tần số của hệ thống thời gian rời rạc và thứ tự bộ lọc được nhà thiết kế chọn, phương pháp FDLS sử dụng tối ưu hóa bình phương tuyến tính nhỏ nhất để giải quyết cho các hệ số (ánh xạ trực tiếp đến các cực của và số không) cho hệ thống có đáp ứng tần số khớp với đáp ứng mong muốn với tổng bình phương tối thiểu.

Đáp ứng tần số của hệ thống thời gian rời rạc tuyến tính bậc có thể được viết là: $N$

H (ω) = H (z) |_{z = e^{j ω}}

$H(\omega) = H(z)|_{z=e^{j\omega}}$

$H(z)$ $z$

H (z) = \frac{\sum_{k = 0}^{N} b_{k} z^{- k}}{1 + \sum_{k = 1}^{N} a_{k} z^{- k}}

$H(z) = \frac{\sum_{k=0}^{N}b_kz^{-k}}{1 + \sum_{k=1}^{N}a_kz^{-k}}$

Do đó, đáp ứng tần số là:

H (ω) = \frac{\sum_{k = 0}^{N} b_{k} e^{- j k ω}}{1 + \sum_{k = 1}^{N} a_{k} e^{- j k ω}}

$H(\omega) = \frac{\sum_{k=0}^{N}b_ke^{-jk\omega}}{1 + \sum_{k=1}^{N}a_ke^{-jk\omega}}$

Sắp xếp lại ở trên để có được:

\sum_{k = 0}^{N} b_{k} e^{- j k ω} - H (ω) (1 + \sum_{k = 1}^{N} a_{k} e^{- j k ω}) = 0

$\sum_{k=0}^{N}b_ke^{-jk\omega} - H(\omega) \left(1 + \sum_{k=1}^{N}a_ke^{-jk\omega}\right) = 0$

$2N+1$ $b_k$ $a_k$ $H(\omega)$ $\omega$

$\omega_m \in [0, 2\pi), m = 0, 1, \ldots , M-1$ $M > 2N+1$ $M \gg 2N+1)$ $\omega_k$

\sum_{k = 0}^{N} b_{k} e^{- j k ω_{k}} - H (ω_{k}) (1 + \sum_{k = 1}^{N} a_{k} e^{- j k ω_{k}}) = 0

$\sum_{k=0}^{N}b_ke^{-jk\omega_k} - H(\omega_k) \left(1 + \sum_{k=1}^{N}a_ke^{-jk\omega_k}\right) = 0$

$H(\omega_k)$ $\omega_k$ $b_k$ $a_k$ $H(\omega)$

Kỹ thuật này có một vài ưu điểm:

Bất kỳ đáp ứng tần số phức (cường độ và pha) tùy ý có thể được sử dụng làm mẫu. Nếu bạn chỉ có một ràng buộc cường độ, bạn chỉ có thể chọn một phản ứng pha, chẳng hạn như pha tuyến tính.
$a_k$
Kỹ thuật này rất đơn giản để thực hiện và có thể dễ dàng tham số hóa dựa trên thứ tự hệ thống mong muốn.
$N$

Bạn có thể mở rộng phương pháp này một chút để sử dụng tối ưu hóa bình phương có trọng số nhỏ nhất nếu cần; điều này sẽ cho phép bạn chỉ định các vùng của đáp ứng tần số có lỗi xấp xỉ có trọng số hơn các vùng khác. Điều này cho phép bạn kiểm soát chặt chẽ hơn các khu vực băng thông / băng chặn trong khi vẫn cho phép nhiều dốc hơn trong các khu vực "không quan tâm".

— Jason R
nguồn

Câu trả lời tuyệt vời !! "Nghệ thuật" trong việc thực hiện các thiết kế bộ lọc với ít lỗi vuông nhất là xác định chính xác "lỗi" là gì. Điều này được kiểm soát bằng cách chọn lưới tần số phù hợp, các yếu tố trọng số ở tần số cụ thể và thêm nhiều ràng buộc hơn cho hành vi băng tần và cũng để giữ các cực của bạn trong vòng tròn đơn vị.

— Hilmar

Vấn đề với giải pháp tiềm năng này là, nếu pha không biết về hàm truyền hiện có, FDLS có thể hội tụ vào giải pháp sai nếu giả sử pha sai, bất kể thứ tự được đoán chính xác hay phản ứng cường độ được đo chính xác.

— hotpaw2

@ hotpaw2: Đó là điều được mong đợi. Nếu bạn không biết gì về đáp ứng pha, thì có vô số giải pháp có giá trị như nhau (nghĩa là chúng sẽ có đáp ứng cường độ chính xác). Bạn sẽ cần một số thông tin để hướng bạn đến những gì bạn cho là giải pháp phù hợp nhất.

— Jason R

@JasonR: Các giải pháp đúng duy nhất phải là hoán vị của các cực lật / số không bên trong / bên ngoài, đây là một số hữu hạn cho bất kỳ hệ thống trật tự hữu hạn (hiện có) nào.

— hotpaw2

Các đồng nghiệp của tôi đã có kết quả tuyệt vời với phù hợp vector :

Vector lắp là một phương pháp số mạnh mẽ cho xấp xỉ hợp lý trong miền tần số. Nó cho phép xác định các mô hình không gian trạng thái trực tiếp từ các đáp ứng tần số được đo hoặc tính toán, cho cả hai hoặc nhiều hệ thống đầu vào / đầu ra. Các xấp xỉ kết quả đã đảm bảo các cực ổn định là có thật hoặc đến trong các cặp liên hợp phức tạp.

Chúng tôi sử dụng nó để chuyển đổi FIR sang IIR.

Đối với các ứng dụng ít đòi hỏi hơn, bạn chỉ có thể sử dụng các hình vuông nhỏ nhất phi tuyến phù hợp cho một số cực và số không cố định. Điều này được thực hiện trong Matlab như invfreqsvà invfreqz.

— ngòi nổ
nguồn

Một cách tiếp cận khác: vẽ đáp ứng tần số và điều chỉnh âm mưu Bode cho nó tốt nhất có thể. Điều này có thể được thực hiện rất nhanh chóng cho một giải pháp gần đúng, hoặc trong một số ý nghĩa bình phương nhỏ nhất cho phù hợp hơn. GTH

— G Heydt
nguồn