Mối quan hệ giữa sigma trong Laplacian của Gaussian và hai sigmas trong Sự khác biệt của Gaussian là gì?

Tôi hiểu rằng bộ lọc Laplacian-of-Gaussian có thể được xấp xỉ bằng bộ lọc Difference-of-Gaussian và tỷ lệ của hai sigmas cho sau này phải là 1: 1.6 cho xấp xỉ tốt nhất. Tuy nhiên, tôi không chắc hai sigmas trong Sự khác biệt của Gaussian liên quan đến sigma cho Laplacian của Gaussian như thế nào. Là sigma nhỏ hơn trong cái trước bằng với sigma của cái sau? Là sigma lớn hơn? Hay là mối quan hệ gì khác?

Tôi hiểu rằng bộ lọc Laplacian-of-Gaussian có thể được xấp xỉ bằng bộ lọc Difference-of-Gaussian và tỷ lệ của hai sigmas cho sau này phải là 1: 1.6 cho xấp xỉ tốt nhất

Về lý thuyết, tỷ lệ giữa hai sigmas càng nhỏ thì phép tính gần đúng càng tốt. Trong thực tế, bạn sẽ gặp lỗi số tại một số điểm, nhưng miễn là bạn đang sử dụng số dấu phẩy động, các giá trị nhỏ hơn 1.6 sẽ cho bạn một xấp xỉ tốt hơn.

Để minh họa, tôi đã vẽ một mặt cắt ngang của LoG và DoG cho một vài giá trị của k trong Mathicala:

Như bạn có thể thấy, k = 1.6 không phải là một xấp xỉ lý tưởng. Ví dụ, k = 1.1 sẽ cho gần đúng hơn nhiều.

Nhưng bạn thường muốn tính toán xấp xỉ LoG cho một loạt các sigmas. (Mặt khác, tại sao phải bận tâm với xấp xỉ DoG? Tính toán một hình ảnh được lọc LoG duy nhất không tốn kém hơn so với tính toán một hình ảnh được lọc DoG duy nhất.) Vì vậy, giá trị của k thường được chọn để bạn có thể tính toán một loạt gaussian được lọc hình ảnh với sigmas s, s k, s k ^ 2, s * k ^ 3 ..., và sau đó tính toán sự khác biệt giữa các gaussian liền kề. Vì vậy, nếu bạn chọn một k nhỏ hơn, bạn sẽ phải tính toán nhiều "lớp" gaussian hơn cho cùng phạm vi sigma. k = 1.6 là sự đánh đổi giữa muốn có một xấp xỉ gần đúng và không muốn tính toán quá nhiều gaussian khác nhau.

Tuy nhiên, tôi không chắc hai sigmas trong Sự khác biệt của Gaussian liên quan đến sigma cho Laplacian của Gaussian như thế nào. Là sigma nhỏ hơn trong cái trước bằng với sigma của cái sau?

$t=\sigma ^2$$\sqrt{\sigma ^2+\text{$\Delta $t}}$$\sqrt{\sigma ^2-\text{$\Delta $t}}$$\text{$\Delta $t}\to 0$

$\sigma _{\text{Laplace}}=\sigma \sqrt{\frac{1+k^2}{2}}$

Có lẽ các công thức ở đây có thể giúp bạn.

Do biểu diễn không gian tỷ lệ thỏa mãn phương trình khuếch tán, LoG có thể được tính là chênh lệch giữa hai lát không gian tỷ lệ.

Do đó, khi lấy công thức DoG, trước tiên chúng ta xấp xỉ LoG với sự khác biệt hữu hạn. Tôi nghĩ rằng tỷ lệ cụ thể cho sigma xuất phát từ thực tế là một bước đơn vị trong quy mô được thực hiện để xấp xỉ LoG ở vị trí đầu tiên.