Đối xứng biến đổi Fourier rời rạc

9

Tôi đã đọc chương về các biến đổi Fourier rời rạc trong cuốn sách của Lyons - Hiểu về xử lý tín hiệu số - và không thể hiểu đoạn cuối về đối xứng.

Có một thuộc tính đối xứng bổ sung của DFT đáng được đề cập tại thời điểm này. Trong thực tế, đôi khi chúng tôi được yêu cầu xác định DFT của các hàm đầu vào thực trong đó chỉ số đầu vào được xác định trên cả giá trị dương và âm. Nếu hàm đầu vào thực đó là chẵn thì luôn luôn là thực và chẵn; nghĩa là, nếu thực , thì nói chung là khác không và bằng không. Ngược lại, nếu hàm đầu vào thực là số lẻ, , thì luôn bằng 0 và là , nói chung, khác không. $n$ $X(m)$ $x(n) = x(−n)$ $X_{\textrm{real}}(m)$ $X_{\textrm{imag}}(m)$ $x(n) = −x(−n)$ $X_{\textrm{real}}(m)$ $X_{\textrm{imag}}(m)$

Lưu ý: $X(m) = X_{\textrm{real}}(m) + jX_{\textrm{imag}}(m)$

Thứ nhất, "lẻ" và "chẵn" nghĩa là gì? Tôi nghi ngờ đó là số lượng mẫu trong tín hiệu đầu vào, nhưng điều đó dẫn tôi đến câu hỏi thứ hai,
Tại sao zero với các hàm đầu vào thực là chẵn và tại sao, với các hàm đầu vào thực là số lẻ, là zero và nói chung khác không? $X_{\textrm{imag}}(m)$ $X_{\textrm{real}}(m)$ $X_{\textrm{imag}}(m)$

discrete-signals dft

— một số
nguồn

vi.wikipedia.org/wiki/Even_and_odd_fifts

— endolith

Vâng, sau câu trả lời của Hilmar, tôi hiểu đó là những gì văn bản đang đề cập đến.

— someguy

8

Chẵn & lẻ đề cập đến sự đối xứng xung quanh . $n = 0$

Thậm chí có nghĩa là ; bạn có thể lấy phần cho bằng cách chỉ phản chiếu phần cho tại dòng . $x[n] = x[-n]$ $n < 0$ $n > 0$ $n=0$

Tỷ lệ lẻ có nghĩa là ; bạn có thể lấy phần cho bằng cách chỉ phản chiếu phần cho tại dòng và nhân nó với . $x[n] = -x[-n]$ $n < 0$ $n > 0$ $n=0$ $-1$

Một sóng cosin là chẵn, sóng sin là số lẻ.

Đây chỉ là những trường hợp đặc biệt của sự đối xứng chung mà nói

nếu nó có thật trong một miền, thì nó sẽ đối xứng với nhau.

Liên hợp đối xứng có nghĩa là phần thực là chẵn và phần ảo là số lẻ. Hầu hết mọi người đều biết rằng tín hiệu miền thời gian thực là phổ đối xứng liên hợp, nhưng nó cũng đi theo hướng khác: tín hiệu miền thời gian đối xứng liên hợp có phổ có giá trị thực.

— Hilmar
nguồn

Ah, hình dung một sóng cosine và sóng sin giúp tôi hiểu các hàm đầu vào lẻ và thậm chí. Cảm ơn bạn.

— someguy

7

Câu trả lời của Hilmar tất nhiên là hoàn toàn chính xác, nhưng tôi nghĩ có một số điểm mà Lyons đã không giải quyết trong tuyên bố được trích dẫn bởi OP (hoặc có thể anh ấy đã nói về chúng trước đây và chọn không lặp lại trong đoạn trích dẫn của OP) .

Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) thường được mô tả là biến đổi của một chuỗi có độ dài hữu hạn thành một chuỗi khác có độ dài trong đó Nhưng các công thức cũng có thể được sử dụng khi nằm ngoài phạm vi và nếu chúng ta làm như vậy, chúng tôi đi đến kết luận rằng length- DFT có thể được xem như là một chuyển đổi từ một $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$ $N$ $(X[0], X[1], \ldots, X[N-1])$ $N$

\begin{aligned} X [m] & = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [k] \exp (\frac{- j 2 π m k}{N}), m = 0, 1, \dots, N - 1, \\ x [n] & = \frac{1}{N} \sum_{m = 0}^{N - 1} X [m] \exp (\frac{j 2 π n m}{N}), n = 0, 1, \dots, N - 1. \end{aligned}

$\begin{align*} X[m] &= \sum_{k=0}^{N-1} x[k]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,\\ x[n] &= \frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} X[m]\exp\left(\frac{j2\pi nm}{N}\right), ~ n = 0, 1, \ldots, N-1. \end{align*}$

m, n

$m, n$

[0, N - 1]

$[0, N-1]$

N

$N$ trình tự định kỳ sang trình tự định kỳ , cả hai đều kéo dài đến vô tận theo cả hai hướng, và và chỉ là một khoảng thời gian của các chuỗi dài vô hạn này. Lưu ý rằng chúng tôi khẳng định rằng và cho tất cả và .

x [\cdot]

$x[\cdot]$

X [\cdot]

$X[\cdot]$

(x [0], x [1], \dots, x [N - 1])

$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$

(X [0], X [1], \dots, X [N - 1])

$(X[0], X[1], \ldots, X[N-1])$

x [n + i N] = x [n]

$x[n+iN] = x[n]$

X [m + i N] = X [m]

$X[m+iN] = X[m]$

m, n,

$m, n,$

i

$i$

Tất nhiên, đây không phải là cách dữ liệu thường được xử lý trong thực tế. Chúng tôi có thể có một chuỗi các mẫu rất dài và chúng tôi chia chúng thành các khối có độ dài phù hợp . Chúng tôi tính DFT của là DFT của đoạn tiếp theo là DFT của đoạn trước là $N$ $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$

X^{(0)} [m] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [k] \exp (\frac{- j 2 π m k}{N}), m = 0, 1, \dots, N - 1,

$X^{(0)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$

(x [N], x [N + 1], \dots, x [2 N - 1])

$(x[N], x[N+1], \ldots, x[2N-1])$

X^{(1)} [m] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [k + N] \exp (\frac{- j 2 π m k}{N}), m = 0, 1, \dots, N - 1,

$X^{(1)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k+N]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$

(x [- N], x [- N + 1], \dots, x [- 1])

$(x[-N], x[-N+1], \ldots, x[-1])$

X^{(- 1)} [m] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [k - N] \exp (\frac{- j 2 π m k}{N}), m = 0, 1, \dots, N - 1,

$X^{(-1)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k-N]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$ vv và sau đó chúng tôi chơi với các DFT khác nhau của các khối khác nhau mà chúng tôi đã chia dữ liệu của chúng tôi. Tất nhiên, nếu dữ liệu trên thực tế là định kỳ với giai đoạn , tất cả các DFT này sẽ giống nhau.

N

$N$

Bây giờ, khi Lyons nói về ... trong đó chỉ số đầu vào n được xác định trên cả giá trị dương và âm ... anh ta đang nói về trường hợp định kỳ và khi anh ta nói rằng hàm chẵn (thực) có thuộc tính , thuộc tính này phải giữ cho tất cả các số nguyên . Vì tính định kỳ cũng được áp dụng, chúng tôi không chỉ có mà , và tương tự, . Nói cách khác, các dãy số chẵn thực mà DFT là một dãy số chẵn thực (như đã nêu bởi Lyons và giải thích rất độc đáo bởi Hilmar) là cần thiết $x[n] = x[-n]$ $n$ $x[-1] = x[1]$ $x[-1] = x[-1+N] = x[N-1]$ $x[-n] = x[n] = x[N-n]$ $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$ có dạng là (ngoài hàng đầu ) một chuỗi palindromic . Nếu bạn phân vùng dữ liệu của mình thành các khối có độ dài và tính toán DFT của từng khối riêng biệt, thì các DFT riêng biệt này sẽ không có các thuộc tính đối xứng được mô tả ở trên trừ khi DFT là một khối có thuộc tính palindromic này.

(x [0], x [1], \dots, x [N - 1]) = (x [0], x [1], x [2], x [3], \dots, x [3], x [2], x [1])

$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1]) = (x[0], x[1], x[2], x[3], \ldots, x[3], x[2], x[1])$

x [0]

$x[0]$

N

$N$

— Dilip Sarwate
nguồn

0

Chỉ cần làm rõ chức năng chẵn và lẻ,

Chẵn: đối xứng với trục y Odd: đối xứng với gốc

Và không đi sâu vào chi tiết toán học, DFT của hàm có giá trị thực là đối xứng, tức là hàm Fourier kết quả có cả phần thực và phần ảo là hình ảnh phản chiếu đối với thành phần tần số 0. Điều này không xảy ra trong trường hợp bạn lấy DFT của một hàm phức tạp.

— Naresh
nguồn

> Chẵn: đối xứng với trục y Odd: đối xứng với gốc. Bạn có thể giải thích thêm một chút về điều này có nghĩa là gì không, có lẽ đưa ra ví dụ về các hàm mà bạn cho là hàm chẵn và lẻ tương ứng? Tôi có cảm giác rằng có thể định nghĩa của bạn cho phép một hàm là chẵn và lẻ. Là vậy sao?

— Dilip Sarwate

Xin chào Dilip, Nếu một chức năng là hình ảnh phản chiếu đối với trục y, thì chẵn. Ví dụ, cosine là hình ảnh phản chiếu đối với trục Y. Đó là một chức năng thậm chí. Đối với chức năng lẻ, nó là một sự phản ánh đối với nguồn gốc. Có nghĩa là bạn có sự phản chiếu đối với cả hàm X và Y. Giống như hàm sin. Bạn chỉ có thể nhìn vào cốt truyện và cho biết đó là hàm chẵn hay lẻ.

— Naresh