Tìm kiếm một thuật toán arcsin

Có ai có một thuật toán đơn giản để tính toán một arcsine chính xác hợp lý không? Theo "đơn giản", ý tôi là một số loại đa thức yêu cầu <= 5 bội cho mỗi mẫu đầu ra. Và theo "chính xác một cách hợp lý", ý tôi là một thuật toán có lỗi không quá 10% khi đối số đầu vào gần bằng hoặc trừ đi. Tôi đã tìm kiếm trên web một lúc nhưng không thấy có gì hữu ích ngay lập tức.

Đây chỉ là một phiên bản đa thức :

function y = arcsin_test3(x)
    y = x.*(1+x.*x.*(1/6+ x.*x.*(3/(2*4*5) + x.*x.*((1*3*5)/(2*4*6*7)))))
endfunction

có vẻ như có năm bội số (giả sử bạn có thể lưu kết quả của x.*x) và ba lần bổ sung.

Và scilabcốt truyện là:

Top là scilab's asinvs thế này, phía dưới là lỗi giữa hai người.

Câu trả lời gốc

Căn bậc hai ở đây có thể là một rắc rối, nhưng tôi nghĩ tôi sẽ viết nó lên vì nó trông giống như niềm vui. :-)

Trang này gợi ý:

từ trang 81 của Sổ tay về các hàm toán học, của Milton Abramowitz và Irene Stegun:

Tôi đã thực hiện điều này scilabvà nó hoạt động tốt, ngoại trừ xung quanh$x= -1$. Chỉ phản ánh$0 \le x \le 1$ qua $-1 \le x \le 0$ làm cho một xấp xỉ tốt hơn nhiều.

Các chương trình âm mưu đầu scilabs'asin chức năng so với xấp xỉ trên (màu đỏ nét đứt) chống lại sự thay đổi của tôi trong màu xanh lá cây.

Biểu đồ phía dưới hiển thị lỗi cho thay đổi của tôi (vẽ sơ đồ đó và bản gốc trên cùng một trục có nghĩa là màu xanh lá cây trông như không ở mọi nơi).

// 25770
function y = arcsin_test(x)
    a0 = 1.5707288
    a1 = -0.2121144
    a2 = 0.0742610
    a3 = -0.0187293

    xx = abs(x)

    y = %pi/2 - sqrt(1-x).*(a0 + a1*x + a2.*x.*x + a3.*x.*x.*x)

endfunction

function y = arcsin_test2(x)
    a0 = 1.5707288
    a1 = -0.2121144
    a2 = 0.0742610
    a3 = -0.0187293

    xx = abs(x)

    y = %pi/2 - sqrt(1-xx).*(a0 + a1*xx + a2.*xx.*xx + a3.*xx.*xx.*xx)

    y = y.*sign(x); 
endfunction

x = [-1: .0100001 : 1];

clf
subplot(211)
plot(x,arcsin_test2(x),'g.');
plot(x,arcsin_test(x),'r:');
plot(x,asin(x))
subplot(212)
//plot(x,(arcsin_test(x) - asin(x)),'r:')
plot(x,(arcsin_test2(x) - asin(x)),'g.')

tôi đã thực hiện khá tốt $\arctan()$ ở đây .

tôi nghĩ bạn có thể sử dụng danh tính:

để có được những gì bạn muốn.

Phần trung tâm của đường cong không phải là một vấn đề thực sự vì nó khá tuyến tính và xấp xỉ Taylor với hai hoặc ba thuật ngữ là một điểm khởi đầu tốt (đa thức bình phương nhỏ nhất phù hợp hơn một chút).

Các bên có nhiều vấn đề hơn vì độ dốc vô hạn. Một cách để đối phó là thông qua biến đổi

trong đó liên quan đến một căn bậc hai.

Nếu tranh luận của bạn $z$ được biểu diễn bằng dấu phẩy động, một xấp xỉ nhanh của căn bậc hai có được bằng cách giảm một nửa số mũ và áp dụng một phép biến đổi tuyến tính cho lớp phủ.

Để cho $z=m2^e$, với $1\le m<2$, sau đó $\sqrt z=\sqrt m\,2^{e/2}$. Bạn có thể ước chừng$\sqrt{m}$ bởi $(\sqrt2-1)(m+\sqrt2)$.

• lấy số mũ $e$ ngoài (xóa nó mang lại đại diện của $m$);
• nếu $e$ là chẵn, tính toán $(\sqrt2-1)(m+\sqrt2)$;
• nếu $e$ là số lẻ, tính toán $\sqrt2(\sqrt2-1)(m+\sqrt2)$;
• đặt số mũ $\lfloor e/2\rfloor$.