Tôi hiểu Biến đổi Fourier là một phép toán cho phép bạn xem nội dung tần số của tín hiệu đã cho. Nhưng bây giờ, trong comm của tôi. Tất nhiên, giáo sư đã giới thiệu Hilbert Transform.

Tôi hiểu rằng nó phần nào được liên kết với nội dung tần số do thực tế là Biến đổi Hilbert đang nhân FFT với hoặc kết hợp hàm thời gian với .$-j\operatorname{sign}(W(f))$$1/\pi t$

Ý nghĩa của biến đổi Hilbert là gì? Chúng ta có được thông tin gì bằng cách áp dụng biến đổi đó cho một tín hiệu nhất định?

Một ứng dụng của Biến đổi Hilbert là thu được cái gọi là Tín hiệu Phân tích. Đối với tín hiệu , Hilbert Transform nó được định nghĩa là một thành phần:$s(t)$s ( t )$\hat{s}(t)$

Tín hiệu Phân tích mà chúng ta thu được có giá trị phức tạp, do đó chúng ta có thể biểu thị nó theo ký hiệu số mũ:

Ở đâu:

$A(t)$ là biên độ tức thời (đường bao)

$\psi(t)$ là pha tức thời.

Vì vậy, làm thế nào là hữu ích?

Biên độ tức thời có thể hữu ích trong nhiều trường hợp (nó được sử dụng rộng rãi để tìm đường bao của các tín hiệu điều hòa đơn giản). Đây là một ví dụ cho một phản ứng thúc đẩy:

Thứ hai, dựa trên pha, chúng ta có thể tính tần số tức thời:

Điều này một lần nữa hữu ích trong nhiều ứng dụng, chẳng hạn như phát hiện tần số của âm quét, động cơ quay, v.v.

Các ví dụ khác về việc sử dụng bao gồm:

• Lấy mẫu tín hiệu băng tần hẹp trong viễn thông (chủ yếu sử dụng bộ lọc Hilbert).

• Hình ảnh y tế.

• Xử lý mảng cho Hướng đến.

• Phân tích hệ thống đáp ứng.

Theo thuật ngữ cư sĩ, biến đổi Hilbert, khi được sử dụng trên dữ liệu thực, cung cấp "biên độ thực (tức thời)" (và một số nữa) cho các hiện tượng đứng yên, bằng cách biến chúng thành dữ liệu phức tạp "cụ thể". Chẳng hạn, một cosine vốn có biên độ 1, mà bạn không nhìn thấy trực tiếp, vì nó ngọ nguậy trực quan giữa và , và biến mất theo định kỳ. Biến đổi Hilbert bổ sung cho cosin theo "cách nhất quán nhất" sao cho hàm phức kết quả giữ tất cả thông tin ban đầu, cộng với "biên độ" của nó trực tiếp là mô đun của 1. Tất cả những điều trên đòi hỏi phải cẩn thận, vì khái niệm giới hạn ban nhạc và địa phương ra đời.$\cos(t)$$-1$$1$$\cos(t)+i\sin(t)$

Biến đổi Hilbert (và biến đổi Riesz ở kích thước cao hơn) có thể là một công cụ cơ bản hơn. Tôi thích phần mở đầu của Chương 2 trong Những khám phá trong phân tích hài hòa với các ứng dụng cho lý thuyết chức năng phức tạp và Nhóm Heisenberg , của Steven G. Krantz:

Mở đầu: Biến đổi Hilbert, không nghi ngờ gì, là toán tử quan trọng nhất trong phân tích. Nó phát sinh trong rất nhiều bối cảnh khác nhau, và tất cả các bối cảnh này được đan xen theo những cách sâu sắc và có ảnh hưởng. Tất cả những gì nói đến là chỉ có một tích phân duy nhất trong chiều 1 và đó là biến đổi Hilbert. Triết lý là tất cả các câu hỏi phân tích quan trọng giảm xuống một tích phân số ít; và trong chiều thứ nhất chỉ có một sự lựa chọn.

Các ứng dụng trong xử lý tín hiệu / hình ảnh có rất nhiều, có thể là do các tính chất cơ bản của nó: ước tính biên độ / tần số tức thời, xây dựng các bộ lọc nhân quả chỉ cho biên độ (quan hệ Kramers - Krönig), bước sóng 2D dự phòng nhỏ, phát hiện cạnh bất biến, v.v.

Tôi cũng sẽ đề nghị hai tập của F. King, 2009, Hilbert biến đổi .

Một biến đổi (FT hoặc Hilbert, v.v.) không tạo ra thông tin mới từ không có gì. Do đó, "thông tin bạn nhận được" hoặc kích thước được thêm vào trong tín hiệu phức phân tích tổng hợp được cung cấp bởi biến đổi Hilbert của tín hiệu 1D / thực, là một dạng tóm tắt môi trường cục bộ của từng điểm trong tín hiệu đó, được nối với đó điểm.

Thông tin như pha cục bộ và biên độ đường bao thực sự là thông tin về một số độ rộng hoặc mức độ (đến một mức độ vô hạn) của tín hiệu xung quanh mỗi điểm cục bộ. Biến đổi Hilbert, khi tạo ra một thành phần của tín hiệu phân tích phức tạp từ tín hiệu thực 1D, sẽ đưa một số thông tin từ phạm vi xung quanh của tín hiệu vào từng điểm của tín hiệu, do đó cho phép một người đưa ra quyết định nhiều hơn (như giải điều chế một chút , vẽ đồ thị biên độ đường bao, v.v.) tại mỗi điểm hoặc mẫu cục bộ (hiện tại phức tạp), mà không phải quét lại và / hoặc xử lý một cửa sổ mới (wavelet, Goertzel cửa sổ, v.v.) có độ rộng trên mỗi tín hiệu điểm.

Tín hiệu phân tích được tạo ra bởi biến đổi Hilbert rất hữu ích trong nhiều ứng dụng phân tích tín hiệu. Nếu bạn băng thông lọc tín hiệu trước, biểu diễn tín hiệu phân tích cung cấp cho bạn thông tin về cấu trúc cục bộ của tín hiệu:

• pha biểu thị sự đối xứng cục bộ tại điểm, trong đó 0 là đối xứng dương (cực đại), là đối xứng âm (máng) và là đối xứng (cạnh tăng / giảm).$\pi$$\pm \pi/2$
• biên độ biểu thị cường độ của kết cấu tại điểm, không phụ thuộc vào đối xứng (pha).

Đại diện này đã được sử dụng cho

• phát hiện tính năng thông qua năng lượng địa phương (biên độ)
• phân loại tính năng sử dụng pha
• phát hiện tính năng thông qua đồng dư pha

Nó cũng đã được mở rộng đến các kích thước cao hơn bằng cách sử dụng biến đổi Riesz, ví dụ như tín hiệu monogen.

Việc thực hiện một biến đổi Hilbert cho phép chúng ta tạo ra một tín hiệu phân tích dựa trên một số tín hiệu có giá trị thực ban đầu. Và trong thế giới comms, chúng ta có thể sử dụng tín hiệu phân tích để tính toán dễ dàng và chính xác cường độ tức thời của tín hiệu có giá trị thực ban đầu. Quá trình đó được sử dụng trong giải điều chế AM. Cũng từ tín hiệu phân tích, chúng ta có thể tính toán dễ dàng và chính xác pha tức thời của tín hiệu có giá trị thực ban đầu. Quá trình đó được sử dụng trong cả giải điều chế pha và FM. Giáo sư của bạn là chính xác trong việc bao quát biến đổi Hilbert bởi vì nó rất hữu ích trong các hệ thống comms.

Đã có câu trả lời tuyệt vời, nhưng tôi muốn thêm rằng việc chuyển đổi tín hiệu sang phiên bản phân tích của nó rất dễ dàng trong miền kỹ thuật số (bộ lọc nửa băng yêu cầu có một nửa hệ số của nó bằng 0), nhưng một khi ở đó, tốc độ mẫu có thể được cắt giảm một nửa, về cơ bản phân chia quá trình xử lý thành các đường dẫn thực và tưởng tượng. Rõ ràng, có một chi phí ở đây, và một số thuật ngữ chéo cần được xử lý, nhưng nhìn chung nó rất hữu ích trong việc triển khai phần cứng khi tốc độ xung nhịp là một yếu tố.

Như đã giải thích trong các câu trả lời khác, biến đổi Hilbert được sử dụng để thu được tín hiệu anaytic có thể được sử dụng để tìm đường bao và pha của tín hiệu.

Một cách khác để tìm biến đổi Hilbert là trong miền tần số. Vì tín hiệu thực có các thành phần tần số âm và dương giống hệt nhau, do đó, trong phân tích, thông tin này là dư thừa.

Hilbert Transform được sử dụng để loại bỏ phần tần số âm và tăng gấp đôi cường độ của phần tần số dương (để giữ công suất như nhau).

Ở đây, bộ lọc Hilbert Transform được thiết kế là băng thông trong tự nhiên chuyển tần số từ 50 MHz đến 450 MHz. Đầu vào là tổng của hai tín hiệu hình sin có tần số bằng 200 MHz và 500 MHz.

Từ biểu đồ PSD, chúng ta có thể thấy thành phần tần số âm của tín hiệu 200 MHz bị suy giảm trong khi tín hiệu 500 MHz đi qua như vậy.

Câu hỏi này đã có nhiều câu trả lời xuất sắc, nhưng tôi muốn đưa vào ví dụ và giải thích rất đơn giản này từ trang này để xóa ồ ạt khái niệm và tính hữu dụng của biến đổi Hilbert:

Tín hiệu không có thành phần tần số âm được gọi là tín hiệu phân tích. Do đó, trong thời gian liên tục, mọi tín hiệu phân tích có thể được biểu diễn dưới dạng$z(t)$

$$\displaystyle z(t) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{\infty}Z(\omega)e^{j\omega t}d\omega$$ trong đó là hệ số phức (cài đặt biên độ và pha) của hình sin phức tần số dương ở tần số . Bất kỳ hình sin thực có thể được chuyển đổi thành hình sin phức tần số dương bằng cách đơn giản tạo ra thành phần bậc hai để phục vụ như là 'phần ảo' ':$Z(\omega)$$\exp(j\omega t)$$\omega$$A\cos(\omega t + \phi)$$A\exp[j(\omega t + \phi)]$$A\sin(\omega t + \phi)$

$$\displaystyle A e^{j(\omega t + \phi)} = A\cos(\omega t + \phi) + j A\sin(\omega t + \phi)$$ Thành phần bậc hai pha có thể được tạo từ thành phần trong pha bằng cách dịch chuyển thời gian theo chu kỳ quý đơn giản. Đối với các tín hiệu phức tạp hơn có thể biểu thị dưới dạng tổng của nhiều hình sin, có thể xây dựng bộ lọc để dịch chuyển từng thành phần hình sin theo một chu kỳ. Đây được gọi là bộ lọc biến đổi Hilbert. Đặt biểu thị đầu ra tại thời điểm của bộ lọc biến đổi Hilbert được áp dụng cho tín hiệu . Lý tưởng nhất là bộ lọc này có cường độ ở mọi tần số và đưa ra sự dịch pha ở mỗi tần số dương và${\cal H}_t\{x\}$$t$$x$$1$$-\pi/2$$+\pi/2$tại mỗi tần số âm. Khi tín hiệu thực và biến đổi Hilbert của nó được sử dụng để tạo thành tín hiệu phức tạp mới , tín hiệu là tín hiệu phân tích (phức tạp) tương ứng với tín hiệu thực . Nói cách khác, đối với bất kỳ tín hiệu thực , tín hiệu phân tích tương ứng có đặc tính là tất cả '' tần số âm '' của đã được '' lọc ra. ''$x(t)$$y(t) = {\cal H}_t\{x\}$z ( t ) x ( t ) x ( t ) z ( t ) = x ( t ) + j H t { x } x ( t $z(t) = x(t) + j y(t)$$z(t)$$x(t)$$x(t)$$z(t)=x(t) + j {\cal H}_t\{x\}$$x(t)$

(Tuyên bố miễn trừ trách nhiệm: Tôi không phải là tác giả của trang)