Là biến đổi Laplace dư thừa?

Biến đổi Laplace là một khái quát của biến đổi Fourier vì biến đổi Fourier là biến đổi Laplace cho (tức là là một số ảo thuần túy = không có phần thực của ).$s = j\omega$$s$$s$

Nhắc nhở:

Biến đổi Fourier:$X(\omega) = \int x(t) e^{-j\omega t} dt$

Biến đổi Laplace:$X(s) = \int x(t) e^{-s t} dt$

Ngoài ra, một tín hiệu có thể được tái tạo chính xác từ biến đổi Fourier cũng như biến đổi Laplace của nó.

Vì chỉ một phần của biến đổi Laplace là cần thiết cho quá trình tái cấu trúc (phần mà ), phần còn lại của biến đổi Laplace ( ) dường như không đáng tin cho việc tái cấu trúc ...ℜ ( s ) ≠ $\Re(s) = 0$$\Re(s) \neq 0$

Có thật không?

Ngoài ra, tín hiệu có thể được xây dựng lại cho một phần khác của biến đổi Laplace (ví dụ: hoặc ) không?ℑ ( s ) = $\Re(s)=5$$\Im(s)=9$

Và điều gì xảy ra nếu chúng ta tính toán một biến đổi Laplace của tín hiệu, sau đó chỉ thay đổi một điểm của biến đổi Laplace và tính toán biến đổi nghịch đảo: chúng ta có quay lại tín hiệu ban đầu không?

Biến đổi Fourier và Laplace rõ ràng có nhiều điểm chung. Tuy nhiên, có những trường hợp chỉ có thể sử dụng một trong số chúng hoặc sử dụng cái này thuận tiện hơn.

Trước hết, mặc dù trong các định nghĩa bạn chỉ cần thay bằng hoặc ngược lại để chuyển từ biến đổi này sang biến đổi khác, nhưng điều này thường không thể thực hiện được khi đưa ra biến đổi Laplace hoặc biến đổi Fourier của một chức năng. (Tôi sử dụng các chỉ số khác nhau vì hai hàm có thể khác nhau cho cùng một hàm miền thời gian). Có các hàm chỉ tồn tại biến đổi Laplace, ví dụ: , , trong đó là hàm bước Heaviside. Lý do là tích phân trong định nghĩa của biến đổi Laplace chỉ hội tụ cho$s$$j\omega$$X_L(s)$$X_F(j\omega)$$f(t)=e^{at}u(t)$$a>0$$u(t)$$\Re\{s\}>a$, ngụ ý rằng tích phân tương ứng trong định nghĩa của biến đổi Fourier không hội tụ, tức là biến đổi Fourier không tồn tại trong trường hợp này.

Có các hàm tồn tại cả hai biến đổi, nhưng . Một ví dụ là hàm , trong đó biến đổi Fourier chứa các xung delta Dirac.$X_F(j\omega)\neq X_L(j\omega)$$f(t)=\sin(\omega_0t)u(t)$

Cuối cùng, cũng có các hàm chỉ tồn tại biến đổi Fourier chứ không phải biến đổi Laplace. Điều này có nghĩa là tích phân trong định nghĩa của phép biến đổi Laplace chỉ hội tụ (theo một nghĩa cụ thể) cho , nhưng không có giá trị nào khác của . Biến đổi Laplace chỉ được cho là tồn tại nếu tích phân hội tụ trong nửa mặt phẳng hoặc trong một dải dọc có kích thước hữu hạn của mặt phẳng phức . Các hàm như vậy chỉ tồn tại biến đổi Fourier bao gồm các hàm mũ và sin phức tạp ( ) và các đáp ứng xung của các bộ lọc tường gạch lý tưởng, có liên quan đến chức năng chân thành. Vì vậy, ví dụ: các hàm hoặcs s - ∞ < t < ∞ f ( t ) = sin ( ω 0 t ) f ( t ) = sin ( ω c t ) / π $s=j\omega$$s$$s$$-\infty<t<\infty$$f(t)=\sin(\omega_0 t)$$f(t)=\sin(\omega_ct)/\pi t$ không có biến đổi Laplace nhưng chúng có biến đổi Fourier.

Biến đổi Laplace có thể là một công cụ thuận tiện để phân tích hành vi của các hệ thống bất biến thời gian tuyến tính (LTI) bằng cách xem xét chức năng chuyển đổi của chúng, đó là biến đổi Laplace của đáp ứng xung của chúng. Các cực và số không của hàm truyền trong mặt phẳng phức hợp đặc trưng thuận tiện cho nhiều thuộc tính hệ thống và rất hữu ích cho sự hiểu biết trực quan về hành vi của hệ thống. Hơn nữa, biến đổi Laplace đơn phương rất hữu ích để phân tích các hệ thống LTI với các điều kiện ban đầu khác không. Biến đổi Fourier là một công cụ hữu ích để phân tích các hệ thống lý tưởng (không nguyên nhân, không ổn định), chẳng hạn như các bộ lọc thông thấp hoặc băng thông lý tưởng.$s$

Cũng có một cái nhìn vào câu trả lời này cho một câu hỏi liên quan.