Các lĩnh vực toán học cần thiết cho thiết kế bộ lọc kỹ thuật số

Tôi muốn học thiết kế bộ lọc kỹ thuật số. Kiến thức toán học của tôi là ở cấp trung học. Tôi có thể học toán thông qua Internet. Vậy thì, tôi phải học những lĩnh vực toán học nào?

$N$$N$$x(n)$$y(n)$

Và bạn sẽ cần phân tích chức năng để hiểu cách mô hình hóa tín hiệu, cách mô hình hóa hệ thống và cách mô hình hóa các tương tác và hoạt động giữa các tín hiệu (biến đổi, kết cấu, v.v.).

Hy vọng nó giúp.

Để bắt đầu:

Số phức

Đáp ứng tần số của bộ lọc dễ hiểu hơn về giá trị phức tạp, mô tả cả đáp ứng tần số cường độ và đáp ứng tần số pha. Bạn sẽ có thể hiểu cực và số không, có thể phức tạp. Số phức cho phép bạn có tần số âm, điều này sẽ làm cho toán học đơn giản hơn.

Lượng giác

$\sin$$\cos$$e^{i\alpha} = \cos(\alpha) + i\sin(\alpha)$

Phân biệt

Để tìm tần số của một đỉnh bộ lọc đơn giản hoặc cực đại, bạn có thể giải quyết ở tần số nào đạo hàm của đáp ứng tần số cường độ của nó bằng không.

Hội nhập

Tích hợp là cần thiết cho biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược.

Biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier cho phép bạn chuyển từ đáp ứng xung sang đáp ứng tần số và trở lại. Ngoài ra, những việc bạn làm trong miền thời gian thường có một đối tác đơn giản trong miền tần số và ngược lại.

@George Theodosiou: Thay vì đi sâu vào tất cả các loại môn toán có năng lực cao (chỉ một phần trong số đó sẽ hữu ích cho bạn), tôi khuyên bạn nên bắt đầu bằng cách đọc một cuốn sách hay cho người mới bắt đầu DSP. Chẳng hạn như các cuốn sách phổ biến "Tìm hiểu về xử lý tín hiệu số" hoặc "Hướng dẫn của nhà khoa học và kỹ sư về xử lý tín hiệu số". Những cuốn sách đó cho người đọc ăn, từ từ và nhẹ nhàng, toán học cần thiết để bắt đầu nghiên cứu DSP. Sau đó, khi bạn gặp một số phương trình trong những cuốn sách đánh đố bạn, bạn có thể vào web và tìm hiểu toán học của phương trình cụ thể đó sâu hơn.

George, nếu mong muốn học lọc kỹ thuật số của bạn là chân thành và bạn giữ được sự nhiệt tình của mình, thì bạn sẽ thành công. Trích lời Susan B. Anthony, "Thất bại là không thể." Chúc may mắn.

Rất cám ơn những người đã trả lời, bình luận và xem câu hỏi của tôi. Câu trả lời của tôi là tôi phải bắt đầu từ Phân tích chức năng như Mr Bone gợi ý. Tôi nhớ từ thời trung học rằng khi một đa thức của x tương đương với y, sẽ sinh ra hàm của x với y. Ngoài ra tôi nhớ định lý cơ bản của đại số cho các hệ số thực. Sau đó tôi có thể bắt đầu từ kiến ​​thức này.

Đối với thiết kế bộ lọc kỹ thuật số, tôi đánh giá cao câu trả lời ở trên và muốn thêm một số trường.

Đầu tiên, chúng ta hãy hạn chế để ghi tuyến tính. Tuyến tính, cùng với bất biến thời gian, là những giả định gốc. Với chúng, các không gian vectơ, tích chập (tích phân và chuỗi) và biến đổi Fourier (một phần của phân tích chức năng, với lượng giác adn phức tạp) trở thành các công cụ tự nhiên. Tôi khẳng định những công cụ này là hậu quả tự nhiên của tuyến tính / bất biến thời gian, nếu bạn có được điều đó, bạn sẽ nhẹ nhàng được điều khiển đến các công cụ bạn cần. Tối ưu hóa là khá phổ biến trong thiết kế bộ lọc.

Về phía bạn, bạn có thể ghi nhớ các lĩnh vực bổ sung. Bạn có thể quan tâm đến việc thiết kế các bộ lọc bổ sung, với các tỷ lệ khác nhau và thiết kế bộ lọc đa biến có thể dẫn bạn đến hệ số ma trận, điều này cũng hữu ích trong các cấu trúc bộ lọc (mạng, bậc thang) và hệ số quang phổ. Nếu bạn đi đến triển khai hệ thống thực (FPGA, vi điều khiển), bạn có thể phải đi sâu vào số học điểm cố định hoặc số nguyên. Tất nhiên, lý thuyết lấy mẫu là một yêu cầu đặt hàng đầu tiên, đặc biệt nếu bạn đi đa chiều (xử lý hình ảnh). Người ta thậm chí có thể chạm vào các bản đồ cao hơn, với các hệ thống đa thức và các cơ sở Gröbner .

Tôi thích rất nhiều, vì phần giới thiệu cơ bản về toán học và rõ ràng cho nhiều chủ đề, Phân tích và ứng dụng Gasquet & Witomski Fourier: Lọc, Tính toán số, Wavelets .

Hãy để tôi thêm một vấn đề ít được đề cập: một câu hỏi lớn thường là số lượng vòi và độ chính xác (số bit trên mỗi hệ số) cần thiết để đáp ứng một thiết kế bộ lọc nhất định. Hai nguồn:

• Ichige và cộng sự. Ước tính chính xác độ dài bộ lọc tối thiểu cho các bộ lọc kỹ thuật số {FIR} tối ưu , Giao dịch IEEE trên Mạch và Hệ thống II: Xử lý tín hiệu tương tự và kỹ thuật số, 2000
• Bellanger, Về độ phức tạp tính toán trong các bộ lọc kỹ thuật số , 1981