Mối quan hệ giữa các PSD của đầu vào và đầu ra của bộ lọc được gọi là gì?

Nếu tín hiệu tĩnh tín hiệu rộng $X$ được đưa đến bộ lọc LTI có chức năng truyền $H$ , mật độ phổ công suất (PSD) của đầu ra $Y$ có thể được biểu thị như sau:

R_{Y} (f) = {| H (f) |}^{2} R_{X} (f)

$R_Y(f) = \left|H(f)\right|^2R_X(f)$

nơi biểu thị PSD của . $R_X$ $X$

Liệu mối quan hệ này có một tên chung?

transfer-function terminology

— Gilles
nguồn

Tôi không biết tên của mối quan hệ, nhưng được gọi là chức năng truyền tải điện của hệ thống LTI. Sản lượng điện quang phổ là đầu vào sức mạnh phổ nhân với sức mạnh chức năng chuyển nhượng, cũng giống như các tín hiệu xác định, quang phổ đầu ra là quang phổ đầu vào nhân với hàm truyền . $\vert H(f)\vert^2$ $H(f)$

— Dilip Sarwate
nguồn

Để thêm phạm vi, H (f) là hàm đáp ứng tần số . H (w) là hàm truyền.

— mtrw

@mtrw Bạn có một trích dẫn để sao lưu công việc giáo dục của bạn không? Văn bản cổ điển của Bracewell Biến đổi Fourier và các ứng dụng của nó gọi

là hàm truyền; các văn bản khác gọi

hoặc

là hàm truyền như bạn làm; những người khác gọi

là hàm truyền. Vì vậy, xin vui lòng cung cấp một trích dẫn mà nói rằng gọi

hàm truyền là sai như tên này được dành riêng cho

H (f)

$H(f)$

H (ω)

$H(\omega)$

H (j ω)

$H(j\omega)$

H (s)

$H(s)$

H (f)

$H(f)$

H (ω)

$H(\omega)$

— Dilip Sarwate

Đầu tiên, tôi phải xin lỗi vì một sai lầm ngu ngốc. Tôi nên nói H (f) là FRF và H (s) là hàm truyền. Đáng buồn là tôi không còn bản sao của Oppenheim, Schafer & Young's Signals and Systems nữa, đó là nơi tôi nhớ khi học điều này. Bản ghi nhớ tôi được dạy là biến đổi Fourier của đáp ứng xung (hoặc H (f) hoặc H (jw)), vì nó được đánh giá cho các sin sin thuần túy, cho đáp ứng tần số. Các biến đổi Laplace và z (H (s) hoặc H (z)) cung cấp các hàm truyền.

— mtrw

Mối quan hệ mà bạn có kết quả từ định lý Wiener-Khinchin (WK). Định lý WK chủ yếu liên quan đến sự tự tương quan của đầu vào và mật độ phổ công suất của nó (PSD) như một cặp biến đổi Fourier. Tôi chưa từng nghe nó được gọi bằng bất kỳ tên cụ thể nào ngoài việc nói rõ ràng "Từ định lý WK, chúng tôi có blah ..." Từ bài báo được trích dẫn:

Một hệ quả [của định lý WK] là biến đổi Fourier của hàm tự tương quan của đầu ra của hệ thống LTI bằng với sản phẩm biến đổi Fourier của hàm tự tương quan của đầu vào của hệ thống nhân với độ lớn bình phương của Fourier biến đổi của hệ thống đáp ứng xung.

Mặc dù nó được viết và chứng minh cho các tín hiệu (hoặc hàm) có thể tích hợp vuông và do đó có biến đổi Fourier, nó thường được sử dụng để nghiên cứu các quá trình ngẫu nhiên WSS (không có biến đổi Fourier) bằng cách liên quan đến tự động tương quan thông qua các kỳ vọng thay vì tích phân.

— Lorem
nguồn

Đó là một câu trả lời tốt, nhưng bạn thực sự không trả lời câu hỏi? Tôi có ấn tượng rằng câu trả lời của bạn là định lý Wiener-Khincin, nhưng tôi nghĩ điều đó không thực sự đúng. Tôi hy vọng tôi không tỏ ra gắt gỏng, nhưng câu hỏi thực sự chính xác để câu trả lời nên / có thể chính xác.

— niaren

Tôi không đồng ý với Wikipedia rằng kết quả trong câu hỏi là một hệ quả của định lý WK. Định lý WK nói rằng PSD của một quá trình WSS là biến đổi Fourier của hàm tự tương quan của nó. Đó là một kết quả hoàn toàn khác rằng khi một quá trình WSS đi qua một hệ thống tuyến tính, hàm lượng tự tương quan có liên quan đến tự tương quan đầu vào như

. Kết quả này đòi hỏi phân tích xác suất và lấy kỳ vọng, v.v. có liên quan đến các tính toán được sử dụng để chứng minh định lý WK, nhưng kết quả không phải là hệ quả của định lý WK

A_{Y} = h * \tilde{h} * A_{X}

$A_Y = h * \tilde{h} * A_X$

— Dilip Sarwate

A_{Y} = h * \tilde{h} * A_{X}

$A_Y = h * \tilde{h} * A_X$

A_{X} (t) \leftrightarrow R_{X} (f)

$A_X(t) \leftrightarrow R_X(f)$

A_{Y} (t) \leftrightarrow R_{Y} (f)

$A_Y(t) \leftrightarrow R_Y(f)$

h (t) \leftrightarrow H (f)

$h(t) \leftrightarrow H(f)$

và do đó

thông qua định lý tích chập, đó là những gì OP đã hỏi về. Nhưng tất cả điều này không áp dụng đầu tiên, trừ khi bạn cho thấy rằng

, và điều này làkhôngmột hệ quả của định lý WK.

\tilde{h} (t) \leftrightarrow H^{*} (f)

$\tilde{h}(t) \leftrightarrow H^*(f)$

R_{Y} (f) = | H (f) |^{2} R_{X} (f)

$R_Y(f) = |H(f)|^2 R_X(f)$

A_{Y} = h * \tilde{h} * A_{X}

$A_Y = h * \tilde{h} * A_X$

— Dilip Sarwate

@Dilip Tôi không đồng ý với điều đó và tôi không bao giờ đưa ra tuyên bố rằng kết quả cho WSS là hệ quả của WK. Văn bản tôi trích dẫn chỉ nói về mối quan hệ giữa biến đổi tự động và biến đổi Fourier cho đầu vào và đầu ra của hệ thống LTI. Nó không nói về WSS. Tôi đã làm rõ ngay bên dưới nó, rằng mặc dù WK đã được chứng minh cho các tín hiệu có thể tích hợp vuông, nó được sử dụng để nghiên cứu WSS bằng cách sử dụng phương pháp xác suất và liên quan đến sự tự tương quan thông qua các kỳ vọng. Đó là khá nhiều những gì bạn đã nói ở đây, nhưng tôi đã không đi sâu vào chi tiết nào, bởi vì OP không bao giờ yêu cầu điều đó.

— Lorem Ipsum

@yoda Xin lưu ý rằng tôi đã nói rằng tôi không đồng ý với những gì Wikipedia tuyên bố, không phải những gì bạn nói. Bài viết Wikipedia nói rằng định lý WK giữ cho các quy trình WSS, và sau đó tuyên bố rằng kết quả

là hệ quả của định lý WK không đúng. Kết quả

có thể được chứng minh cho tất định (hình vuông khả tích) tín hiệu rất thẳng thắn và sau đó

R_{Y} (f) = | H (f) |^{2} R_{X} (f)

$R_Y(f)=|H(f)|^2R_X(f)$

A_{Y} = h * \tilde{h} * A_{X}

$A_Y=h∗\tilde{h}∗A_X$

R_{Y} (f) = | H (f) |^{2} R_{X} (f)

$R_Y(f)=|H(f)|^2R_X(f)$

A_{Y} = h * \tilde{h} * A_{X}

$A_Y=h∗\tilde{h}∗A_X$