Là

Là $x(t) = \cos t + \sin\left(\frac{1}{2}t\right)$ một tín hiệu định kỳ?

Câu trả lời được cung cấp bởi cuốn sách khác với câu trả lời của tôi. Sách nói rằng nó không phải là một tín hiệu định kỳ. Các bạn có thể cho tôi biết tại sao nó không phải là một tín hiệu định kỳ?

Câu trả lời của tôi:

$\cos(t)$ là định kỳ như $2\pi f_1 = 1 \Rightarrow f_1=\frac{1}{2\pi} \Rightarrow T_1=2\pi$

$\sin\left(\frac{1}{2}t\right)$ cũng là định kỳ như $2\pi f_2 = \frac{1}{2} \Rightarrow f_2=\frac{1}{4\pi} \Rightarrow T_2=4\pi$

vì thế $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2}$ là số hữu tỉ

Do đó, cho $x(t)$ là một tín hiệu định kỳ.

periodic

— Pranav Peethambaran
nguồn

Cuốn sách nào nói vậy?

— Matt L.

Pranav: Chào mừng bạn đến với DSP.SE! Bạn đã hỏi một câu hỏi về bài tập về nhà / tự học theo cách chính xác: hỏi câu hỏi, làm rõ rằng đó là một câu hỏi trong sách giáo khoa mà bạn đang cố gắng trả lời, và cho biết câu trả lời của bạn là gì (hoặc hiển thị nhiều như bạn hiểu). Làm tốt!

— Peter K.

Lỗi đánh máy, không đề cập đến lỗi ngớ ngẩn hoàn toàn, không được biết đến trong Hướng dẫn giải pháp hoặc "câu trả lời cho các vấn đề số lẻ" được đưa vào sách giáo khoa vì trong khi giáo sư có thể đã viết văn bản và đọc kỹ bằng chứng, Hướng dẫn giải pháp và các câu trả lời cho các bài tập được thực hiện bởi các trợ lý sinh viên tốt nghiệp bị quấy rối và không được giáo sư kiểm tra cẩn thận. Điều này không có nghĩa là giáo sư được miễn trách nhiệm đối với các lỗi, mà chỉ là một lời giải thích tại sao "câu trả lời sách" không được tin tưởng là sự thật phúc âm trong mọi trường hợp.

— Dilip Sarwate

Cảm ơn bạn bè đã xóa tan nghi ngờ của tôi. Các bạn là tốt nhất! Cảm ơn rất nhiều :) Đó là từ cuốn sách của học viện huấn luyện, một trong những vấn đề thực hành. :)

— Pranav Peethambaran

SE.DSP chúc bạn một năm mới 2017 vui vẻ, với một tín hiệu nhắc nhở rằng câu hỏi hoặc câu trả lời của bạn có thể yêu cầu một số hành động (cập nhật, bỏ phiếu, chấp nhận, v.v.)

— Laurent Duval

Câu trả lời:

Như mọi $t_0\in\mathbb{R}$ và $k\in\mathbb{Z}$

\begin{array}{rcl} x (t_{0} + 4 k π) & = \cos (t_{0} + 4 k π) + \sin (t_{0} / 2 + 2 k π) \\ = \cos (t_{0}) + \sin (t_{0} / 2) \\ = x (t_{0}) \end{array}

$\begin{eqnarray} &x(t_0+4k\pi) &=\cos(t_0+4k\pi)+\sin(t_0/2+2k\pi)\\ & &=\cos(t_0)+\sin(t_0/2)\\ & &=x(t_0) \end{eqnarray}$ bạn trả lời đúng:

x (t)

$x(t)$ là định kỳ.

— Phục sinh
nguồn

Để thêm một câu trả lời ngược lại: Nếu chỉ số thời gian của bạn, $t$ , là một số nguyên, sau đó tín hiệu của bạn không phải là định kỳ.

Định nghĩa của định kỳ là: $x[t]$ , $t\in\mathbb{Z}$ là định kỳ với thời gian $P\in \mathbb{Z}$ iff

x [t] = x [t + P]

$x[t] = x[t+P]$

Vì vậy chúng ta cần

\cos (t) = \cos (t + P)

$\cos(t) = \cos(t+P)$ vì vậy đối với định kỳ, chúng tôi yêu cầu

P = 2 π k

$P = 2\pi k$ với

k \in Z

$k\in \mathbb{Z}$ .

Từ $\pi$ là không hợp lý, đó không thể là trường hợp.

Do đó thành phần đầu tiên của tín hiệu của bạn không thể là định kỳ, vì vậy toàn bộ tín hiệu không thể là định kỳ.

— Peter K.
nguồn

Không cần P là số nguyên, vì vậy cos (t) = cos (t + P). Với mọi t cos (t) = cos (t + 2π), vì cos (t + 2π) = sin (t) * sin (2π) + cos (t) * cos (2π) = sin (t) * 0 + cos (t) * 1 = cos (t)

— Stoleg

Đẹp! nhưng nếu cuốn sách tuân theo quy ước

x (t)

$x(t)$ biểu thị một tín hiệu thời gian liên tục và

x [t]

$x[t]$ biểu thị tín hiệu thời gian rời rạc với

t

$t$ chỉ lấy các giá trị số nguyên, sau đó nó không áp dụng ....

— Dilip Sarwate

@Stoleg: Không,

P

$P$ phải là một số nguyên trong trường hợp này. Bởi vì chỉ số của

x

$x$ phải là một số nguyên cho tín hiệu thời gian rời rạc. Nếu không thì

x [t + P]

$x[t+P]$ không định nghĩa được.

— Peter K.

@LaurentDuval: Cảm ơn! Có, tín hiệu thời gian liên tục chắc chắn là định kỳ

x (t) = x (t + P)

$x(t) = x(t+P)$ , cho

t \in R

$t\in\mathbb{R}$ và

\forall P \in R

$\forall P \in \mathbb{R}$ . Và, như bạn nói, phiên bản được lấy mẫu (phiên bản thời gian rời rạc) không phải là định kỳ, nhưng phiên bản được xây dựng lại (với điều kiện chúng tôi đã lấy mẫu đủ nhanh ... mặc dù có lẽ phiên bản bí danh + được xây dựng lại cũng có thể là ... hmmm. ).

— Peter K.

F_{u n}

$\mathbf{F}_{un}$ !!!

— Peter K.

Các công thức góc đôi cho nhận dạng lượng giác cho bạn biết rằng $\cos \left(\frac{2t}{t}\right) = 1 - 2\sin^2(\frac{t}{2})$ .

Bạn như vậy $x(t) =1 +\sin(\frac{t}{2}) - 2\sin^2(\frac{t}{2})$ . Do đó, tín hiệu của bạn bao gồm các chức năng (như cộng và nhân) mà tất cả đều thừa nhận $4\pi$ như một khoảng thời gian (có, hàm hằng $x\to 1$ Là $4\pi$ định kỳ là tốt).

Do đó chức năng của bạn trông rất định kỳ.

— Laurent Duval
nguồn