Liên quan băng thông và bước sóng của sóng mang

Điều này xuất phát từ một câu hỏi bài tập về nhà, mà tôi đã giải quyết. Chỉ cần làm rõ một số.

Tôi được yêu cầu xác định băng thông trong một lượng phổ nhất định tại một bước sóng nhất định. Để tìm thấy điều này, tôi biết rằng;

$$\delta_f = \frac{c\cdot \delta_\lambda}{\lambda^2}$$

Ở đâu $\delta_f$ là băng thông, $\delta_\lambda$ là lượng phổ, $\lambda$ là bước sóng sóng mang cho trước và $c$ tốc độ ánh sáng.

Đó là tất cả tốt và tốt, nhưng tôi không thể tìm thấy bất kỳ lý do tại sao công thức này hoạt động, hoặc nó đến từ đâu. Công thức này đến từ đâu, hoặc nó được gọi là gì, hoặc nó có nguồn gốc như thế nào?

Câu hỏi đọc như sau;

Có bao nhiêu băng thông trong $0.1 \textrm{ micron}$ của phổ ở bước sóng $1 \textrm{ micron}$?

Tôi sẽ cố gắng rút ra công thức của bạn. Công thức bạn đã đưa ra là về mặt kỹ thuật không chính xác, nhưng ở mức độ thực tế. Tôi sẽ cố gắng giải thích dưới đây.

Công thức cho tần số của bất kỳ sóng nào (âm thanh, nước, ánh sáng, v.v.) là $f = \frac{\nu}{\lambda}$, Ở đâu $\lambda$ là bước sóng và $\nu$là vận tốc của sóng. Điều này có ý nghĩa trực quan nếu bạn nghĩ về nó bởi vì bạn sẽ thấy càng nhiều đỉnh thì sóng truyền đi càng nhanh và bạn sẽ thấy các đỉnh càng ít thì bước sóng càng dài. Trong trường hợp của bạn, tất nhiên, tốc độ sóng là$c$.

Băng thông là tần số cao nhất trừ đi tần số thấp nhất.

$$\begin{align} B &= f_h - f_l \\ &= \frac{c}{\lambda_l} - \frac{c}{\lambda_h} \\ &= \frac{c}{\lambda - \frac{\Delta\lambda}{2}} - \frac{c}{\lambda + \frac{\Delta\lambda}{2}} \end{align}$$ Tại thời điểm này để làm cho việc gõ dễ dàng hơn một chút, tôi sẽ gọi $\frac{\Delta\lambda}{2}$ "$d$". $$\begin{align} B &= \frac{c}{\lambda - d} - \frac{c}{\lambda + d} \\ &= \frac{c(\lambda + d) - c(\lambda - d)}{(\lambda - d)(\lambda + d)} \\ &= \frac{2cd}{\lambda^2 - d^2} \\ &= \frac{c\Delta\lambda}{\lambda^2 - \frac{\Delta\lambda^2}{4}} \end{align}$$ Công thức bạn đã đưa ra là, như một vấn đề thực tế, chính xác, bởi vì thông thường $\Delta\lambda$ nhỏ hơn nhiều so với $\lambda$. Trong trường hợp của bạn$\Delta\lambda$ là 1/10 $\lambda$, mà thực sự lớn hơn nhiều so với bất kỳ tình huống bình thường. Thông thường$\Delta\lambda$ là các đơn đặt hàng có cường độ nhỏ hơn $\lambda$. Ngay cả ở 1/10, mặc dù,$\frac{\Delta\lambda^2}{4}$ Là $\frac{\lambda^2}{400}$, đó là không đáng kể. Vì vậy, nó được bỏ.

Tôi hi vọng cái này giúp được.

Công thức bạn đã được đưa ra bắt nguồn từ sau:

f = c / lambda .... tôi sẽ gọi lambda = l

Đạo hàm của f đối với l:

df / dl = -c / l ^ 2

Ngụ ý rằng df = -c * dl / l ^ 2 Dấu trừ có thể bị bỏ qua vì chúng ta chỉ quan tâm đến tần số giá trị tuyệt đối của sự thay đổi tần số.