Tại sao các hệ thống tuyến tính cho thấy độ trung thực hình sin?

9

Tôi đang tìm kiếm một bằng chứng cho sự trung thực hình sin. Trong DSP, chúng tôi nghiên cứu rất nhiều về các hệ thống tuyến tính. Hệ thống tuyến tính là đồng nhất và phụ gia. Một điều kiện nữa nó bão hòa là nếu tín hiệu là sóng hình sin hoặc cos thì đầu ra chỉ thay đổi pha hoặc biên độ. Tại sao? Tại sao đầu ra không thể là đầu ra hoàn toàn khác khi sóng hình sin được đưa ra làm đầu vào?

— Người theo chủ nghĩa
nguồn

1

Chào mừng đến với DSP. Câu hỏi tuyệt vời!

— Phonon

5

Sự hiểu biết của bạn là không đầy đủ. Một hệ thống tuyến tính (có nghĩa là đồng nhất và phụ gia) không nhất thiết phải có đặc tính là một hình sin đầu vào tạo ra một hình sin có cùng tần số nhưng có thể có biên độ và pha khác nhau. Bạn cần áp đặt các hạn chế hơn nữa rằng hệ thống cũng bất biến theo thời gian. Ví dụ: nếu đầu vào

x (t)

$x(t)$ tạo ra đầu ra

x (t) \cos (2 π 10^{9} t)

$x(t)\cos(2\pi 10^9 t)$ , thì hệ thống là đồng nhất và phụ gia, và do đó tuyến tính, nhưng không thỏa mãn tính chất SISO (hình sin trong hình sin).

— Dilip Sarwate

Dilip (hoặc ai đó) nên đặt câu trả lời: "Họ không." Chỉ có hệ thống tuyến tính bất biến thời gian làm.

— hotpaw2

2

Cũng như một ghi chú, một cách khác để diễn đạt câu hỏi này sẽ là "Tại sao các hàm riêng của hàm mũ của các hệ thống bất biến thời gian tuyến tính?"

— Jason R

8

Một phần bổ sung trực quan cho các câu trả lời khác

Bạn đang nói về các hệ thống là bất biến tuyến tính và thời gian.

Các hàm số mũ có một thuộc tính đặc thù (và có thể được xác định bởi nó): thực hiện một kết quả dịch thời gian trong cùng một hàm nhân với một hằng số. Vì thế

e^{t - t_{0}} = e^{- t_{0}} e^{t}

$e^{t-t_0}=e^{-t_0}e^t$

Đồ họa toán học

Số mũ màu đỏ cũng có thể là màu xanh dương chia cho hoặc di chuyển 1 giây sang phải $e$

Nói chung, điều này cũng đúng với số mũ phức tạp

Bạn có thể hình dung trong đầu bạn một âm mưu của một sóng hài phức như không? Nếu vậy, bạn sẽ thấy nó giống như một con suối: nó quay dọc theo mặt phẳng phức tạp khi thời gian trôi qua. $x(t)=e^{j2\pi t}$

Đồ họa toán học

Xoay lò xo đó (nhân với một số phức trong vòng tròn đơn vị) cũng giống như dịch nó. Bạn có thể đã đi vào hiệu ứng hình ảnh này một thời gian trong cuộc sống của bạn

nhập mô tả hình ảnh ở đây

Đó là nguyên tắc của bất kỳ vít tiêu chuẩn quá.

Giả sử chúng ta nhập cái này vào một hệ thống bất biến thời gian tuyến tính. Bạn nhận được một đầu ra Bây giờ, nhập một phiên bản xoay của mùa xuân này. Bởi vì tuyến tính, sản lượng nên được xoay một khoản tương ứng. Nhưng vì một vòng quay tương đương với thời gian dịch và hệ thống là bất biến theo thời gian, đầu ra cũng phải được dịch theo thời gian cùng một lượng. Vì vậy, phải thỏa mãn tính chất giống như đầu vào: xoay nó phải tương đương với một bản dịch thời gian cụ thể. Điều này chỉ xảy ra khi đầu ra là bội số của lò xo ban đầu. $y$ $y$ $y$ $y$

Dịch bao nhiêu? Chà, nó tỷ lệ thuận với vòng quay giống như nó sẽ xảy ra với một mùa xuân. Các vòng lặp của lò xo càng chặt (nó quay càng nhanh) thì thời gian dịch càng ít cho một vòng quay nhất định. Các vòng của vít càng chặt, bạn càng có nhiều vòng để làm cho nó khớp hoàn toàn. Và, khi một nửa số vòng được thực hiện, ốc vít sẽ bằng một nửa trong ... Đầu ra phải thỏa mãn cùng một mối quan hệ, do đó, lò xo đầu ra quay cùng tần số với đầu vào. $y$

Cuối cùng, một lời nhắc nhở

\cos (t) = \frac{e^{j t} + e^{- j t}}{2}

$\cos(t)=\frac{e^{j t}+e^{-j t}}{2}$

\sin (t) = \frac{e^{j t} - e^{- j t}}{2 j}

$\sin(t)=\frac{e^{j t}-e^{-j t}}{2 j}$

Vì vậy, điều đó xảy ra với số mũ thực sự không cần phải xảy ra với cosin và sin trong trường hợp chung nhất. Nhưng nếu hệ thống cũng có thật thì đó là một câu chuyện khác ...

Nói chung, với cùng lý do này, bất kỳ số mũ nào cũng là một "hàm riêng" (đầu ra tỷ lệ thuận với đầu vào) của các hệ thống bất biến thời gian tuyến tính. Đó là lý do tại sao các hệ thống này biến đổi Z và biến đổi Laplace rất hữu ích

— Rojo
nguồn

Làm thế nào / bạn đã có được hình ảnh động đó từ đâu?

— Spacey

@Mohammad đã lấy nó từ trang wikipedia trên vít Archimedes

— Rojo

Nơi mà bạn có được cốt truyện corkscrew? :) math.stackexchange.com/q/144268/2206

— endolith

@endolith oh tôi vừa mới làm nó trong Mathematica. Bạn đẹp hơn;)

— Rojo

4

Hãy xem xét một hệ thống có đầu vào và đầu ra . Mượn ký hiệu từ câu trả lời của Lars1, chúng tôi biểu thị mối quan hệ này . Hệ thống được gọi là hệ thống bất biến thời gian tuyến tính (LTI) nếu nó thỏa mãn các tính chất sau: $x(t)$ $y(t)$ $x(t) \to y(t)$

H. Nếu , thì . $x(t) \to y(t)$ $\alpha x(t) \to \alpha y(t)$

A. Nếu và , thì $x_1(t) \to y_1(t)$ $x_2(t) \to y_2(t)$ $x_1(t) + x_2(t) \to y_1(t) + y_2(t).$

T. Nếu , sau đó đối với bất kỳ số thực . $x(t) \to y(t)$ $x(t-\tau) \to y(t-\tau)$ $\tau$

Thuộc tính H và A cùng tương đương với Thuộc tính L

L. Nếu và , sau đó . $x_1(t) \to y_1(t)$ $x_2(t) \to y_2(t)$ $\alpha x_1(t) + \beta x_2(t) \to \alpha y_1(t) + \beta y_2(t)$

Đầu vào định kỳ cho hệ thống bất biến thời gian tạo ra đầu ra định kỳ
Giả sử là tín hiệu định kỳ với chu kỳ , nghĩa là cho tất cả các số nguyên . Sau đó, từ tài sản T , nó sau ngay lập tức mà cũng là một tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ . Do đó, chúng ta có thể biểu thị dưới dạng chuỗi Fourier: $x(t)$ $T$ $x(t-nT) = x(t)$ $n$ $y(t)$ $T$ $y(t)$

nơilà tần số cơ bản.

y (t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cos (n ω t) + b_{n} \sin (n ω t)

$y(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin(n\omega t)$

ω = 2 π / T

$\omega = 2\pi/T$

Kể từ khi và là tín hiệu định kỳ, chúng tôi có mà cho bất kỳ hệ thống đổi theo thời gian, cho dù tuyến tính hay không, $\cos(\omega t)$ $\sin(\omega t)$ Trong thực tế, đối vớituyến tínhhệ thống thời gian bất biến (LTI),tất cảcácvàlà zerotrừ cho

\begin{aligned} \cos (ω t) & \to \frac{p_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} p_{n} \cos (n ω t) + q_{n} \sin (n ω t) \\ \sin (ω t) & \to \frac{r_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} r_{n} \cos (n ω t) + s_{n} \sin (n ω t) \end{aligned} .

$\begin{align*} \cos(\omega t) &\to \frac{p_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} p_n \cos(n\omega t) + q_n \sin(n\omega t)\\ \sin(\omega t) &\to \frac{r_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} r_n \cos(n\omega t) + s_n \sin(n\omega t)\\ \end{align*}.$

p_{n}, q_{n}, r_{n},

$p_n, q_n, r_n,$

s_{n}

$s_n$

. Để xem tại sao điều này là như vậy, chúng ta hãy tính toán phản ứng của hệ thống LTI để

theo hai cách khác nhau và so sánh kết quả.

p_{1}, q_{1}, r_{1}, s_{1}

$p_1, q_1, r_1, s_1$

\cos (ω t - θ)

$\cos(\omega t - \theta)$

Kể từ khi , chúng tôi nhận được từ tài sản L và các phương trình trên mà $\cos(\omega t - \theta) = \cos(\theta)\cos(\omega t) + \sin(\theta)\sin(\omega t)$ Mặt khác, kể từ khi chỉ là một phiên bản chậm của, từ tài sản

\begin{aligned} \cos (ω t - θ) & \to \frac{p_{0} \cos (θ) + q_{0} \sin (θ)}{2} \\ + \sum_{n = 1}^{\infty} (p_{n} \cos (θ) + r_{n} \sin (θ)) \cos (n ω t) \\ + \sum_{n = 1}^{\infty} (q_{n} \cos (θ) + s_{n} \sin (θ)) \sin (n ω t) . \end{aligned}

$\begin{align*} \cos(\omega t - \theta) &\to \frac{p_0\cos(\theta) + q_0\sin(\theta)}{2}\\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (p_n\cos(\theta) + r_n\sin(\theta))\cos(n\omega t)\\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (q_n\cos(\theta) + s_n\sin(\theta))\sin(n\omega t). \end{align*}$

\cos (ω t - θ) = \cos (ω (t - θ / ω))

$\cos(\omega t - \theta) = \cos(\omega (t-\theta/\omega))$

\cos (ω t)

$\cos(\omega t)$ T chúng tôi nhận được rằng

Hai chuỗi Fourier này phải giống nhau cho dù giá trị của

chúng tôi chọn là bao nhiêu. Hệ số so sánh, chúng ta thấy rằng

có thể không bằng nhau

\begin{aligned} \cos (ω t - θ) & \to \frac{p_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} p_{n} \cos (n ω t - n θ) + q_{n} \sin (n ω t - n θ) \\ = \frac{p_{0}}{2} \\ + \sum_{n = 1}^{\infty} (p_{n} \cos (n θ) - q_{n} \sin (n θ)) \cos (n ω t) \\ + \sum_{n = 1}^{\infty} (q_{n} \cos (n θ) + p_{n} \sin (n θ)) \sin (n ω t) \end{aligned} .

$\begin{align*} \cos(\omega t - \theta) &\to \frac{p_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} p_n \cos(n\omega t -n\theta) + q_n \sin(n\omega t - n\theta)\\ &= \frac{p_0}{2} \\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (p_n\cos(n\theta) - q_n\sin(n\theta))\cos(n\omega t)\\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (q_n\cos(n\theta) + p_n\sin(n\theta))\sin(n\omega t) \end{align*}.$

θ

$\theta$

p_{0} / 2

$p_0/2$

với mọi

trừ khi

. Tương tự, với mọi

,

không thể bằng

v.v ... với mọi

trừ khi

(p_{0} \cos (θ) + r_{0} \cos (θ)) / 2

$(p_0\cos(\theta) + r_0\cos(\theta))/2$

θ

$\theta$

p_{0} = r_{0} = 0

$p_0 = r_0 = 0$

n > 1

$n > 1$

p_{n} \cos (n θ) - q_{n} \sin (n θ)

$p_n\cos(n\theta) - q_n\sin(n\theta)$

p_{n} \cos (θ) + r_{n} \sin (θ)

$p_n \cos(\theta) + r_n\sin(\theta)$

θ

$\theta$

. Tuy nhiên, đối với

,

ngụ ý rằng

, và tương tự,

. Nói cách khác, đối với một hệ thống LTI,

p_{n} = q_{n} = r_{n} = s_{n} = 0

$p_n = q_n = r_n = s_n = 0$

n = 1

$n=1$

p_{1} \cos (θ) - q_{1} \sin (θ) = p_{1} \cos (θ) + r_{1} \sin (θ)

$p_1\cos(\theta) - q_1\sin(\theta) = p_1\cos(\theta) + r_1\sin(\theta)$

r_{1} = - q_{1}

$r_1 = -q_1$

s_{1} = p_{1}

$s_1 = p_1$

Bây giờ,

nơi

\begin{aligned} \cos (ω t) & \to p_{1} \cos (ω t) + q_{1} \sin (ω t) \\ \sin (ω t) & \to - q_{1} \cos (ω t) + p_{1} \sin (ω t) \end{aligned} .

$\begin{align*} \cos(\omega t) &\to p_1 \cos(\omega t) + q_1\sin(\omega t)\\ \sin(\omega t) &\to -q_1 \cos(\omega t)+ p_1 \sin(\omega t)\\ \end{align*}.$

p_{1} \cos (ω t) + q_{1} \sin (ω t) = B \cos (ω t - ϕ)

$p_1 \cos(\omega t) + q_1\sin(\omega t) = B\cos(\omega t - \phi)$

và

. Do đó, tínhTvàHcung cấp cho chúng ta biết rằng

Bất kỳhình sin của tần số

rad / s có thể được diễn tả như

B = \sqrt{p_{1}^{2} + q_{1}^{2}}

$B = \sqrt{p_1^2+q_1^2}$

ϕ = \arctan (q_{1} / p_{1})

$\phi = \arctan(q_1/p_1)$

A \cos (ω t - θ) \to A B \cos (ω t - ϕ - θ) .

$A\cos(\omega t - \theta) \to AB\cos(\omega t - \phi - \theta).$

ω

$\omega$

cho sự lựa chọn thích hợp của

và

, và do đó kết quả trên là những gì chúng ta cần.

A \cos (ω t - θ)

$A\cos(\omega t - \theta)$

A

$A$

θ

$\theta$

Thuộc tính SISO của hệ thống bất biến thời gian tuyến tính: Nếu đầu vào của hệ thống LTI là hình sin, đầu ra là hình sin có cùng tần số nhưng có thể có biên độ và pha khác nhau.

Đây không hoàn toàn là kết quả mà OP mong muốn - anh ta muốn một bằng chứng cho thấy một hệ thống tuyến tính (một trong đó Thuộc tính H và A (tương đương, Thuộc tính L ) nắm giữ nhưng không nhất thiết là Thuộc tính T ) có thuộc tính SISO, nhưng là sự phát triển ở trên cho thấy, Thuộc tính T phải giữ để chứng minh ngay cả kết quả yếu hơn mà đầu vào định kỳ dẫn đến đầu ra định kỳ.

\cos (α - β) = \cos (α) \cos (β) + \sin (α) \sin (β) .

$\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta).$

— Dilip Sarwate
nguồn

x (t)

$x(t)$

T

$T$

x (t)

$x(t)$

x (t) = A_{1} \cos (ω_{1} t) + \A_{2} \cos (ω_{2} t)

$x(t) = A_1\cos(\omega_1 t) + \A_2\cos(\omega_2 t)$

ω_{1} / ω_{2}

$\omega_1/\omega_2$

A_{1} \cos (ω_{1} t) + \A_{2} \cos (ω_{2} t) \to A_{1} B_{1} \cos (ω_{1} t - ϕ_{1}) + \A_{2} B_{2} \cos (ω_{2} t - ϕ_{2})

$A_1\cos(\omega_1 t) + \A_2\cos(\omega_2 t) \to A_1 B_1\cos(\omega_1 t - \phi_1) + \A_2B_2\cos(\omega_2 t-\phi_2)$

x (t) = \cos (π t) + \cos (\sqrt{2} t)

$x(t)=\cos(\pi t)+\cos(\sqrt{2}t)$

t \in T = [0; T]

$t\in\mathbb{T}=[0;T]$

T

$T$

T

$\mathbb{T}$

t \on t

$t\on\mathbb{t}$

[0, T]

$[0, T]$

x (t)

$x(t)$

y (t)

$y(t)$

y (t)

$y(t)$

[0, T]

$[0,T]$

\hat{y} (t)

$\hat{y}(t)$

\hat{x} (t)

$\hat{x}(t)$

t

$t$

- \infty < t < \infty

$-\infty< t < \infty$

\hat{x} (t) = x (t mod T) .

$\hat{x}(t) = x(t \bmod T).$

T

$T$

x (t)

$x(t)$

T

$T$

x (t)

$x(t)$

y (τ)

$y(\tau)$

t

$t$

x

$x$

y

$y$

y

$y$

3

Đây là ý tưởng của bằng chứng. Giả sử chúng ta có thể mô tả đầu ra của một hệ thống bằng cách tích chập,

y (t) = \int k_{t} (t - τ) f (τ) d τ

$y(t) = \int k_t(t-\tau) f(\tau) d\tau$

$k_t(t)$ $t$ $k_t(t)$ $k_t$ $t$

y (t) = \int k (t - τ) f (τ) d τ

$y(t) = \int k(t-\tau) f(\tau) d\tau$

$f(t)$ $f(t) = e^{i\omega t}$

y (t) = \int k (t - τ) e^{i ω τ} d τ = \int k (τ) e^{i ω (t - τ)} d τ = e^{i ω t} \int k (τ) e^{- i ω τ} d τ

$y(t) = \int k(t-\tau) e^{i\omega \tau} d\tau = \int k(\tau) e^{i\omega (t-\tau)} d\tau = e^{i\omega t} \int k(\tau) e^{-i\omega \tau}d\tau$

$t$ $K(\omega) := \int k(\tau) e^{-i\omega \tau}d\tau$

Vì vậy, chúng tôi đã phát hiện ra rằng

y (t) = K (ω) e^{i ω t}

$y(t) = K(\omega) e^{i\omega t}$

$y(t)$ $K(\omega)$ $t$

$s$

Bây giờ, hãy sử dụng biến đổi Laplace, để kết thúc với (vì biến đổi Laplace đưa phép tích chập thành phép nhân),

Y (s) = K (s) F (s)

$Y(s) = K(s) F(s)$

$f$ $f(t)=e^{i\omega t}$ $\omega$ $F(s) = \delta_{w}(s)$

Y (s) = K (s) δ_{ω} (s) = K (ω) δ_{ω} (s)

$Y(s) = K(s)\delta_\omega (s) = K(\omega) \delta_\omega(s)$

$K(\omega)$ $y(t)$

Tình cờ, tôi chỉ nhận thấy bạn có thể tìm thấy ý tưởng tương tự được viết trong miền thời gian tại Wikipedia . Một lời giải thích ở cấp độ cao hơn (mà bạn có thể bỏ qua nếu nó quá toán học) là lý thuyết hệ thống tuyến tính được xác định thông qua hoạt động tích chập, được chéo bởi biến đổi Fourier. Do đó, một hệ thống có đầu vào là một hàm riêng của toán tử biến đổi Fourier sẽ chỉ xuất ra một phiên bản thu nhỏ của đầu vào của nó.

— Vâng
nguồn

s

$s$

ω

$\omega$

δ_{ω} (s)

$\delta_{\omega}(s)$

Y (s) = K (s) δ_{ω} s)

$Y(s) = K(s)\delta_{\omega} s)$

@DilipSarwate Tôi nghi ngờ anh ấy đang sử dụng ký hiệu biến đổi Laplace thay vì ký hiệu Fourier.

— Jim Clay

@sydeulissie Vấn đề là bạn khẳng định rằng K (w) là "chỉ là một số phức", nhưng bạn chưa nói tại sao nó chỉ là một số phức ở mỗi tần số. Đó là trung tâm của bằng chứng.

— Jim Clay

3

Điều này có một phác thảo chính xác nhưng nhiều vấn đề trong các chi tiết. Không downvote, nhưng nó cần được sửa chữa.

— Phonon

1

$x_1(t)$ $y_1(t) = {\cal G}(x_1(t))$ $x_2(t)$ $y_2(t) = {\cal G}(x_1(t))$

a \cdot x_{1} (t) + b \cdot x_{2} (t) \to y (t) = G (a \cdot x_{1} (t) + b \cdot x_{2} (t)) = a \cdot G (x_{1} (t)) + b \cdot G (x_{2} (t)) = a \cdot y_{1} (t) + b \cdot y_{2} (t)

$a\cdot x_1(t) + b\cdot x_2(t) \rightarrow y(t) = {\cal G}(a\cdot x_1(t) + b\cdot x_2(t)) = a\cdot {\cal G}(x_1(t)) + b\cdot {\cal G}(x_2(t)) = a\cdot y_1(t) + b\cdot y_2(t)$

$a$ $b$

Từ định nghĩa về tuyến tính và đòi hỏi thêm một hệ thống bất biến thời gian, chúng ta có thể thấy trực tiếp rằng hai (hoặc nhiều tín hiệu) không thể can thiệp và tạo ra các thành phần tần số mới trong khi vẫn tuân thủ yêu cầu tuyến tính. Nguyên tắc chồng chất cũng tuân theo trực tiếp từ định nghĩa tuyến tính.

Cũng từ định nghĩa tuyến tính, khái niệm tích chập cho các hệ bất biến thời gian tuyến tính theo sau. Đối với các hệ phi tuyến, ví dụ, chúng ta có chuỗi Volterra là tích phân tích chập đa chiều - tích phân tích chập 1 chiều là trường hợp đặc biệt của sê-ri Volterra. Đây là cách phức tạp hơn so với các kỹ thuật tuyến tính mặc dù. Nhưng dựa trên tích phân tích chập cho một hệ tuyến tính, đạo hàm tuân theo hệ số được hiển thị bởi @sydeulissie.

${\cal G}: y(t) = x^2(t)$ $x_1(t)$ $y_1(t) = x_1^2(t)$ $x_2(t)$ $y_2(t) = x_2^2(t)$ $y(t)$

y (t) = {a \cdot x_{1} (t) + b \cdot x_{2} (t)}^{2} = a^{2} \cdot x_{1}^{2} (t) + b^{2} \cdot x_{2}^{2} (t) + 2 \cdot a \cdot b \cdot x_{1} (t) \cdot x_{2} (t)

$y(t) = \left\{ a\cdot x_1(t) + b\cdot x_2(t) \right\}^2 = a^2\cdot x_1^2(t) + b^2\cdot x_2^2(t) + 2\cdot a\cdot b \cdot x_1(t) \cdot x_2(t)$

hoặc là:

y (t) = a^{2} \cdot y_{1} (t) + b^{2} \cdot y_{2} (t) \pm 2 \cdot a \cdot b \cdot \sqrt{y_{1} (t) \cdot y_{2} (t)} \neq a \cdot y_{1} (t) + b \cdot y_{2} (t)

$y(t) = a^2 \cdot y_1(t) + b^2 \cdot y_2(t) \pm 2\cdot a \cdot b \cdot \sqrt{y_1(t) \cdot y_2(t)} \neq a\cdot y_1(t) + b\cdot y_2(t)$

$x^2$ $x(t) = A\cdot \cos(2\pi f_0 t + \phi_0)$ ${\cal G}$

y (t) = x^{2} (t) = A^{2} \cdot \cos^{2} (2 π f_{0} t + ϕ_{0}) = \frac{A^{2}}{2} + \frac{A^{2}}{2} \cdot \cos (2 π 2 f_{0} t + 2 ϕ_{0})

$y(t) = x^2(t) = A^2 \cdot \cos^2(2\pi f_0 t + \phi_0) = \frac{A^2}{2} + \frac{A^2}{2}\cdot \cos(2\pi 2 f_0 t + 2\phi_0)$

$2f_0$ $x^2$

Để kết luận, có thể thấy rằng một hệ thống tuyến tính có thể tạo ra các thành phần tần số không có trong đầu vào (nếu hệ thống là biến thể thời gian). Nếu hệ thống là bất biến thời gian tuyến tính, đầu ra không thể bao gồm các thành phần tần số không có trong đầu vào.

Cảm ơn @Sarwate vì bình luận phù hợp nhất.

— Lars1
nguồn

\cos (t)

$\cos(t)$

@DilipSarwate Vậy có phải chỉ có hệ thống LTI mới có tài sản đó?

— Phonon

Chỉ cần kiểm tra một vài cuốn sách để được an toàn. Trên thực tế dường như có một số khác biệt trong các chi tiết. Một định nghĩa trong cuốn sách của Yang và Lee về các hệ thống mạch từ năm 2007 nói: "Một hệ thống được gọi là tuyến tính nếu nguyên tắc chồng chất giữ, tức là đầu ra của nó thành một tổ hợp tuyến tính của một số đầu vào tùy ý giống như kết hợp tuyến tính của các đầu ra với đầu vào riêng lẻ ". Về mặt đó, ví dụ của Sarwate là tuyến tính - nhưng không phải là bất biến thời gian. Các ref khác ít chính xác hơn. Cảm ơn @Sarwate.

— Lars1

1

x (t) \cos (t)

$x(t)\cos(t)$

x (t)

$x(t)$

a x_{1} (t) + b x_{2} (t)

$ax_1(t)+bx_2(t)$

(a x_{1} (t) + b x_{2} (t)) \cos (t) = a \cdot x_{1} (t) \cos (t) + b \cdot x_{2} (t) \cos (t)

$(ax_1(t)+bx_2(t))\cos(t)=a⋅x_1(t)\cos(t) +b⋅x_2(t)\cos(t)$

@Sarwate Hệ thống tạo ra thời gian đầu ra x (t) cos (t) khác nhau như thế nào? Tôi là một người mới bắt đầu trong DSP của

— Hobyist

1

Như Dilip Sarwate đã chỉ ra, chỉ các hệ thống dịch chuyển bất biến tuyến tính (LSIV) mới có thuộc tính SISO (sinus in-sinusoid out).

$e^{\jmath \omega t}$

— chaohuang
nguồn