Không, Thứ nhất, Thứ hai, thứ tự thứ n Giữ thứ tự

9

Hàm hình chữ nhật được định nghĩa là:

r e c t (t) = {\begin{cases} 0 & if | t | > \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & if | t | = \frac{1}{2} \\ 1 & if | t | < \frac{1}{2} . \end{cases}

$\mathrm{rect}(t) = \begin{cases} 0 & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \mbox{if } |t| = \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2}. \\ \end{cases}$

Hàm tam giác được định nghĩa là: Đây là tích chập của hai hàm hình chữ nhật đơn vị giống hệt nhau: Giữ không thứ tự và Đầu tiên- giữ trật tự sử dụng các chức năng này. Trên thực tế, nó có: cho việc giữ không thứ tự và để giữ thứ tự đầu tiên. Từ

tri (t) = {\begin{cases} 1 - | t |, & | t | < 1 \\ 0, & otherwise \end{cases}

$\operatorname{tri}(t) = \begin{cases} 1 - |t|, & |t| < 1 \\ 0, & \mbox{otherwise} \end{cases}$

tri (t) = rect (t) * rect (t) = \int_{- \infty}^{\infty} r e c t (τ) \cdot r e c t (t - τ) d τ

$\operatorname{tri}(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t) \quad = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(\tau) \cdot \mathrm{rect}(t-\tau)\ d\tau$

x_{Z O H} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) r e c t (t - n)

$x_{\mathrm{ZOH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\, \mathrm{rect} \left(t-n\right) \$

x_{F O H} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) t r i (t - n)

$x_{\mathrm{FOH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\, \mathrm{tri} \left(t-n\right) \$

tri (t) = rect (t) * rect (t)

$\operatorname{tri}(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)$ , tôi muốn biết liệu đây chỉ là sự trùng hợp hay nếu, đối với lệnh thứ hai giữ phản hồi xung là Có đúng với một lệnh giữ -th chung không? Cụ thể, đặt where là phản hồi xung của lệnh giữ thứ , tôi muốn biết liệu đáp ứng xung của nó có phải là

tri (t) * tri (t) = (rect (t) * rect (t)) * (rect (t) * rect (t)) .

$\operatorname{tri}(t)*\operatorname{tri}(t)=\left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right)*\left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right).$

k

$k$

x_{K - T H} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) g_{k} (t - n)

$x_{\mathrm{K-TH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\, \mathrm{g}_k \left(t-n\right) \$

g_{k} (t - n)

$\mathrm{g}_k \left(t-n\right)$

k

$k$

g_{k} (t - n) = (rect (t) * rect (t)) * \dots * (rect (t) * rect (t)),

$\mathrm{g}_k \left(t-n\right)=\left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right)* \dots * \left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right),$ k lần.

sampling interpolation

— dấu
nguồn

tôi chưa thấy một tài liệu tham khảo cho một -thứ giữ trật tự cho . tôi đã dự kiến nó sẽ là hàm kết hợp với chính nó lần. nhưng tôi không biết định nghĩa là gì.

k

$k$

k > 1

$k>1$

rect (t)

$\operatorname{rect}(t)$

k - 1

$k-1$

— robert bristow-johnson

1

@ robertbristow-johnson: Tương tự với phép giữ bậc 0 (phép nội suy đa thức bậc 0, tức là hằng số piecewise), và phép giữ bậc nhất (phép nội suy đa thức bậc nhất, tức là tuyến tính bậc hai) là một phép nội suy từng phần bởi một đa thức bậc n. Nó được đề cập ở đây (trang 6).

— Matt L.

1

Những điều này và những gì @ robertbristow-johnson mô tả trong câu trả lời của ông dưới đây được gọi là B-splines.

— Olli Niemitalo

bất cứ ai cũng có thể hiển thị với một ma trận hình ảnh với yếu tố 2, xin vui lòng? Và, tôi khá không rõ ràng về yếu tố ở đây.

— dùng30462

9

Đây không phải là trường hợp. Trước hết, việc giữ bậc hai sẽ sử dụng ba điểm mẫu để tính đa thức nội suy, nhưng đáp ứng xung được đề xuất của bạn là khác không trong một khoảng có kích thước (giả sử khoảng thời gian mẫu là , như bạn làm trong câu hỏi của mình). Tuy nhiên, đáp ứng xung tương ứng với mức giữ thứ hai phải có hỗ trợ độ dài . $\text{tri}(t)\star\text{tri}(t)$ $4$ $T=1$ $3$

Bây giờ bạn có thể đề xuất rằng một -order giữ có thể có một đáp ứng xung đó là tích chập của hàm hình chữ nhật. Trong trường hợp này, bạn sẽ có được kích thước hỗ trợ chính xác, nhưng tất nhiên điều đó là không đủ. $n^{th}$ $n$

Một -order giữ tính toán một phép nội suy khôn ngoan bằng cách sử dụng điểm dữ liệu liên tiếp. Điều này tương tự với việc giữ không thứ tự bằng cách sử dụng một điểm dữ liệu duy nhất và giữ thứ tự đầu tiên, sử dụng hai điểm dữ liệu. Định nghĩa này thường được sử dụng trong tài liệu (xem ví dụ ở đây và ở đây ). $n^{th}$ $n+1$

Thật đơn giản để chỉ ra rằng đa thức bậc hai nội suy ba điểm dữ liệu , và được đưa ra bởi $y[-1]$ $y[0]$ $y[1]$

\begin{matrix} (1) & P (t) = y [- 1] \frac{t (t - 1)}{2} + y [0] (1 - t^{2}) + y [1] \frac{t (t + 1)}{2} \end{matrix}

$P(t)=y[-1]\frac{t(t-1)}{2}+y[0](1-t^2)+y[1]\frac{t(t+1)}{2}\tag{1}$

Để tìm đáp ứng xung đạt được phép nội suy được cho bởi , chúng ta phải đánh đồng với biểu thức $(1)$ $(1)$

\begin{matrix} (2) & y [- 1] h (t + 1) + y [0] h (t) + y [1] h (t - 1) \end{matrix}

$y[-1]h(t+1)+y[0]h(t)+y[1]h(t-1)\tag{2}$

Nếu chúng ta chọn sự hỗ trợ của đáp ứng xung làm khoảng , tương đương với việc chọn khoảng nội suy , kết quả và dẫn đến xung sau phản ứng của việc giữ lệnh thứ hai: $h(t)$ $[-1,2]$ $[0,1]$ $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} (3) & h (t) = {\begin{cases} \frac{1}{2} (t + 1) (t + 2), & - 1 < t < 0 \\ 1 - t^{2}, & 0 \leq t \leq 1 \\ \frac{1}{2} (t - 1) (t - 2), & 1 < t < 2 \\ 0, & otherwise \end{cases} \end{matrix}

$h(t)=\begin{cases}\frac12(t+1)(t+2),&\quad -1<t<0\\ 1-t^2,&\quad0\le t \le 1\\ \frac12 (t-1)(t-2),&\quad 1<t<2\\ 0,&\quad\text{otherwise}\end{cases}\tag{3}$

Đáp ứng xung của lệnh giữ thứ hai trông như thế này: $(3)$

Tôi để nó cho bạn thấy rằng đáp ứng xung này không thể được tạo ra bằng cách kết hợp ba hàm hình chữ nhật với nhau.

— Matt L
nguồn

Matt, bạn có thể cung cấp một tài liệu tham khảo cho đại diện của bạn về việc giữ thứ tự thứ 2 là gì không. Tôi tin chắc 100% rằng cốt truyện là sai.

— robert bristow-johnson

tôi đã sửa phương trình. (1) (giả sử tiền đề là chính xác). tôi sẽ để nó cho bạn phản ánh điều đó vào .

h (t)

$h(t)$

— robert bristow-johnson

@ robertbristow-johnson: Tôi đã gỡ bỏ chỉnh sửa của bạn, vì "chỉnh sửa" của bạn đã sai. Phương trình của tôi cho , vì nó nên như vậy; của bạn cho . Tôi sẽ để lại cho bạn để phản ánh tại sao điều này là sai.

P (- 1) = y [- 1]

$P(-1)=y[-1]$

P (- 1) = - y [- 1]

$P(-1)=-y[-1]$

— Matt L.

tôi đứng sửa về "sửa". tôi đã mất số lượng các dấu trừ. (thực ra tôi đã nghĩ rằng bị tắt bởi một dấu trừ. Tôi đã nhìn xung quanh một chút. Không ai có vẻ đặc biệt rõ ràng.

(t - 1) = 2

$(t-1)=2$

— robert bristow-johnson

6

Vì vậy, đây là lý do tại sao tôi nghĩ rằng một lệnh giữ thứ là một kết hợp với chính nó lần. $n$ $\operatorname{rect}\left( \frac{t - T/2}{T} \right)$ $n$

Wikipedia không phải là tài liệu tham khảo cuối cùng của tất cả mọi thứ, nhưng có một cái gì đó mà tôi đánh hơi từ đó. xem xét lấy mẫu và tái thiết (Shannon Whittaker bất kỳ công thức nào). nếu đầu vào được giới hạn băng thông ban đầu là và các mẫu là thì đầu vào được giới hạn băng thông có thể được xây dựng lại từ các mẫu với $x(t)$ $x[n]\triangleq x(nT)$

x (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] sinc (\frac{t - n T}{T})

$x(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t - nT}{T} \right)$

đó là đầu ra của bộ lọc brickwall lý tưởng với đáp ứng tần số:

\begin{aligned} H (f) & = rect (f T) \\ = {\begin{cases} 1 | f | < \frac{1}{2 T} \\ 0 | f | > \frac{1}{2 T} \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} H(f) &= \operatorname{rect}(fT) \\ &= \begin{cases} 1 \quad |f| < \frac{1}{2T} \\ 0 \quad |f| > \frac{1}{2T} \\ \end{cases} \end{align}$

khi được điều khiển bởi chức năng lấy mẫu lý tưởng

\begin{aligned} x_{s} (t) & = x (t) \cdot \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (\frac{t - n T}{T}) \\ = x (t) \cdot T \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (t) δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n T) δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] δ (t - n T) \end{aligned}

$\begin{align} x_\text{s}(t) & = x(t) \cdot \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \delta\left( \frac{t - nT}{T} \right) \\ & = x(t) \cdot T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT) \\ & = T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x(t) \delta(t - nT) \\ & = T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x(nT) \delta(t - nT) \\ & = T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \delta(t - nT) \\ \end{align}$

vì vậy khi đi vào , cái xuất hiện là . hệ số là cần thiết để mức tăng băng thông của bộ lọc tái tạo, là hoặc 0 dB không thứ nguyên. $x_\text{s}(t)$ $H(f)$ $x(t)$ $T$ $H(f)$ $1$

điều đó có nghĩa là đáp ứng xung của bộ lọc brickwall lý tưởng này là

\begin{aligned} h (t) & = F^{- 1} {H (f)} \\ = \frac{1}{T} sinc (\frac{t}{T}) \end{aligned}

$\begin{align} h(t) & = \mathcal{F}^{-1} \left\{ H(f) \right\} \\ & = \frac1T \operatorname{sinc}\left( \frac{t}{T} \right) \\ \end{align}$

được xây dựng lại là $x(t)$

x (t) = h (t) ⊛ x_{s} (t)

$x(t) = h(t) \circledast x_\text{s}(t)$

chúng tôi rõ ràng không thể nhận ra rằng bộ lọc tái thiết bởi vì nó không phải là nguyên nhân. nhưng với độ trễ đủ, chúng ta có thể tiến gần hơn và gần hơn với một nhân quả bị trì hoãn . $h(t)$

bây giờ một bộ xử lý thực tế không thực sự gần gũi, nhưng vì nó chỉ xuất ra giá trị mẫu cho giai đoạn mẫu ngay sau mẫu, nên đầu ra của bộ DAC trông như thế này $x[n]$

x_{DAC} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] rect (\frac{t - n T - \frac{T}{2}}{T})

$x_\text{DAC}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left( \frac{t - nT - \tfrac{T}2}{T} \right)$

và nó có thể được mô hình hóa như một bộ lọc với đáp ứng xung

h_{ZOH} (t) = \frac{1}{T} rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T})

$h_\text{ZOH}(t) = \frac1T \operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}2}{T} \right)$

được điều khiển bởi cùng . vì thế $x_\text{s}(t)$

x_{DAC} (t) = h_{ZOH} (t) ⊛ x_{s} (t)

$x_\text{DAC}(t) = h_\text{ZOH}(t) \circledast x_\text{s}(t)$

và đáp ứng tần số của bộ lọc tái cấu trúc ngụ ý là

\begin{aligned} H_{ZOH} (f) & = F^{- 1} {h_{ZOH} (t)} \\ = \frac{1 - e^{j 2 π f T}}{j 2 π f T} \\ = e^{j π f T} sinc (f T) \end{aligned}

$\begin{align} H_\text{ZOH}(f) &= \mathcal{F}^{-1}\{ h_\text{ZOH}(t) \} \\ &= \frac{1 - e^{j 2 \pi f T}}{j 2 \pi f T} \\ &= e^{j \pi f T} \operatorname{sinc}(fT) \\ \end{align}$

lưu ý độ trễ nửa mẫu không đổi trong đáp ứng tần số này. đó là nơi tổ chức Zero-order đến từ.

do đó, trong khi ZOH có cùng mức tăng DC với cấu trúc tường gạch lý tưởng nhưng không có cùng mức tăng ở các tần số khác. Ngoài ra, các hình ảnh trong không bị đánh sập hoàn toàn như với bức tường gạch, nhưng chúng bị đánh sập một chút. $x_\text{s}(t)$

vậy tại sao, trong POV của miền thời gian, đây là? tôi nghĩ đó là do sự không liên tục trong . nó không tệ như tổng các xung dirac trong , nhưng có sự gián đoạn nhảy. $x_\text{DAC}(t)$ $x_\text{s}(t)$ $x_\text{DAC}(t)$

Làm thế nào để bạn thoát khỏi sự gián đoạn nhảy? có thể biến chúng thành sự không liên tục của đạo hàm đầu tiên. và bạn làm điều đó bằng cách sử dụng nếu tích hợp trong miền thời gian liên tục. vì vậy , lệnh giữ thứ nhất là một trong đó đầu ra của DAC được chạy qua một bộ tích phân có chức năng truyền nhưng chúng tôi cố gắng hoàn tác các hiệu ứng của bộ tích hợp với bộ phân biệt được thực hiện trong miền thời gian rời rạc. đầu ra của bộ phân biệt thời gian rời rạc đó là hoặc Z-biến $\frac{1}{j 2 \pi f T}$ $x[n] - x[n-1]$ $X(z) - z^{-1}X(z) = X(z)(1 - z^{-1})$

hàm truyền của bộ phân biệt đó là hoặc, trong miền Fourier liên tục, . điều này làm cho chức năng chuyển của đơn đặt hàng đầu tiên giữ chức năng tích hợp thời gian liên tục, bộ phân biệt thời gian rời rạc và ZOH của DAC tất cả được nhân với nhau. $(1 - z^{-1})$ $(1 - (e^{j 2 \pi f T})^{-1}) = 1 - (e^{-j 2 \pi f T})$

\begin{aligned} H_{FOH} (f) & = F^{- 1} {h_{FOH} (t)} \\ = {(\frac{1 - e^{j 2 π f T}}{j 2 π f T})}^{2} \\ = e^{j 2 π f T} {sinc}^{2} (f T) \end{aligned}

$\begin{align} H_\text{FOH}(f) &= \mathcal{F}^{-1}\{ h_\text{FOH}(t) \} \\ &= \left( \frac{1 - e^{j 2 \pi f T}}{j 2 \pi f T} \right)^2 \\ &= e^{j 2 \pi f T} \operatorname{sinc}^2(fT) \\ \end{align}$

đáp ứng xung của điều này là

\begin{aligned} h_{FOH} (t) & = F {H_{FOH} (f)} \\ = (rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T})) ⊛ (rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T})) \\ = \frac{1}{T} tri (\frac{t - T}{T}) \end{aligned}

$\begin{align} h_\text{FOH}(t) &= \mathcal{F}\{ H_\text{FOH}(f) \} \\ &= \left( \operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}{2}}{T}\right) \right) \circledast \left( \operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}{2}}{T}\right) \right) \\ &= \frac{1}{T} \operatorname{tri}\left( \frac{t-T}{T} \right) \\ \end{align}$

bây giờ, tiếp tục với điều này hơn nữa, việc giữ lệnh thứ hai sẽ có cả zeroth liên tục và các dẫn xuất đầu tiên. nó thực hiện điều này bằng cách tích hợp lại trong miền thời gian liên tục và cố gắng bù lại trong miền thời gian rời rạc với một bộ phân biệt khác. mà ném vào một khác có nghĩa là kết hợp với một . $e^{j \pi f T} \operatorname{sinc}(fT)$ $\operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}{2}}{T}\right)$

— robert bristow-johnson
nguồn

Điều này cuối cùng sẽ hội tụ đến một đáp ứng xung Gauss và tôi không thể hiểu được nhiều điều này. Tôi tin tưởng mạnh mẽ rằng việc giữ lệnh thứ n là - hoàn toàn tương tự với ZOH và FOH - một bộ nội suy đa thức bậc n. Tôi chia sẻ quan điểm này với một số tác giả khác: ví dụ: những người này và người này . Tôi chưa thấy cách giải thích của bạn về một đơn hàng thứ n giữ bất cứ nơi nào khác.

— Matt L.

một Gaussian rất dài. đáp ứng xung của lần giữ bậc sẽ là phần liền kề của đa thức bậc nối thứ nối theo cách sao cho tất cả các đạo hàm, cho đến đạo hàm bậc sẽ liên tục. và tôi nghĩ đó là nhân quả. BTW, tôi chưa hoàn thành câu trả lời. sắp xếp ra khỏi nó, nhưng cuối cùng tôi cũng có kế hoạch gắn kết tất cả lại với nhau. và tôi sẽ sửa toàn bộ ngữ pháp lotta

n

$n$

n + 1

$n+1$

n

$n$

(n - 1)

$(n-1)$

— robert bristow-johnson

2

Một câu hỏi khác được đánh dấu là một bản sao của điều này. Ở đó nó cũng được hỏi là giữ đa giác là gì. Nó và đa giác dường như là từ đồng nghĩa của phép nội suy tuyến tính, trong đó "các chấm được kết nối" thay vì đầu ra trông giống như một cái cưa như trong giữ thứ tự dự đoán. Kết nối các mẫu với các dòng đòi hỏi phải biết trước mẫu tiếp theo để dòng có thể được nhắm đúng hướng. Trong bối cảnh các hệ thống điều khiển thời gian thực mà các mẫu không được biết trước, điều đó có nghĩa là đầu ra phải bị trễ bởi một khoảng thời gian lấy mẫu để các đường kết nối tại các mẫu.

Giữ đa thức (không giữ đa giác) bao gồm cả giữ không thứ tự và giữ thứ tự đầu tiên.

— Olli Niemitalo
nguồn