Lấy mẫu hàm liên tục: Đồng bằng của Kronecker hoặc Dirac?

Tôi đã đọc một số bài báo về việc phát tín hiệu và tôi rất bối rối về vấn đề trong tiêu đề câu hỏi của mình. Hãy xem xét một hàm liên tục của thời gian , , mà tôi lấy mẫu ở thời điểm không đồng đều , trong đó . Đối với tôi, nó có ý nghĩa rằng chức năng lấy mẫu là: $t$ $f(t)$ $t_k$ $k=1,2,...,N$ nơi

f_{S} (t) = = Σ_{k = = 1}^{N} δ_{t, t_{k}} f (t), (1)

$f_s(t)=\sum_{k=1}^N\delta_{t,t_k}f(t),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

làdeltacủa Kronecker(bằng

khi

, zero ở nơi khác). Tuy nhiên,trong bài báo này, tác giả định nghĩa tín hiệu được lấy mẫu là:

δ_{t, t_{k}}

$\delta_{t,t_k}$

1

$1$

t = t_{k}

$t=t_k$

nơi

là hàm delta Dirac và tôi thực sự không hiểu tại sao

xuất hiện ở đây (tác giả tuyên bố rằng chức năng lấy mẫu thực sự là một tổng trọng số của hàm delta

f_{S} (t) = = \frac{1}{N} Σ_{k = = 1}^{N} f (t) δ (t - t_{k}), (2)

$f_s(t)=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}f(t)\delta(t-t_k),\ \ \ (2)$

δ (t - t_{k})

$\delta(t-t_k)$

1 / N

$1/N$

và ở đây anh chọn

. Tôi thực sự không hiểu tại sao). Tuyên bố cuối cùng này không có ý nghĩa nhiều với tôi: tín hiệu được lấy mẫu sẽ có biên độ vô hạn tại

S (t) = = C \frac{Σ_{k = = 1}^{N} w_{k} δ (t - t_{k})}{Σ_{k = = 1}^{N} w_{k}},

$s(t)=C\frac{\sum_{k=1}^{N}w_k\delta(t-t_k)}{\sum_{k=1}^{N}w_k},$

C = w_{k} = 1

$C=w_k=1$

t = t_{k}

$t=t_k$

$f_s(t)$ $(2)$ $f(t)$ $(1)$ $f(t)$

sampling

— Néstor
nguồn

Mô hình hóa quá trình lấy mẫu thông qua nhân tín hiệu thời gian liên tục bằng một chuỗi xung Dirac là cách giải thích phổ biến nhất theo kinh nghiệm của tôi. Nếu bạn nghiên cứu sâu về nó, bạn sẽ thấy một số bất đồng về độ chính xác toán học của phương pháp này *, nhưng tôi sẽ không lo lắng về nó; nó chỉ là một mô hình thuận tiện cho quá trình. Không có bộ tạo xung bên trong ADC điện thoại di động của bạn tạo ra các tia sét định kỳ nhân với đầu vào tương tự của chúng.

Như bạn đã lưu ý, bạn không thể tính toán biến đổi Fourier thời gian liên tục của hàm delta Kronecker, vì miền của nó không liên tục (nó bị giới hạn trong các số nguyên). Ngược lại, hàm delta Dirac có một biến đổi Fourier đơn giản và hiệu ứng nhân tín hiệu bằng một chuỗi xung Dirac rất dễ hiển thị do tính chất rây của nó.

*: Ví dụ: nếu bạn sẽ chính xác về mặt toán học, bạn sẽ nói rằng đồng bằng Dirac hoàn toàn không phải là một hàm, mà thay vào đó là một bản phân phối . Nhưng ở cấp độ kỹ thuật, những vấn đề này thực sự chỉ là ngữ nghĩa.

Chỉnh sửa: Tôi sẽ giải quyết các bình luận dưới đây. Bạn đã đưa ra mô hình tinh thần của quá trình lấy mẫu là:

f_{S} (t) = = Σ_{k = = 1}^{N} \int_{t_{k} - ε_{k}}^{t_{k} + ε_{k}} f (t) δ (t - t_{k}) d t .

$f_s(t) = \sum_{k=1}^N \int_{t_k-\epsilon_k}^{t_k+\epsilon_k} f(t) \delta(t-t_k) dt.$

$f_s(t)$ $t$ $\epsilon_k > 0$

f_{S} (t) = = Σ_{k = = 1}^{N} f (t_{k}),

$f_s(t)=\sum_{k=1}^N f(t_k),$

Điều đó không đúng. Thay vào đó, mô hình cho tín hiệu được lấy mẫu là:

f_{S} (t) = = Σ_{k = = - \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T)

$f_s(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT)$

$t_k = kT$

\begin{aligned} F_{S} (ω) & = = \int_{- \infty}^{\infty} f_{S} (t) e^{- j ω t} d t \\ = = \int_{- \infty}^{\infty} Σ_{k = = - \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T) e^{- j ω t} d t \\ = = Σ_{k = = - \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T) e^{- j ω t} d t \\ = = Σ_{k = = - \infty}^{\infty} f (k T) e^{- j ω k T} \end{aligned}

$\begin{align} F_s(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}f_s(t) e^{-j \omega t} dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT) e^{-j \omega t} dt \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT) e^{-j \omega t} dt \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(kT) e^{-j \omega kT} \end{align}$

Nếu chúng ta xác định phiên bản rời rạc, được lấy mẫu của tín hiệu $f(t)$ được $x[n] = f(nT)$ , sau đó bạn còn lại với:

F_{S} (ω) = = Σ_{n = = - \infty}^{\infty} x [n] e^{- j ω n}

$F_s(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j \omega n}$

đó chính xác là định nghĩa của biến đổi Fourier thời gian rời rạc .

— Jason R
nguồn

Làm thế nào bạn sẽ giải quyết thực tế là biên độ là "vô hạn"? Những gì tôi thường nghĩ là bạn thực sự không "lấy mẫu" tín hiệu tại một thời điểm riêng biệt

t_{k}

$t_k$ , nhưng thay vào đó bạn tích hợp tín hiệu trong một thời gian nhất định

Δ t_{k}

$\Delta t_k$ . Tuy nhiên, cách giải thích này sẽ vi phạm bất kỳ hình thức tính toán Biến đổi Fourier nào với cùng lý do như đồng bằng Kronecker. Ngoài ra ... tại sao tác giả của bài báo trong liên kết tôi đưa ra chia lược Dirac cho

N

$N$ ? Điều đó không có ý nghĩa gì với tôi.

— Néstor

Trong thực tế, bạn đã đúng. Luôn có một số "thời gian tích hợp" hiệu quả của tín hiệu tương tự nhờ băng thông hữu hạn của bất kỳ mặt trước tương tự nào của ADC. Tuy nhiên, cấu trúc lý thuyết không bị giới hạn bởi những mối quan tâm như vậy. Nói một cách đơn giản, "chiều cao vô hạn" của xung được cân bằng bởi "chiều rộng bằng không" của nó, sao cho nó tích hợp với sự thống nhất. Nếu bạn áp dụng giải thích tích hợp thời gian ngắn của mình trong trường hợp này (nhân với một xung lực, tích hợp trong một khoảng thời gian ngắn vô hạn), thì bằng cách chọn thuộc tính, bạn sẽ nhận được

x [n] = x (n T)

$x[n] = x(nT)$ , như thường được trình bày.

— Jason R

Vâng, nhưng mối quan tâm của tôi không phải là với việc giải thích, mà là với việc biến đổi phạm vi của nó. Giả sử tôi viết quy trình lấy mẫu mà chúng ta đang nói đến như:

f_{S} (t) = = Σ_{k = = 1}^{N} \int_{t_{k} - ε_{k}}^{t_{k} + ε_{k}} f (t) δ (t - t_{k}) d t,

$f_{s}(t)=\sum_{k=1}^N \int_{t_k-\epsilon_k}^{t_k+\epsilon_k} f(t)\delta(t-t_k)dt,$ Làm thế nào bạn có thể biến đổi fourier của điều đó? Tôi biết mẹo khi

ϵ_{k} \to 0

$\epsilon_k \to 0$ , nhưng điều đó không có ý nghĩa nhiều với tôi (và làm FT còn khó hơn nữa!). Ngay cả giả sử đó là cách, tôi không có chức năng cửa sổ giống như trong bài báo của Roberts et al. mà tôi đã trích dẫn. Và tôi nhấn mạnh rằng ...

1 / N

$1/N$ không có ý nghĩa gì với tôi

— Néstor

Ok với chỉnh sửa của bạn và với lỗi của tôi trong nhận xét của tôi ở trên. Tuy nhiên, tôi vẫn không thể quyết định về sự thật rằng xung lực có biên độ vô hạn tại

t = t_{k}

$t=t_k$ cảm ơn Delta của Dirac, tức là

f (t = t_{k}) \to \infty

$f(t=t_k)\to \infty$ , trong khi những gì chúng ta thực sự quan sát (và muốn mô hình hóa) là

f (t = t_{k}) = f (t_{k})

$f(t=t_k)=f(t_k)$

— Néstor