Sự khác biệt giữa phản ứng tự nhiên và phản ứng đầu vào bằng không là gì?

Tôi chưa quen với DSP và đã trải qua các phản hồi khác nhau của một hệ thống phải tuân theo đầu vào. Hiểu biết của tôi về phản hồi đầu vào bằng 0 là: đó là phản hồi / đầu ra của hệ thống khi tín hiệu đầu vào được đặt thành không. Nói cách khác, nếu một hệ thống được mô tả bởi phương trình sai số hệ số hằng tuyến tính, đáp ứng đầu vào bằng 0 là giải pháp đồng nhất.

Tuy nhiên nếu $\mathcal Z$ -transform của đầu vào là một chức năng hợp lý $X(z)=N(z)/Q(z)$ và chức năng của hệ thống LTI là $H(z)=B(z)/A(z)$ và hệ thống ban đầu được thư giãn , sau đó $Y(z)= H(z)X(z) = N(z)B(z)/A(z)Q(z)$ . Giả sử các số 0 khác nhau (chỉ thực) và các cực (chỉ thực) của $X(z)$ và $H(z)$ sau đó

Y (z) = \sum_{k = 1}^{N} \frac{A_{k}}{1 - p_{k} z^{- 1}} + \sum_{k = 1}^{L} \frac{Q_{k}}{1 - q_{k} z^{- 1}}

$Y(z) = \sum_{k=1}^N \frac{A_k}{1-p_kz^{-1}} + \sum_{k=1}^L \frac{Q_k}{1-q_kz^{-1}}$

cái nào cho

y (n) = \sum_{k = 1}^{N} A_{k} (p_{k})^{n} u (n) + \sum_{k = 1}^{L} Q_{k} (q_{k})^{n} u (n)

$y(n) = \sum_{k=1}^N A_k(p_k)^{n}u(n) + \sum_{k=1}^L Q_k(q_k)^{n}u(n)$

Ở đâu $p_k$ và $q_k$ là các cực của hệ thống $H(z)$ và tín hiệu đầu vào $X(z)$ tương ứng và $u(n)$ là chức năng bước đơn vị. Bây giờ thuật ngữ đầu tiên được gọi là phản ứng tự nhiên của hệ thống $H(z)$ . Thật khó hiểu khi nắm bắt sự khác biệt giữa đầu vào bằng không và phản ứng tự nhiên.

Chỉnh sửa: Tham khảo của câu hỏi là đặt DSP: Nguyên tắc, Thuật toán và Ứng dụng của John Proakis và D Manolakis pdf của cuốn sách ở đây Trang số 203 và 204. Hai đoạn sau công thức 3.6.4 giải thích sự khác biệt giữa phản hồi đầu vào bằng 0 và phản ứng tự nhiên

Cảm ơn bạn Peter và Matt cho câu trả lời và ý kiến của bạn.

— luân phiên
nguồn

Tôi nghĩ rằng sự tự phát (xem 'C. Hệ thống bất biến thời gian') cũng được sử dụng cho cùng một khái niệm.

— Valentin Tihomirov

Câu trả lời:

Trước tiên, điều quan trọng là phải nhận ra rằng nhiều tác giả sử dụng thuật ngữ phản hồi đầu vào không và phản hồi tự nhiên làm từ đồng nghĩa. Quy ước này được sử dụng trong bài viết wikipedia tương ứng , và ví dụ cũng trong cuốn sách này . Ngay cả Proakis và Manolakis cũng không hoàn toàn rõ ràng về nó. Trong cuốn sách bạn trích dẫn, bạn có thể tìm thấy câu sau đây trên trang 97:

[...] Đầu ra của hệ thống có đầu vào bằng 0 được gọi là phản hồi đầu vào không hoặc phản hồi tự nhiên .

Điều này cho thấy hai thuật ngữ có thể được sử dụng thay thế cho nhau. Tiếp tục xuống trang, chúng tôi tìm thấy câu sau:

Do đó, đáp ứng đầu vào bằng không là một đặc tính của chính hệ thống và nó còn được gọi là phản hồi tự nhiên hoặc tự do của svstem.

Một lần nữa, điều này cho thấy mạnh mẽ rằng các tác giả tin rằng cả hai thuật ngữ là tương đương.

Tuy nhiên, trên các trang bạn đề cập, chúng dường như tạo ra sự khác biệt giữa hai trang. Và sự khác biệt là như sau. Các phản ứng zero-đầu vào là phản ứng mà là do-zero không điều kiện ban đầu. Nó chỉ phụ thuộc vào các thuộc tính hệ thống và vào các giá trị của các điều kiện ban đầu. Đáp ứng đầu vào bằng 0 trở thành 0 nếu các điều kiện ban đầu bằng không.

Các phản ứng tự nhiên là một phần của tổng phản ứng hình dạng trong đó chỉ được xác định bởi các cực của hệ thống, và đó không phụ thuộc vào các cực của (transform của) tín hiệu đầu vào. Đáp ứng tự nhiên không phụ thuộc vào tín hiệu đầu vào theo các hằng số nhưng hình thức của nó hoàn toàn được xác định bởi các cực của hệ thống. Không giống như phản hồi đầu vào bằng 0, phản hồi tự nhiên không biến mất trong điều kiện ban đầu bằng không.

Tổng phản hồi của hệ thống có thể được viết dưới dạng hai khoản sau:

đáp ứng đầu vào không + phản hồi trạng thái không
phản ứng tự nhiên + phản ứng bắt buộc

Đáp ứng trạng thái 0 là đáp ứng cho các điều kiện ban đầu bằng không và đáp ứng cưỡng bức là một phần của phản hồi được xác định bởi dạng tín hiệu đầu vào.

Tôi hy vọng điều này trở nên rõ ràng trong ví dụ sau. Hãy điều tra hệ thống sau:

\begin{matrix} (1) & y [n] + a y [n - 1] = b^{n} u [n], y [- 1] = c \end{matrix}

$y[n]+ay[n-1]=b^nu[n],\qquad y[-1]=c\tag{1}$

Ở đâu $u[n]$ là trình tự bước đơn vị. Tổng số phản hồi có thể được tính bằng cách sử dụng $\mathcal{Z}$ kỹ thuật -transform:

\begin{matrix} (2) & y [n] = [\frac{1}{a + b} b^{n + 1} + (c - \frac{1}{a + b}) (- a)^{n + 1}] u [n] \end{matrix}

$y[n]=\left[\frac{1}{a+b}b^{n+1}+\left(c-\frac{1}{a+b}\right)(-a)^{n+1}\right]u[n]\tag{2}$

Phản hồi đầu vào bằng không là một phần của tổng phản hồi được xác định bởi điều kiện ban đầu và điều đó không phụ thuộc vào $b$ :

\begin{matrix} (3) & y_{Z I} [n] = c (- a)^{n + 1} u [n] \end{matrix}

$y_{ZI}[n]=c(-a)^{n+1}u[n]\tag{3}$

Chắc chắn, $y_{ZI}[n]=0$ cho $c=y[-1]=0$ , tức là với điều kiện ban đầu bằng không.

Phản ứng tự nhiên là một phần của tổng phản hồi hình dạng được xác định bởi cực của hệ thống:

\begin{matrix} (4) & y_{N} [n] = (c - \frac{1}{a + b}) (- a)^{n + 1} u [n] \end{matrix}

$y_N[n]=\left(c-\frac{1}{a+b}\right)(-a)^{n+1}u[n]\tag{4}$

Lưu ý rằng nó phụ thuộc vào các điều kiện ban đầu cũng như tín hiệu đầu vào (thông qua hằng số $b$ ).

Cũng lưu ý rằng đó là hình dạng của đáp ứng trạng thái không phụ thuộc vào các cực của hệ thống cũng như các cực của biến đổi tín hiệu đầu vào. Tất cả các phản ứng khác được đề cập ở đây chỉ phụ thuộc vào một trong hai bộ cực. Hình dạng của đáp ứng đầu vào bằng 0 và của phản ứng tự nhiên chỉ phụ thuộc vào các cực của hệ thống, trong khi hình dạng của phản hồi cưỡng bức được xác định bởi các cực của tín hiệu đầu vào. Biểu thức cho $y[n]$ trích dẫn trong câu hỏi của bạn từ Proakis và Manolakis là phản hồi trạng thái không (vì hệ thống ban đầu ở trạng thái nghỉ) và tổng đầu tiên là phản hồi bắt buộc và tổng thứ hai là phản hồi tự nhiên. Vì phản hồi đầu vào bằng 0 trong trường hợp này, nên tổng phản hồi tự nhiên và phản hồi cưỡng bức (nghĩa là tổng phản hồi) bằng với phản hồi trạng thái không

Theo thuật ngữ toán học, đáp ứng tự nhiên là giải pháp đồng nhất của phương trình sai phân, trong đó các hằng số được xác định sao cho tổng của giải pháp cụ thể (phản ứng cưỡng bức) và giải pháp đồng nhất thỏa mãn điều kiện ban đầu. Rõ ràng, phản ứng đầu vào bằng khôngcũng là một giải pháp cho phương trình đồng nhất, nhưng điểm khác biệt với đáp ứng tự nhiên là chỉ riêng đáp ứng đầu vào không thỏa mãn các điều kiện ban đầu, bởi vì nó được kết hợp với đáp ứng trạng thái 0, giả sử điều kiện ban đầu bằng không. Mặt khác, phản ứng tự nhiên không đáp ứng các điều kiện ban đầu. Các điều kiện ban đầu chỉ được thỏa mãn bằng cách kết hợp đáp ứng tự nhiên với giải pháp cụ thể của phương trình sai phân (sau là phản ứng cưỡng bức ).

Như đã đề cập ở trên, chúng ta có thể viết giải pháp tổng thể như

y [n] = y_{Z I} [n] + y_{Z S} [n]

$y[n]=y_{ZI}[n]+y_{ZS}[n]$

(phản hồi đầu vào không cộng với phản hồi trạng thái không)

và như

y [n] = y_{N} [n] + y_{F} [n]

$y[n]=y_N[n]+y_F[n]$

(phản ứng tự nhiên cộng với phản ứng bắt buộc). Ví dụ đã cho, chúng ta có

y_{Z I} [- 1] = y [- 1]

$y_{ZI}[-1]=y[-1]$

tức là $y_{ZI}[n]$ mà chăm sóc các điều kiện ban đầu. Đó cũng là lý do tại sao $y_{ZI}[n]=0$ nếu điều kiện ban đầu bằng không. $y_{ZI}[n]$ phải thỏa mãn phương trình đồng nhất

y_{Z I} [n] + a y_{Z I} [n - 1] = 0, y_{Z I} [- 1] = y [- 1]

$y_{ZI}[n]+ay_{ZI}[n-1]=0,\qquad y_{ZI}[-1]=y[-1]$

Vì vậy nếu $y[-1]=0$ , $y_{ZI}[n]=0$ cho tất cả $n$ . Phản ứng tự nhiên cũng thỏa mãn phương trình đồng nhất, nhưng không với điều kiện ban đầu $y_N[-1]=y[-1]$ . Điều hài lòng là $y_N[-1]+y_F[-1]=y[-1]$ . Đây là lý do tại sao đáp ứng tự nhiên thường là khác không, ngay cả đối với các điều kiện ban đầu bằng không. Và phản ứng tự nhiên là giải pháp đồng nhất mà chúng ta cần kết hợp với giải pháp cụ thể (phản ứng cưỡng bức) được tìm thấy theo cách tiêu chuẩn. Chúng ta thường không có phương tiện trực tiếp để tìm giải pháp cụ thể cụ thể, khi kết hợp với giải pháp đồng nhất đặc biệt được biểu thị bằng đáp ứng đầu vào bằng 0, sẽ đưa ra giải pháp hoàn chỉnh cho phương trình sai khác. Đối với điều này, chúng ta cần một giải pháp đồng nhất khác, và đây là phản ứng tự nhiên.

Một lần nữa sử dụng ví dụ trên sẽ hy vọng làm rõ điều này. Đối với tín hiệu cưỡng bức theo cấp số nhân, cách tiêu chuẩn (và đơn giản nhất) để có được một giải pháp cụ thể là chọn một phiên bản thu nhỏ của hàm cưỡng bức:

\begin{matrix} (A1) & y_{p} [n] = A b^{n} \end{matrix}

$y_p[n]=Ab^n\tag{A1}$

(vì đơn giản, tôi bỏ qua bước đơn vị $u[n]$ , giả sử rằng chúng tôi xem xét $n\ge 0$ , trừ khi chúng ta nói về điều kiện ban đầu). Hằng số $A$ được xác định bằng cách cắm $(A1)$ vào phương trình sai khác:

A b^{n} + a A b^{n - 1} = b^{n}

$Ab^n+aAb^{n-1}=b^n$

cho $A=\frac{b}{a+b}$ . Hình thức chung của giải pháp đồng nhất là

\begin{matrix} (A2) & y_{h} [n] = B (- a)^{n} \end{matrix}

$y_h[n]=B(-a)^n\tag{A2}$

Tất nhiên $y_h[n]=0$ (I E, $B=0$ ) là một giải pháp cụ thể, nhưng đó không phải là giải pháp chúng tôi đang tìm kiếm. Chúng ta cần xác định hằng số $B$ theo cách mà tổng của dung dịch đặc biệt và đồng nhất thỏa mãn điều kiện ban đầu:

y [- 1] = y_{p} [- 1] + y_{h} [- 1] = \frac{A}{b} - \frac{B}{a}

$y[-1]=y_p[-1]+y_h[-1]=\frac{A}{b}-\frac{B}{a}$

Từ phương trình này, chúng tôi nhận được

B = \frac{a}{a + b} - a y [- 1]

$B=\frac{a}{a+b}-ay[-1]$

cho thấy giải pháp đồng nhất mà chúng ta cần là khác không nếu $y[-1]=0$ . $y_p[n]$ và $y_h[n]$ tìm thấy theo cách này giống hệt với phản ứng cưỡng bức và phản ứng tự nhiên, tương ứng, như thể hiện trong $(4)$ và - ngầm - trong $(2)$ .

— Matt L
nguồn

OK, bây giờ tôi đã có cơ hội đọc nó một chút (không chỉ trên điện thoại di động!), Đây là những gì tôi nghĩ đang xảy ra.

Chúng ta có một phương trình sai số hệ số tuyến tính, không đổi:

y [n] + \sum_{k = 1}^{N} α_{k} y [n - k] = \sum_{m = 0}^{M} β_{m} x [n - m]

$y[n] + \sum_{k=1}^N \alpha_k y[n-k] = \sum_{m=0}^M \beta_m x[n-m]$

và chúng tôi muốn tìm $y$ để cho $x$ .

Nói chung, giải pháp $Y$ sẽ bao gồm hai thành phần:

y = y_{p} + y_{h}

$y = y_p + y_h$ Ở đâu

y_{p}

$y_p$ là giải pháp cụ thể và

y_{h}

$y_h$ là giải pháp đồng nhất.

Giải pháp cụ thể thu được bằng cách đặt đầu vào hệ thống thành $x$ . Giải pháp đồng nhất thu được bằng cách đặt đầu vào của hệ thống về 0 (không) và chọn điều kiện ban đầu tùy ý cho trạng thái hệ thống .

Điều mà Proakis và Manolakis giả định là trạng thái hệ thống ban đầu đều bằng không (ngay trên phương trình 3.6.2 và như bạn đã nhấn mạnh trong câu hỏi của mình).

Vì vậy, đó là sự khác biệt giữa giải pháp zero-input (và zero-state) và giải pháp zero-input (và trạng thái tùy ý hoặc đồng nhất): bạn chọn điều kiện ban đầu là gì. Giải pháp đồng nhất đòi hỏi các điều kiện ban đầu tùy ý, nếu không mọi giải pháp đồng nhất sẽ là $y_h = 0$ .

— Peter K.
nguồn

Nếu câu cuối cùng của bạn có nghĩa là giải pháp của LCCDE hoàn toàn được đặc trưng bởi giải pháp cụ thể của nó nếu các điều kiện ban đầu bằng không (bởi vì sau đó, bạn nói,

y_{h} = 0

$y_h=0$ ), sau đó tôi sẽ nói nó sai. Tôi nghĩ rằng bạn đề cập đến thực tế là một phương trình khác biệt đồng nhất cần một điều kiện ban đầu khác không để "bắt đầu", nhưng đó là một điều khác. Nói chung, giải pháp là

y_{p} + y_{h}

$y_p+y_h$ với

y_{h} \neq 0

$y_h\neq 0$ , ngay cả khi điều kiện ban đầu bằng không.

— Matt L.

@MattL. Bạn có thể cho tôi một ví dụ trong đó các điều kiện ban đầu và hàm cưỡng bức bằng không và trong đó

y_{h} = 0

$y_h = 0$ KHÔNG phải là một giải pháp hợp lệ? Tôi nêu quan điểm của bạn, tôi chỉ không thể nghĩ ra cách tìm một giải pháp đồng nhất không tầm thường mà không giả sử các điều kiện ban đầu tùy ý --- mà rõ ràng bao gồm không.

— Peter K.

Nếu bạn có một phương trình khác biệt đồng nhất với các điều kiện ban đầu bằng không (và với

y_{p} = 0

$y_p=0$ ), thì bạn đã đúng. Nhưng quan điểm của tôi là thế này: nếu bạn muốn một giải pháp cho một phương trình khác biệt với hàm cưỡng bức và bạn phân tách nó thành

y = y_{p} + y_{h}

$y=y_p+y_h$ vậy thì không đúng khi nói điều đó

y_{h} = 0

$y_h=0$ nếu điều kiện ban đầu bằng không. Lấy ví dụ từ câu trả lời của tôi. Các giải pháp đồng nhất được đưa ra bởi phương trình. (4), và nó không bằng 0 ngay cả khi

y [- 1] = c = 0

$y[-1]=c=0$ . Lý do là điều kiện ban đầu được thỏa mãn bởi

y_{h}

$y_h$ kết hợp với

y_{p}

$y_p$ , ngay cả khi những điều kiện đó bằng không. Vì thế

y_{h} [- 1] \neq 0

$y_h[-1]\neq 0$ , thậm chí nếu

y [- 1] = 0

$y[-1]=0$

— Matt L.

@MattL. Quan điểm của tôi là

y [n] + a y [n - 1] = 0

$y[n] + ay[n-1] = 0$ có một "giải pháp đồng nhất" hoàn toàn hợp lệ

y_{h} [n] = 0, \forall n

$y_h[n] = 0, \forall n$ nếu bạn giả sử không có điều kiện ban đầu. Bạn phải giả sử các điều kiện ban đầu khác không để tìm thấy những gì bạn đã viết (giải pháp đồng nhất thực sự).

— Peter K.

Tất nhiên tôi đồng ý với ví dụ của bạn; loại ví dụ này là những gì tôi đã đề cập trong câu đầu tiên của nhận xét trước đây của tôi (trường hợp trong đó

y_{p} = 0

$y_p=0$ ). Nhưng bạn cũng có một giải pháp đồng nhất nếu hàm cưỡng bức không bằng không. Trong những trường hợp này

y_{h} \neq 0

$y_h\neq 0$ , ngay cả đối với điều kiện ban đầu bằng không. Và tôi nghĩ rằng câu cuối cùng trong câu trả lời của bạn khẳng định điều ngược lại, ít nhất đó là cách tôi hiểu nó. Vì vậy, tóm lại, bạn thường có

y_{h} \neq 0

$y_h\neq 0$ ngay cả với điều kiện ban đầu bằng không (nếu

y_{p} \neq 0

$y_p\neq 0$ ).

— Matt L.

Không sử dụng các phương trình.
Bạn nhìn vào một mạch liên quan đến R và C (như một exmple đơn giản). Có một NGUỒN ÁP LỰC INPUT được áp dụng. Có một ĐIỆN ÁP BAN ĐẦU được áp dụng cho các tụ điện.

Bạn sẽ GIẢI QUYẾT cho một dòng điện hoặc điện áp bằng cách sử dụng 2 BẢN V .. Và theo dõi cả hai giá trị được tính toán để đưa ra câu trả lời cuối cùng.

[Bản vẽ thứ 1] Bạn vẽ mạch (không bao gồm NGUỒN ĐIỆN ÁP INPUT), nhưng sử dụng ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU, và hỏi: làm thế nào để điện áp trong tụ điện thoát ra và tiêu tan trong mạch? Đó là phản ứng TỰ NHIÊN của mạch. Bạn đang viết phương trình V DISCHARGE và tìm hằng số thời gian DISCHARGE. Đó là TRẢ LỜI TỰ NHIÊN của mạch (ZERO INPUT: có nghĩa là KHÔNG CÓ NGUỒN ÁP DỤNG ÁP DỤNG, nhưng CÓ điều kiện ban đầu). Lưu giá trị hiện tại hoặc điện áp "phần 1" này.

[Bản vẽ thứ 2] Bây giờ bạn muốn tính toán TRẢ LỜI. KHÔNG BAO GỒM CÁC ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU. Chỉ cần vẽ NGUỒN ĐIỆN ÁP VÀ các thành phần mạch và "TÌM TRẢ LỜI". Lưu giá trị hiện tại hoặc điện áp "phần 2" này; kết quả này (bỏ qua ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU) là TRẢ LỜI CẦN THIẾT.

TRẢ LỜI CUỐI CÙNG là: tổng của dòng điện bạn đã tính từ TRẢ LỜI TỰ NHIÊN và dòng điện bạn đã tính từ TRẢ LỜI CUNG CẤP. -Hoặc - tổng điện áp mà bạn đã tính toán từ GIẢI QUYẾT TỰ NHIÊN và điện áp bạn đã tính từ GIẢI QUYẾT ĐỊNH. Cảm ơn bạn. Cesar ngày 25 tháng 2 năm 2020 từ khu vực General Bravo.

— Cesar
nguồn