Ý nghĩa của số 0 / cực phức là gì?

Tôi đã nghiên cứu xử lý và kiểm soát tín hiệu được một thời gian và tôi sử dụng các biến đổi Laplace và Fourier gần như hàng ngày. Ngoài ra một công cụ khác như cốt truyện Nyquist hoặc Bode.

Tuy nhiên, tôi chưa bao giờ nghĩ về điều này cho đến ngày hôm nay: ý nghĩa vật lý của một số phức khi xử lý tần số là gì?

Điều này nghe có vẻ ngớ ngẩn, nhưng tôi đã được hỏi câu hỏi này và tôi không biết phải trả lời gì. Tại sao chúng ta nói về chứ không chỉ trong, ví dụ, biến đổi Fourier và âm mưu Bode hoặc Nyquist? Ý nghĩa vật lý của phần thực và phần ảo của số 0 hoặc cực trong miền Laplace là gì?$j\omega$$\omega$

Chúng ta thường nói về khi chúng ta cũng quan tâm đến biến đổi Laplace của tín hiệu / hệ thống, nhưng muốn chỉ nói về đáp ứng tần số.$j\omega$

Ý nghĩa vật lý của phần tưởng tượng là nó đề cập đến các tín hiệu hình sin hoàn toàn và là "biên độ" không đổi. Phần thực đề cập đến các tín hiệu mà "biên độ" phân rã hoặc tăng theo cấp số nhân.

Tôi nghĩ rằng tôi đã bắt đầu hiểu mối quan hệ giữa số không / cực và đáp ứng tần số . Ý tưởng là bạn điều chỉnh tần số$w$ của các hàm cơ sở miền tần số của bạn $e^{jwn}$ và tốc độ phân rã của chúng để phù hợp với $z_{zero/pole}$. Ý tôi là số 0 / cực đó có thể là số phức với biên độ ngoài vòng tròn đơn và điều chỉnh tần số bạn di chuyển số phức của mình$e^{-jw}$ vectơ dọc theo vòng tròn đơn trong mặt phẳng phức nhưng không có tần số nào có thể làm cho nó bằng $z=2$ hoặc là $z=j/3$, ví dụ. Vì vậy, các chức năng cơ bản của bạn phải trông giống như$e^{(k-jw)n}$để đạt bất kỳ cực / không trong mặt phẳng phức. Thật thú vị bởi vì tôi nghe nói rằng cơ sở Fourier$e^{-jw}$ có thể đại diện cho bất kỳ singnal nào nhưng có vẻ như không đủ và chúng tôi cần cơ sở Laplace $e^{(k-jw)n}$ trong thiết kế bộ lọc.

Bây giờ, hoàn toàn có thật $z$có nghĩa là "số mũ phức tạp" phù hợp với nó không có thành phần tưởng tượng. Nó phải phân rã mà không có dao động, như$e^{kn}$, để đáp ứng số không / cực. Đi cực tại$z=1$, ví dụ. Bạn có một hệ thống$y_n - y_{n-1} = x_n + x_{n-1} + \ldots$ vậy nên $Y(z) = X(z)/(1-z).$ Cực $z = e^{-jw} =1$ tương ứng với tần số $w=0$. Thật vậy, với$x_n=1$, chúng ta có $y_n = y_{n-1} + 1$mà phát triển không giới hạn. Làm cho nó dao động, tức là thiết lập$w \neq 1$, sẽ phá vỡ sự tăng trưởng vì lần đầu tiên nó sẽ tích lũy, khi $x_n=2cos(wn) = e^{jwn} +e^{-jwn}> 0$và sau đó giảm tích lũy về 0, trong nửa sau của thời kỳ sin. Điều này cho thấy các cực tưởng tượng sẽ cung cấp cho bạn các phản hồi vô hạn cho các hàm dao động (các thành phần của tín hiệu đầu vào của bạn).

Khi bạn có một hệ thống $y_n=ay_{n-1}$, bạn có thể dễ dàng có được hàm cực bằng cách áp dụng xung delta ở đầu vào. Các phản ứng quan sát là cực. Tôi có nghĩa là phản ứng là một số mũ phân rã$y_n = e^{k-jw}n=a^n$. Mỗi đồng hồ là$a = e^{k-jw}=e^ke^{-jw}$nhân với giá trị trước đó. Lưu ý rằng nó (cực hay còn gọi là hệ số phản hồi và do đó hàm phản hồi) rất phức tạp, điều đó có nghĩa là phản hồi của bạn sẽ dao động. Khi bạn nhân một số phức với số khác, số của bạn được chia theo chiều dài và thay đổi theo pha. Phần phức chịu trách nhiệm cho sự dịch pha (các dao động).

Tôi nhớ từ lý thuyết hệ thống rằng các dao động thực sự đại diện cho hệ thống bậc hai. Có lẽ, điều này sẽ trả lời câu hỏi tế bào giao hoán của tôi . Ý tưởng là khi bạn có cấp đầu tiên điều khiển mức tăng của cấp kia và cấp kia kiểm soát mức tăng của cấp thứ nhất, giống như cuộn cảm điện và tụ điện trong bộ dao động điều hòa,

$$\begin{cases} \dot{u} & = &i\\ \dot{i} & = &-u\\ \end{cases}$$

là một hệ thống bậc hai vì có thể mở rộng thành $\ddot{u} = \dot{i} = -u$, phương trình osciallator mùa xuân nổi tiếng: vị trí kiểm soát tiêu cực. Vì vậy, hai biến trạng thái hoàn toàn thực (còn gọi là tích lũy) làm dao động. Tôi thấy rằng mặt phẳng phức cũng bao gồm hai trục, hai biến giống nhau. Khi tất cả năng lượng tập trung ở bộ tích lũy thứ nhất, bạn có trạng thái 1 + 0j, khi quay lại một nửa, bạn có trạng thái ngược lại, trạng thái = 0 + 1j, sau đó bộ tích lũy thứ hai đẩy năng lượng về phía sau, trạng thái 3 = -1 + 0j, được dồn đến lần đầu tiên vào trạng thái4 = 0-j và quá trình lặp lại. Đây là 4 phần tư hành trình dọc theo một vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng phức và bắt chước các dao động điều hòa. Vì vậy, có lẽ, bạn sẽ có thể chia$1/(1-(a+jb)z)$ vào $1/(1-r_0z)\cdot 1/(1-r_1z)$ với thực tế $r_0$ và $r_1$.

Đợi đã, bạn không thể làm cho nó bị phân hủy $z$ vào $z^2$và tôi nhớ lại rằng các cực phức tạp luôn đi theo cặp liên hợp. Đó là, nếu bạn có cực (a + jb), bạn cũng có (a-jb). Theo tôi hiểu, điều này giúp làm cho đầu ra hoàn toàn thực, được cung cấp đầu vào thực vì phản hồi (a + jb) có nghĩa là hệ thống phát triển như$(a+jb)^n = e^{(k+jw)n}$, pha quay theo một hướng trong khi

$$(a-jb)^n = e^{(k-jw)n}$$ quay pha theo hướng khác và tổng của chúng là $e^{kn}(e^{jw}+e^{-jw})^n$là hoàn toàn có thật. Các$x_{n+1}=-x_{n-1}$ hệ thống trên có giải pháp $X(z)=(x_0+zx_1)/(1+z^2)=(x_0+zx_1)/[(1+jz)(1-jz)]$. Có lẽ bạn đã hiểu điều này. Tôi chỉ mở rộng câu hỏi của bạn.

Hàm truyền $1/(1+z^2)$ là viết tắt của chuỗi $\{1,0,-1,0,1,0,\ldots\}$. Phải có một "biến ẩn" (vâng, thật thú vị nếu độ phức tạp của các cực giống hệt với nhu cầu về số ảo mà chúng ta cần trong QM. Vị trí và mô men là các liên hợp phức tạp, một loại xoay 90 °, của nhau và biết một cái bạn có thể tính toán cái khác) biến ẩn để ghi nhớ nếu chúng ta chuyển sang 1 hoặc -1 sau trạng thái 0. Liên hợp phức tạp là một loại tích lũy trực giao, trực giao nhưng là biến thực, chẳng hạn như dòng điện dẫn cho điện áp tụ, theo dõi điều đó. Tôi tham gia câu hỏi cho bất kỳ ai để làm rõ lý do tại sao chúng ta cần hai bổ sung như vậy để có dao động điện áp thực sự hoàn toàn và dao động phức đơn có nghĩa là gì.

Tôi thấy nó theo cách này (đối với bộ dao động LC ở trên)

$$\begin{bmatrix}\text{state} &\text{description}& \text{capacitor [V]} & \text{inductor [I]} \\ 0&\text{all energy is in the capacitor} & 1 + 0j & 0 + j \\ 1&\text{all energy is in the inductor} & 0 + j & 1 + 0 \\ 2&\text{all energy is negaitvely charged cap} & -1 + 0 & 0 + -j \\ 3&\text{all energy is negative current} & 0 + -j & -1 + 0 \\ \end{bmatrix}$$

Đó là, những gì bạn thấy điện áp tưởng tượng là một dòng điện thực trong một khung tham chiếu song song, tức là từ quan điểm của cuộn cảm. Bởi vì, như tôi đã nói với bạn, trạng thái LTI phát triển bằng cách nhân trạng thái hiện tại với giá trị riêng, chúng ta nên dao động giữa 1 và -1 trên vòng tròn đơn vị, trong đó ngụ ý j trạng thái trung gian. Nhưng, những gì bạn thấy là năng lượng được bảo tồn trong không gian tưởng tượng, tình cờ chỉ là một tích lũy khác. Accmulaor liên hợp chỉ là một tích lũy. Vì một số lý do, nó là loại liên hợp, như tôi đã cố gắng giải thích trong ô giao hoán .

Tôi dường như đi chệch hướng một lần nữa. Vì dao động điều hòa là sự chồng chất của hai sự tiến hóa, được tạo bởi hai cực phức tạp$j$ và $-j$, chúng ta nên có hai cột cho mỗi biến liên hợp. Đây là phần còn thiếu

$$\begin{bmatrix}\text{state} & \text{capacitor -j [V]} & \text{inductor [I]} \\ 0& 1 & 0 j \\ 1& 0 - j & -1 \\ 2& -1 + 0 & -j \\ 3& 0 + j & +1 \\ \end{bmatrix}$$

Điện áp trong tụ điện là một giá trị thực, trung bình của hai cột tụ điện, $(j^n + (-j)^n)/2 = \cos (n\pi/2)$. Các quá trình quay ngược lại hủy bỏ các thành phần tưởng tượng ra. Trong thực tế, dòng chảy theo một hướng nhưng$\ddot(x)=-x$thừa nhận bất kỳ hướng nào và trừu tượng hóa nó đi nhưng trung bình. Vì vậy, cực đơn là viết tắt của một quá trình cụ thể, dòng chảy theo hướng này hay hướng khác. Và, nếu bạn hỏi cực phức là gì, câu trả lời là yếu tố mà vectơ [dòng điện, điện áp] được chia tỷ lệ mỗi đồng hồ nếu chúng ta ở trong miền rời rạc (hoặc [di / dt, dv / dt] nếu chúng ta nằm trong miền liên tục) trong đó yếu tố thực sự đại diện cho biên độ của chúng, phần thực$cos w$ của yếu tố phức tạp $e^{jw}$ là viết tắt của sự phát triển điện áp và phần tưởng tượng $sin w$là viết tắt của sự tiến hóa hiện tại. Hiện tại là tưởng tượng bởi vì bạn nhìn từ quan điểm điện áp,$\ddot{v}=-v$. Ngược lại, điện áp sẽ là tưởng tượng và hiện tại thực từ khung tham chiếu hiện tại,$\ddot{i}=-i$. Hy vọng, điều này là chính xác và bất cứ ai cũng có thể giải thích nó tốt hơn.

Biến đổi Laplace có thể được sử dụng để dự đoán hành vi của mạch. Biến đổi Laplace có chức năng miền thời gian$f(t)$và biến nó thành hàm $F(s)$ bên trong $s$-miền. Bạn có thể xem các biến đổi Laplace$F(s)$ như tỷ lệ của đa thức trong $s$-miền. Nếu bạn tìm thấy các gốc thực và phức (cực) của các đa thức này, bạn có thể có một ý tưởng chung về dạng sóng$f(t)$ sẽ như thế nào

Ví dụ, như trong bảng này, nếu các gốc là có thật, thì dạng sóng là theo cấp số nhân. Nếu chúng là tưởng tượng, thì đó là sự kết hợp giữa sin và cosin. Và nếu chúng phức tạp, thì đó là một hình sin giảm xóc.

Tất cả những điều đó xuất phát từ công thức của Euler và định nghĩa của chuỗi Fourier là một cách để biểu diễn hàm (giống như sóng) là tổng của các sóng hình sin đơn giản.

Một câu trả lời rất đơn giản: Thông tin.

Tín hiệu AC đơn giản là không thể định lượng được bằng một số duy nhất. Tính tổng hai tín hiệu 1V 100hz và bạn có thể nhận được bất cứ thứ gì trong khoảng từ 0 đến 2 tùy theo pha. Các số phức giải quyết vấn đề này bằng cách 'mang theo' hai mẩu thông tin mọi lúc.

Ba Lan và số không giống nhau - tần số của chúng không cho bạn biết tất cả mọi thứ. Hai bộ lọc RC tạo ra hai cực. Một bộ lọc LC tạo ra hai cực. Nhưng chúng không bằng nhau. Số phức có thể mang thông tin mô tả sự khác biệt.

Điểm lý thuyết của bạn. Hãy cố gắng lấy một căn bậc hai của tần số âm và nó sẽ đưa bạn đến một nơi xa lạ.

Khoảng 300 năm trước, cần phải giới thiệu một biến gọi là $j$

Tuy nhiên, biến đổi Laplace, biến đổi tín hiệu miền thời gian thành $s$tên miền ở đâu

$$s=\sigma+j\omega$$

khi biến đổi Fourier, thành miền tần số $j\omega$