Abs (cực) <1 bởi lề nào cho bộ lọc ổn định?

Tôi đã kiểm tra tài liệu cho các thuật toán gần đây được sử dụng để thiết kế bộ lọc kỹ thuật số gần đúng với mức tối thiểu của đáp ứng tần số mong muốn. Tất cả các bài báo tôi tìm thấy đều đưa ra các ví dụ trong đó tất cả các cực có cường độ nhỏ hơn 0,92 hoặc thấp hơn 0,89, v.v. Tôi không thấy một ví dụ được xuất bản với một cột có cường độ 0,95 và chắc chắn không phải là 0,9995. Nếu một bộ lọc được triển khai với số học máy chính xác kép, thì cực gần với vòng tròn đơn vị có thể lấy một bộ lọc hữu ích như thế nào? Sẽ là một ý tưởng tồi khi có một cây sào với cường độ 0,95?

filter-design

— Ted Ersek
nguồn

Nó rất có thể sẽ phụ thuộc vào thứ tự của bộ lọc, nhưng có một cực ở vị trí trong đó không nên đặt ra vấn đề ổn định nếu bạn đang sử dụng số học dấu phẩy động có độ chính xác kép với bộ lọc có độ dài hợp lý. $z_p$ $|z_p| = 0.95$

Vì tôi không biết gì về ứng dụng cụ thể của bạn, một tác động khác của cường độ cực có thể có liên quan là phản ứng thúc đẩy của bộ lọc kết quả. Hãy nhớ lại rằng các cực trong hàm truyền của một hệ thống tương ứng với các số hạng theo cấp số nhân trong phản ứng xung của hệ thống. Như Wikipedia ghi chú:

a^{n} u [n] \Leftrightarrow \frac{1}{1 - a z^{- 1}}

$a^nu[n] \Leftrightarrow \frac{1}{1-az^{-1}}$

Trong đó là hàm bước đơn vị riêng biệt , được sử dụng ở đây để thể hiện rằng đáp ứng xung là nguyên nhân ( ). Do đó, nếu bộ lọc của bạn có cực tại , thì sẽ có một thuật ngữ tương ứng trong đáp ứng xung của bộ lọc. $u[n]$ $0\ \forall\ n < 0$ $z = a$ $a^n$

Dành cho nhỏ, thuật ngữ này sẽ phân rã trong một số lượng mẫu tương đối nhỏ. Như , lượng thời gian (được đo bằng mẫu) cần thiết cho hàm số mũ để phân rã tăng. $|a|$ $|a| \rightarrow 1$
Khi bạn đạt đến điểm "cực kỳ ổn định" của , số mũ không bao giờ phân rã và đáp ứng xung của hệ thống không phân rã thành không. $|a| = 1$
Nếu (tức là cực nằm ngoài vòng tròn đơn vị), sau đó hàm số mũ sẽ phân kỳ và đáp ứng xung thổi lên đến vô cùng; đây là lý do tại sao một hệ thống thời gian rời rạc không ổn định BIBO nếu nó chứa các cực bên ngoài vòng tròn đơn vị. $|a| > 1$

Với những điều trên, mối quan tâm khác mà bạn có thể có là khoảng thời gian hiệu quả tổng thể của phản ứng thúc đẩy của bộ lọc. Mặc dù, như tên gọi của nó, theo lý thuyết, bộ lọc IIR có đáp ứng xung có độ dài vô hạn, trong thực tế, phản ứng thường sẽ phân rã đến mức không đáng kể sau một khoảng thời gian hữu hạn. Nếu ứng dụng của bạn nhạy cảm với đặc điểm này, thì sẽ hợp lý khi chọn các vị trí cực nằm xa vòng tròn đơn vị. Sẽ có sự đánh đổi tương ứng trong các đặc điểm miền tần số, vì việc đặt các cực gần vòng tròn đơn vị có thể giúp làm cho các vùng chuyển tiếp sắc nét hơn và hẹp hơn, như thường được mong muốn.

— Jason R
nguồn