Tại sao phần thực của FFT chuyển đổi hình ảnh thành xoay + gốc?

Tôi đã đọc hình ảnh này:

lấy FFT (2D) của nó và sau đó nghịch đảo FFT để lấy lại chính xác hình ảnh. Mã được cung cấp để tham khảo:

imfft = fft2(photographer);
im = uint8(ifft2(imfft));

imshow(im); %Output is same image

Nhưng khi tôi thay đổi phạm vi và chỉ lấy phần thực sự,

imfft = real(fft2(photographer));
im = uint8(ifft2(imfft));
imshow(im);

Tôi nhận được một hình ảnh như thế này ( lưu ý rằng thay đổi kích thước là không liên quan và chỉ do lưu nó từ trình xử lý hình Matlab ):

Ai đó có thể giải thích cho tôi lý thuyết (toán học) đằng sau nó? Cảm ơn

Giả sử hình ảnh của bạn được cung cấp bởi . Sau đó Fourier của nó biến đổi được đưa ra bởi tôi f ( $I(x,y)$

$$I^f(\omega_x,\omega_y) = \int_x\int_yI(x,y)e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}dxdy$$

Bây giờ bạn lấy phần thực và thực hiện nghịch đảo:

$$\begin{align} I_m(\alpha,\beta) &= \int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{I^f(\omega_x,\omega_y)\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_y \\ &= \int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{\int_x\int_yI(x,y)e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}dxdy\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_y\\ &= \int_x\int_yI(x,y)\int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_ydxdy \end{align}$$

Bạn có thể thấy rõ rằng không thể thiếu bên trong là 2D biến đổi Fourier của là

$$\cos(\omega_xx)\cos(\omega_yy) + \sin(\omega_xx)\sin(\omega_yy)$$ $$\frac{1}{2}\left[\delta(x-\alpha)\delta(y-\beta) + \delta(x+\alpha)\delta(y+\beta)\right]$$

$I_m$

$$I_m(x,y) = \frac{1}{2}\left[I(x,y)+I(-x,-y)\right]$$

$x,y>0$$N$

$$I_m(x,y) = \frac{1}{2}\left[I(x,y)+I(N-x,M-y)\right]$$ $N,M$

Kết quả mà ThP cung cấp cũng có thể được nêu bằng các thuật ngữ rất đơn giản: Nếu bạn có một tập dữ liệu hoàn toàn là thật, biến đổi Fourier (nghịch đảo) của nó sẽ có đối xứng Hermiti: Nếu bạn tìm thấy giá trị $z$$(x,y)$$z^*$$(-x,-y)$về nguồn gốc. Lưu ý rằng nguồn gốc ở đây sẽ là trung tâm của không gian Fourier. Điều này có thể được điều chỉnh lại, tất nhiên, nếu thành phần DC không nằm trong trung tâm triển khai FFT của bạn. Và đây là những gì bạn nhìn thấy trong hình ảnh của mình: Một phiên bản phản chiếu điểm đang phủ lên hình ảnh thật - bởi vì bạn buộc một không gian phải có giá trị thực.

Thuộc tính này thực sự đang được sử dụng để tăng tốc chụp ảnh cộng hưởng từ (MRI) trong một số trường hợp: MRI thu được dữ liệu trực tiếp trong không gian Fourier. Vì hình ảnh MR lý tưởng chỉ có thể được mô tả bằng các giá trị thực (tất cả các vectơ từ hóa kích thích có pha 0), bạn chỉ phải lấy một nửa không gian dữ liệu, giúp bạn tiết kiệm một nửa thời gian chụp. Tất nhiên, hình ảnh MR không hoàn toàn có giá trị thực do các hạn chế của thực tế ... nhưng với một vài thủ thuật, bạn vẫn có thể sử dụng kỹ thuật này một cách thuận lợi.