Bộ lọc FIR cần bao nhiêu vòi?

Tôi đang tìm cách thiết kế một bộ các bộ lọc FIR để thực hiện bộ lọc thông thấp. Tôi cũng đang cố gắng giảm độ trễ của tín hiệu thông qua bộ lọc vì vậy tôi tự hỏi số lượng vòi tối thiểu tôi có thể sử dụng có thể là bao nhiêu.

Tôi biết rằng nhiều vòi hơn có thể dẫn đến việc cắt tần số sắc nét hơn và từ chối băng tần tốt hơn, v.v. Tuy nhiên, điều tôi quan tâm là cơ bản hơn - nếu tôi muốn triển khai bộ lọc thông thấp với mức cắt tại nói điều đó có nghĩa là tôi cần ít nhất 100 vòi để giảm tín hiệu tần số thấp hơn? Hoặc tôi có thể thoát khỏi với ít vòi hơn và nếu vậy thì có giới hạn thấp hơn về mặt lý thuyết không?$\frac{f_s}{100}$

Trích dẫn Xử lý tín hiệu kỹ thuật số cổ điển của Bellanger - Lý thuyết và thực hành , vấn đề không phải là tần số cắt của bạn là bao nhiêu, mà là bạn cần bao nhiêu suy giảm, mức độ gợn sóng trong tín hiệu bạn muốn duy trì và quan trọng nhất là thu hẹp quá trình chuyển đổi của bạn từ pass-sang stopband (độ rộng chuyển tiếp) cần phải được.

Tôi giả sử bạn muốn có bộ lọc pha tuyến tính (mặc dù bạn chỉ định độ trễ tối thiểu, tôi không nghĩ rằng bộ lọc pha tối thiểu là một ý tưởng hay, nói chung, trừ khi bạn biết rõ bạn sẽ làm gì với tín hiệu của mình sau đó) . Trong trường hợp đó, thứ tự bộ lọc (là số lượng vòi) là

$$N\approx \frac 23 \log_{10} \left[\frac1{10 \delta_1\delta_2}\right]\,\frac{f_s}{\Delta f}$$

với

$$\begin{align} f_s &\text{ the sampling rate}\\ \Delta f& \text{ the transition width,}\\ & \text{ ie. the difference between end of pass band and start of stop band}\\ \delta_1 &\text{ the ripple in passband,}\\ &\text{ ie. "how much of the original amplitude can you afford to vary"}\\ \delta_2 &\text{ the suppresion in the stop band}. \end{align}$$

Hãy cắm một số số! Bạn đã chỉ định tần suất cắt là , vì vậy tôi sẽ tiếp tục và tuyên bố chiều rộng chuyển đổi của bạn sẽ không quá một nửa, vì vậy .$\frac{f_s}{100}$$\Delta f=\frac{f_s}{200}$

Đến từ công nghệ SDR / RF, mức triệt tiêu 60 dB thường là đủ đầy đủ - phần cứng, không có chi phí điên rồ, sẽ tốt hơn trong việc giữ các tín hiệu không mong muốn ra khỏi đầu vào của bạn, vì vậy, đừng lãng phí CPU khi có bộ lọc tuyệt vời tốt hơn hơn những gì phần cứng của bạn có thể làm. Do đó, .$\delta_2 = -60\text{ dB} = 10^{-3}$

Giả sử bạn có thể sống với biến thiên biên độ 0,1% trong băng thông (nếu bạn có thể sống với nhiều hơn, cũng xem xét việc yêu cầu triệt tiêu bớt nghiêm ngặt hơn). Đó là .$\delta_1 = 10^{-4}$

Vì vậy, cắm cái này vào:

$$\begin{align} N_\text{Tommy's filter} &\approx \frac 23 \log_{10} \left[\frac1{10 \delta_1\delta_2}\right]\,\frac{f_s}{\Delta f}\\ &= \frac 23 \log_{10} \left[\frac1{10 \cdot 10^{-4}\cdot10^{-3}}\right]\,\frac{f_s}{\frac{f_s}{200}}\\ &= \frac 23 \log_{10} \left[\frac1{10 \cdot 10^{-7}}\right]\,200\\ &= \frac 23 \log_{10} \left[\frac1{10^{-6}}\right]\,200\\ &= \frac 23 \left(\log_{10} 10^6\right) \,200\\ &= \frac 23 \cdot 6 \cdot 200\\ &= 800\text{ .} \end{align}$$

Vì vậy, với 200 vòi của bạn, bạn ở rất xa, nếu bạn sử dụng một dải thông cực kỳ hẹp trong bộ lọc của mình như tôi giả sử bạn sẽ làm.

Lưu ý rằng điều này không có là một vấn đề - trước hết, một bộ lọc 800-vòi là đáng sợ, nhưng thẳng thắn, chỉ ngay từ cái nhìn đầu tiên:

• Như tôi đã thử nghiệm trong câu trả lời này tại StackOverflow : Ngày nay CPU rất nhanh , nếu bạn sử dụng triển khai FIR được tối ưu hóa cho CPU của ai đó. Ví dụ: tôi đã sử dụng triển khai FFT-FIR của GNU Radio với chính xác phác thảo đặc tả bộ lọc ở trên. Tôi có hiệu suất 141 triệu mẫu mỗi giây - điều đó có thể hoặc không đủ cho bạn. Vì vậy, đây là trường hợp thử nghiệm dành riêng cho câu hỏi của chúng tôi (mất vài giây để sản xuất):
• Decimation: Nếu bạn chỉ giữ một phần băng thông đầu vào, đầu ra của bộ lọc của bạn sẽ bị quá tải. Giới thiệu một decimation của có nghĩa rằng bộ lọc của bạn không cung cấp cho bạn tất cả các mẫu đầu ra, nhưng mỗi thứ duy nhất - mà thông thường sẽ dẫn đến rất nhiều và rất nhiều răng cưa, nhưng kể từ khi bạn xóa bỏ mọi dấu hiệu cho thấy có thể bí danh, bạn có thể làm như vậy Cách thực hiện bộ lọc thông minh (bộ giải mã polyphase) có thể làm giảm nỗ lực tính toán bằng M, theo cách này. Trong trường hợp của bạn, bạn có thể dễ dàng ước tính bằng , và sau đó, máy tính của bạn sẽ chỉ phải tính toán$M$$M$$M=50$$\frac{1200}{50}= 24$phép nhân / tích lũy trên mỗi mẫu đầu vào - dễ dàng hơn nhiều. Các bộ lọc trong GNU Radio thường có khả năng đó. Và theo cách này, ngay cả trong FFT FIR (vốn không cho vay rất tốt cho việc thực hiện bộ giải mã đa âm), tôi có thể đạt được một yếu tố khác là 2 trong hiệu suất. Không thể làm nhiều hơn nữa. Theo kinh nghiệm của tôi, nó khá gần với băng thông RAM. Dành cho
• Độ trễ: Đừng quan tâm đến nó. Thực sự, không, trừ khi bạn cần. Bạn đang làm điều này với tốc độ lấy mẫu âm thanh điển hình? Hãy nhớ rằng, đã đề cập ở trên. Vì vậy, thời gian tính toán đầu ra bộ lọc sẽ chỉ có liên quan đến truyền phát tín hiệu trực tiếp của MS / s. Đối với DSP có dữ liệu ngoại tuyến: tốt, hãy thêm độ trễ cho bất kỳ tín hiệu nào bạn có song song với bộ lọc để bù lại. (Nếu bộ lọc của bạn là pha tuyến tính, độ trễ của nó sẽ bằng một nửa chiều dài bộ lọc.) Điều này có thể có liên quan trong việc triển khai phần cứng của bộ lọc FIR.$96\,\frac{\text{kS}}{\text{s}}\overset{\text{ridiculously}}{\ll}141\,\frac{\text{MS}}{\text{s}}$
• Triển khai phần cứng: Vì vậy, có thể CPU và HĐH của PC hoặc thiết bị nhúng của bạn thực sự không cho phép bạn thực hiện các hạn chế về độ trễ của mình và vì vậy, bạn đang xem xét các FIR được triển khai bằng FPGA. Điều đầu tiên bạn sẽ nhận thấy là đối với phần cứng, có một thiết kế khác nhau - một "Tôi triệt tiêu mọi thứ trừ$\frac1{100}$của bộ lọc tốc độ đầu vào của tôi "cần độ rộng bit lớn cho các số điểm cố định mà bạn xử lý trong Phần cứng (như được đặt ở các số dấu phẩy động trên CPU). Vì vậy, đó là lý do đầu tiên khiến bạn thường chia bộ lọc đó thành nhiều phần , xếp tầng, nhỏ hơn, giảm dần các bộ lọc FIR. Một lý do khác là bạn có thể, với mỗi "bước" xếp tầng, hãy để các số nhân của bạn (thường là "các lát DSP") chạy ở tốc độ thấp hơn và do đó, ghép chúng (số lát DSP thường rất hạn chế), sử dụng một số nhân cho nhiều vòi. Tuy nhiên, một lý do khác là đặc biệt là các bộ lọc nửa băng tần, tức là các đường thông thấp triệt tiêu một nửa dải đầu vào và cung cấp một nửa tốc độ đầu vào, có thể thực hiện rất hiệu quả trong phần cứng (vì chúng có một nửa các vòi là 0, một thứ khó khai thác khi triển khai CPU / SIMD).

Đối với một ước tính nhanh chóng và rất thực tế, tôi thích quy tắc ngón tay cái của harris:

$$N_{taps} = \frac{Atten}{22*B_T}$$

Ở đâu:

Atten là mức suy giảm mong muốn tính theo dB,

$B_T$ là dải chuyển tiếp được chuẩn hóa ,$B_T=\frac{F_{stop}- F_{pass}}{F_s}$

$F_{stop}$$F_{pass}$

$F_s$

Điều này xuất hiện rất gần với những gì bạn sẽ nhận được cho bộ lọc pha tuyến tính với độ gợn băng thông 0,1 dB. Tôi thường xuyên sử dụng quy tắc này để có ý tưởng cắt đầu tiên về số lượng vòi cần thiết, sau đó sửa đổi thông qua việc lặp lại trong quy trình thiết kế bộ lọc.

Cũng cần lưu ý: quy tắc ngón tay cái này cung cấp cái nhìn sâu sắc về những gì thực sự thúc đẩy số lượng vòi: sự suy giảm băng tần và độ dốc của dải chuyển tiếp (và gợn băng thông, nhưng thường là - ít nhất là đối với các bộ lọc tôi phải thiết kế cho các ứng dụng comm không dây - yêu cầu suy giảm sẽ chiếm ưu thế trên Ripple). Vì vậy, câu hỏi của bạn trong việc nêu rõ mức cắt ở Fs / 100 bị thiếu nhanh như thế nào bạn cần chuyển sang dải dừng.

$F_s$$F_{pass}$$F_{stop}$

$N_{taps} = \frac{60}{22*2/100}=137$

Chơi xung quanh với những con số này cũng có thể chứng minh tầm quan trọng trong việc giảm xử lý bằng cách sử dụng các phương pháp tiếp cận số thập phân.

Thêm vào câu trả lời được chấp nhận, một vài tài liệu tham khảo bổ sung. Tôi sẽ không viết các công thức có thể tham gia. Những công thức này chủ yếu mang lại quy tắc ngón tay cái hoặc xấp xỉ để bắt đầu từ. Bạn có thể mân mê những con số này cho thiết kế thực tế của bạn.

Một trong những nguồn gốc cho thiết kế của Bellanger là: Về độ phức tạp tính toán trong các bộ lọc kỹ thuật số, 1981, Proc. Á Âu Conf. Thiết kế lý thuyết mạch, M. Bellanger. Nó là khá khó khăn để có được, nhưng nó có thể làm được . Thật thú vị, nó cũng chỉ định các công thức để đánh giá số lượng bit trên mỗi hệ số, cần được xem xét trong việc thực hiện số học hữu hạn. Một phiên bản dễ tiếp cận hơn trong tiếng Pháp là: Ev Assessment de la Complexité des lọcres numériques , 1982.

Một số công thức khác được tập hợp trong thiết kế bộ lọc đáp ứng xung hữu hạn , Sổ tay xử lý tín hiệu số, 1993, T. Samamaki.

Gần đây, bạn có thể đọc Ước tính chính xác về độ dài bộ lọc tối thiểu cho các bộ lọc kỹ thuật số FIR tối ưu , 2000, K. Ichige et al.

Cuối cùng, giấy Thiết kế hiệu quả các bộ lọc FIR với các đơn đặt hàng bộ lọc tối thiểu sử dụng tối ưu hóa định mức l0 , 2014 tuyên bố một thiết kế trong đó đơn hàng giảm dần.

$$\text{minimize} \ \text{max}\left(\left| H(\omega) \right|\right) \text{for all } \omega \text{ in the stopband}$$ $$\text{subject to} \frac{1}{\delta} \leq \left| H(\omega) \right| \leq \delta \text{ for all } \omega \text{ in the passband}$$

Các vấn đề thực tế chính mà tôi có thể nghĩ đến là số lượng mẫu tần số được sử dụng khi thực hiện tối ưu hóa, vì hành vi mẫu giữa các tần số có thể gây ra các hiệu ứng không mong muốn. Làm thế nào tốt phù hợp có thể trở thành, tất nhiên phụ thuộc vào số lượng vòi. Tôi đoán bạn có thể nói rằng số lượng vòi tối thiểu là khi vấn đề trở nên không khả thi. Vì vậy, một giải pháp sẽ là giải quyết vấn đề khả thi.