Tại sao các bộ lọc kỹ thuật số hoạt động?

Vì vậy, tôi mới bắt đầu đọc các bộ lọc FIR và IIR và ngạc nhiên bởi lý thuyết có vẻ "đơn giản" cho đến nay.

• Nhưng điều làm tôi bối rối là, tại sao quá trình lọc hoạt động bằng cách tạo ra một tổng trọng số của các mẫu trước đó?

• Trực giác nào khiến người ta nghĩ rằng điều này có thể tạo ra hiệu ứng lọc mong muốn?

• Có vẻ như một chút không trực quan đối với tôi mặc dù bất cứ ai cũng có thể xác minh rằng việc gộp các tín hiệu bị trì hoãn lại với nhau sẽ tạo ra bộ lọc lược. Nhưng lọc mong muốn? Tại sao?

Xem xét tín hiệu đầu vào thời gian rời rạc của mẫu:

nơi tần số radian $\omega_0$ được đặt giữa 0 và $\pi$ radian trên mỗi mẫu.

Bây giờ, hãy xem xét hai loại đơn giản nhất của thời gian rời rạc (digital) bộ lọc FIR LTI được định nghĩa thông qua các phép tính số học cơ bản của Ngoài ra và trừ các mẫu đầu vào của họ và sau đó sản xuất các kết quả đầu ra$y_1[n]$ và $y_2[n]$ dựa theo:

Hãy phân tích định tính các bộ lọc này bằng cách đặt tần số tín hiệu đầu vào của chúng $\omega_0$đến mức thấp (gần với$0$) và cao (gần với$\pi$) các giá trị và sau đó quan sát các đầu ra tương ứng $y_1[n]$ và $y_2[n]$ tương ứng;

Đầu tiên, giả sử rằng $\omega_0$được đặt ở tần số thấp. Sau đó các mẫu đầu vào liên tiếp$x[n]$ và $x[n-1]$sẽ có các giá trị rất giống nhau , vì sóng hình sin tần số thấp sẽ không thay đổi nhiều từ mẫu này sang mẫu khác. Khi đây là trường hợp, tổng của họ sẽ cộng lại , trong khi sự khác biệt của họ sẽ hủy bỏ . vì thế$y_1[n]$ sẽ xấp xỉ bằng giá trị của đầu vào $x[n]$, trong khi đầu ra $y_2[n]$sẽ gần bằng không do hủy bỏ. Phần đầu tiên của phân tích định tính kết luận rằng bộ lọc đầu tiên,$y_1[n]$, truyền các tín hiệu tần số thấp trong khi bộ lọc thứ hai, $y_2[n]$ làm suy giảm chúng.

Giả sử cho phần thứ hai của phân tích rằng $\omega_0$được đặt ở tần số cao ; sau đó các giá trị của các mẫu đầu vào$x[n]$ và $x[n-1]$sẽ có cực tính ngược nhau , vì cosin sẽ thay đổi nhanh chóng từ mẫu này sang mẫu khác. Khi đây là trường hợp, thì tổng của họ sẽ hủy , trong khi sự khác biệt của họ sẽ cộng lại . vì thế$y_1[n]$ sẽ xấp xỉ bằng 0, trong khi đầu ra $y_2[n]$ sẽ tương tự như đầu vào của nó $x[n]$. Phần thứ hai của phân tích kết luận rằng bộ lọc đầu tiên,$y_1[n]$, dừng tín hiệu tần số cao trong khi bộ lọc thứ hai, $y_2[n]$, vượt qua chúng.

Kết hợp hai phân tích định tính này, chúng tôi kết luận rằng bộ lọc đầu tiên $y_1[n] = 0.5 (x[n]+x[n-1])$là bộ lọc thông thấp, vượt qua các tần số thấp và làm giảm tần số cao, trong khi bộ lọc thứ hai$y_2[n] = 0.5(x[n]-x[n-1])$là một HighPass lọc, mà làm suy giảm tần số thấp và tần số cao đi.

Trong cài đặt này, các bộ lọc phức tạp hơn được nhận ra thông qua việc sử dụng nhiều mẫu hơn từ độ trễ xa hơn có trọng số tương ứng. Tất cả các tần số cắt băng thông và dải dừng, băng thông chuyển tiếp và gợn sóng đều được xác định bởi các trọng số được áp dụng cho các mẫu tổng (hoặc khác biệt) và số lượng mẫu (độ dài của bộ lọc) được sử dụng trong tổng (hoặc chênh lệch).

Các trọng số đó sau đó được gọi là các hệ số bộ lọc (hoặc đáp ứng xung của nó$h[n]$ cho bộ lọc FIR) đặc trưng cho bộ lọc.

Bạn có thể đã sử dụng lọc rất nhiều rồi. Một trung bình di chuyển là một bộ lọc!

Hãy nghĩ về việc lọc chung như thực hiện một trung bình di chuyển ưa thích trong đó thay vì lấy trung bình mọi thành phần trong một cửa sổ bằng nhau, bạn cân các thành phần.

Nếu bạn chỉ muốn làm mịn tín hiệu, bạn có thể cân từng giá trị được sử dụng ở mức trung bình theo đường cong Gaussian (chuông) chẳng hạn. Đây là một bộ lọc thông thấp.

Nếu bạn muốn cách ly một tần số cụ thể, bạn có thể cân nhắc từng giá trị dương và âm ở cùng tần số.

Tôi nghĩ rằng bạn đang tìm kiếm trực giác về lý do tại sao bạn có một hành vi miền tần số nhất định khi tính toán tổng các mẫu đầu vào có trọng số. Như bạn đã biết, tín hiệu đầu ra có độ dài nhân quả$N$ Bộ lọc FIR được đưa ra bởi

Ở đâu $h[n]$ là các hệ số của bộ lọc (vòi) hoặc tương ứng là đáp ứng xung có độ dài hữu hạn của bộ lọc và $x[n]$ là tín hiệu đầu vào.

Bây giờ hãy để $x[n]=e^{j\omega_0n}$, nghĩa là, một số mũ phức tạp ở tần số $\omega_0$. Tín hiệu đầu ra tương ứng là

Ở đâu

là đáp ứng tần số của bộ lọc, được đánh giá tại$\omega=\omega_0$. Nó bằng với biến đổi Fourier thời gian rời rạc của đáp ứng xung$h[n]$.

Phương trình $(2)$ cho thấy một thành phần tần số đầu vào ở tần số $\omega_0$xuất hiện ở đầu ra. Biên độ của nó được thu nhỏ bởi$|H(\omega_0)|$và giai đoạn của nó được thay đổi bởi $\arg\{H(\omega_0)\}$. Ví dụ, bạn có thể chọn các hệ số$h[n]$ như vậy mà $H(\omega_0)=0$ cho một tần số nhất định $\omega_0$. Trong trường hợp này, thành phần tần số tương ứng trong tín hiệu đầu vào bị triệt tiêu hoàn toàn bởi bộ lọc. Đây là những gì bộ lọc notch làm.

Phương trình $(2)$giải thích hành vi miền tần số của bộ lọc thời gian rời rạc. Bạn có thể ước chừng bất kỳ đáp ứng tần số mong muốn$D(\omega)$ bởi $H(\omega)$ bằng cách chọn các hệ số $h[n]$một cách thích hợp Đây là chủ đề của lý thuyết gần đúng, hay cụ thể hơn là thiết kế (miền tần số) của các bộ lọc kỹ thuật số. Hãy xem câu trả lời này để biết tổng quan ngắn gọn về thiết kế bộ lọc kỹ thuật số và cho một số tài liệu tham khảo.

Đối với các câu trả lời hữu ích đã được thêm vào cho đến nay, tôi muốn thêm vào, theo quan điểm của trực giác, bộ lọc đó hoạt động vì nó dựa trên lý thuyết Sóng và cụ thể là sự tương tác của sóng. Điều này cung cấp một lượng lớn các ví dụ trực quan.

Nhưng ngoài ra, về cơ bản có hai quan điểm. Một là quan điểm trừu tượng, được thực hiện bằng cách mô hình hóa thực tế và sau đó làm việc với các mô hình và một là thực tế "vật lý". Đó là, những gì đang thực sự xảy ra trong tự nhiên.

Ví dụ, trong thực tế, âm thanh từ một nguồn phát ra từ một bức tường và trở lại bên tai của người nghe. Đây là thực tế. "Mô hình hóa" thực tế là để nói rằng bức tường chỉ là một chi tiết. Điều đang xảy ra là có một nguồn khác, tại một vị trí được xác định rõ ràng SAU bức tường đang phát lại âm thanh của nguồn. Mô hình đơn giản này sau đó cho phép các phản xạ được nghiên cứu như là sự bổ sung của sóng ... Nhưng không có gì ở phía bên kia của bức tường.

$y=a \times cos(\omega t + \phi)$là một dao động. Nếu nó được tạo ra từ một trình tạo chức năng, trên băng ghế dự bị, chúng ta có thể nói rằng$y$ tương ứng với jack của đầu ra, $a$ là quay số biên độ, $\omega$ là quay số tần số và $\phi$là quay số pha. Vì vậy, mỗi một trong những biểu tượng trừu tượng của chúng ta có một ý nghĩa vật lý. Chúng tôi có thể chơi với quay số tần số và nó ngay lập tức có thể truy cập được, nó trở thành một phần của trải nghiệm của chúng tôi.

Chúng ta có thể chơi với nó không $h$Matt đó L đang nói về phản ứng của mình ở trên? Sự tương ứng vật lý của$h$? Điều gì đang thực sự xảy ra trong thực tế? Những gì là$h$?

$h$là nhiều điều tuyệt vời Một căn phòng là một$h$. Một đường hầm dài dưới một cây cầu là một$h$. Không khí là một$h$. Một cây đàn piano là một$h$(nói chung, các bộ cộng hưởng của các nhạc cụ). Đại dương là một$h$. Một đoạn dây là một$h$. Một bộ khuếch đại guitar là một$h$.

Hãy tưởng tượng mình trong những gì chúng ta gọi là không gian miễn phí . Không gian trống là không gian lớn đến nỗi giọng nói của bạn trở nên phẳng lặng, nó không tạo ra tiếng vang nào cả. Đó là một cảm giác rất kỳ lạ. Để nhận ra "phẳng" thực sự có nghĩa là gì, bạn phải tìm cho mình một cửa hàng bán vải (hoặc một buồng không có tiếng ... cửa hàng vải dễ dàng hơn). Tất cả các hàng hóa hấp thụ âm thanh rất nhiều mà bạn có được một cảm giác cô lập hoàn toàn và không có bất kỳ cảm giác hướng.

Nhưng dù sao, chúng ta đang ở trong không gian trống và chúng ta có bộ tạo chức năng đó trên loa ở đâu đó trước mặt chúng ta. Bật nó lên. Bạn nghe thấy âm thanh rõ ràng của một tiếng huýt sáo. Loa đặt không khí trong chuyển động rung và cuối cùng là sóng đến tai chúng ta.

Bây giờ chúng tôi mang lại một tấm đá granit phẳng. Đó là một tấm đá granit lớn trên bánh xe và chúng ta có thể đặt nó ở bất cứ đâu chúng ta thích, chúng ta đặt nó ở đâu đó phía sau chúng ta và quan sát rằng khi chúng ta di chuyển ở một vị trí cụ thể giữa loa và tấm đá granit, âm thanh sẽ giảm biên độ cho đến khi biến mất hoàn toàn. Tại sao chuyện này đang xảy ra? Bởi vì các đỉnh sóng mà loa tạo ra trước mặt chúng ta, kết hợp (hoàn hảo) với các máng của sóng được tạo ra bởi loa ảo phía sau chúng ta (hoặc thực tế, thực tế là các sóng tương tự từ loa phát ra của tấm đá granit và tái tổ hợp. Nhân tiện, vì tính chất vật lý của sự nảy này, bất cứ nơi nào bạn có phản xạ, pha của tín hiệu phản xạ bị lật). Do đó, khi loa trước tạo ra một số áp lực, loa phía sau (phản xạ) tạo ra một số "lực hút" và không khí không di chuyển một cách hiệu quả.

Cái này có liên quan gì $h$?

Hãy bắt đầu với một "sản phẩm nào" $h$. Không, nó không phải là tất cả số không, có vẻ như thế này$h= [1,0,0,0,0,0,0,0]$. Tín hiệu đập vào tai là$z=y * h$. Các$*$ở đây biểu thị sự tích chập từ Matt. Phản ứng của L ở trên. Với cái này$h$, $z$ giống hệt với $y$. Đây là chúng tôi trong không gian miễn phí. Bây giờ chúng tôi mang lại các chi tiết tấm đá granit. Làm thế nào để thay đổi$h$?

Có thể là một cái gì đó như thế này $h=[1,0,0,0,0,1,0,0,0,0]$. Nó đại diện cho 1 nảy một thời gian muộn hơn so với sóng chuyển tiếp ngay đến tai chúng ta. Nếu khoảng cách giữa hai$1$s tương ứng với một nửa bước sóng tần số của máy phát điện của chúng tôi, $z$sẽ bằng không. Các bước sóng khác sẽ được loại bỏ theo tỷ lệ.

Vì vậy, ... Chúng ta có thể khắc phổ điều hòa của $z$... bằng cách sắp xếp cẩn thận tiếng vang trong $h$...

Bây giờ, hãy quên đi trọng lực. Chúng tôi trôi nổi trong không gian trống (không phải không gian bên ngoài) và chúng tôi mang các tấm đá granit, tấm gỗ dán, tấm gỗ dán phủ vải, tấm vải thật dày, thạch cao, thủy tinh, v.v. và chúng tôi có thể định vị chúng theo mọi cách chúng tôi thích . Do các vật liệu khác nhau, "hồ sơ tiếng vang" mà chúng tôi đang điêu khắc hiệu quả sẽ có biên độ khác nhau. Vậy bạn$h$ cuối cùng sẽ là một cái gì đó như $h=[1.0,0,0,0,0,-0.6,0,0.1,-0.05,0,0,0,0,0]$.

Điều này thực sự xảy ra trong thực tế? Đúng! Mỗi khi bạn trải nghiệm âm thanh trong một phòng hòa nhạc tuyệt đẹp, ai đó đã ngồi đó hàng giờ để cố gắng điêu khắc căn phòng$h$để những phản ánh của nó không khiến mọi người đau đầu hoặc bạn thực sự có thể nghe những gì người nói nói . Và bạn có thể thấy các công cụ điêu khắc xung quanh bạn, có bẫy bass , có bộ khuếch tán , có những tấm đơn giản treo trên trần nhà, có rèm cửa, mỗi cái tương ứng với một hoặc nhiều hệ số trong$h$. Trên thực tế$h$ đã bắt đầu được điêu khắc kể từ khi kiến ​​trúc sư chỉ định hình dạng của không gian.

Chúng ta có thể "có được" $h$của một căn phòng? Chắc chắn, đi đến phòng khách của bạn, thổi phồng một quả bóng và để nó ở một nơi gần với TV của bạn, đặt một cái micro ở đâu đó gần chiếc ghế dài và véo quả bóng để nó vỡ ra. Chuyện gì xảy ra Một nhiễu động khí quyển mạnh ( một xung đơn vị ) di chuyển trong không gian, nó va vào micrô nhưng cũng bật ra khỏi tường và các vật thể và chạm vào micrô sau đó. Ở đó bạn có nó, một$h$rằng khi được kết hợp với tín hiệu "phẳng" từ TV của bạn sẽ mô phỏng những gì bạn thực sự nghe thấy trong phòng khách của bạn. Bây giờ, lặp lại thí nghiệm tương tự trong phòng tắm (được phủ bằng gạch, chữ ký khác nhau) hoặc một hầm ngầm dài ở Scotland .

Phòng khác, khác $h$, kinh nghiệm nghe khác nhau . Trải nghiệm nghe khác nhau tại đường hầm đá cuội dài, trải nghiệm nghe khác nhau trong cửa hàng vải.

Đó là một cơn giông. Bạn thấy bu-lông (đó là lần đầu tiên của bạn$1$) và sau này bạn nghe thấy tiếng ầm ầm (tiếng vang tiếp theo của hồ quang điện). Đó là$h$mang thông tin về cảnh quan và bầu không khí xung quanh chúng ta khi sự xáo trộn trong khí quyển gây ra bởi vòng cung sét đi trong không gian và dội lại. Mặc dù vậy, phải mất nhiều hơn một quả bóng để nhìn thấy nó. Bạn nhấn nốt đàn piano, sóng truyền dọc theo dây đàn, bật ra khỏi đầu và quay trở lại, nó cũng đi qua thân gỗ của cây đàn piano và quay trở lại. Chất liệu khác nhau cho dây và cơ thể, khác nhau$h$, piano khác nhau.

Buộc một bóng đèn vào một viên gạch , ném nó lên trên và ghi lại nó vỡ ở độ sâu (từ trang web này ). Đó là$h$ của đại dương bên dưới thuyền, nó truyền tải thông tin về cách âm thanh lan truyền.

Tất cả những hiện tượng này có điểm gì chung? Sóng! Thực tế, sóng cơ học, trong trường hợp âm thanh và cách chúng tương tác. Và thực sự, nó chỉ là một xấp xỉ đủ tốt. Có nhiều hiện tượng phi tuyến tính thú vị (hoặc cái này ) diễn ra trên biển và trên không và chắc chắn trong các mạch điện tử (thực tế, nói chung) được kết hợp lại với nhau trong mô hình tương tác đơn giản này và là đại diện của thực tế sẽ phá vỡ .

Cuối cùng, xin lưu ý rằng trong thực tế "mô hình hóa", (theo quan điểm toán học) tích phân tích chập là một cách giải phương trình vi phân (mô hình hệ thống) và cũng có các ứng dụng khác (vui lòng xem ba phần cuối trong danh sách này ) .

Một cách trực quan để xem bộ lọc FIR là một loại chức năng khớp phù hợp. Tổng mẫu có trọng số cho ra bao nhiêu đầu vào trông giống với một số giá trị "khớp" vốn có trong các trọng số.

Bộ lọc thông dải trông giống như một đoạn của một số dạng sóng ở tần số mà bạn muốn bộ lọc vượt qua. Kết hợp tốt từ một phân đoạn có cùng tần số tín hiệu đầu vào sẽ cho giá trị dương cao. Thay đổi đầu vào 90 độ và khớp là trực giao hoặc gần như vậy, vì vậy bộ lọc cho ra giá trị thấp. Thay đổi 90 độ khác và dạng sóng tín hiệu bây giờ có vẻ gần như là nghịch đảo của dạng sóng FIR, do đó bộ lọc tạo ra giá trị âm. Sự xen kẽ này từ dương sang âm do đó tạo ra dạng sóng đầu ra có phần giống với dạng sóng đầu vào nếu nó phù hợp ở một pha nào đó và khớp ngược lại ở các pha khác. Các dạng sóng đầu vào khác, chẳng hạn như DC, hoặc tần số cao hơn nhiều, sẽ không khớp gần như nhau, do đó sẽ tạo ra các giá trị đầu ra thấp hơn.

Bộ lọc FIR trung bình hoặc thông thấp di chuyển có rất nhiều trọng số giống nhau hoặc gần như nhau, do đó, sẽ xuất ra ở mức cao hơn khi đầu vào không dao động cả với các giá trị dương và âm xung quanh DC, sẽ hủy bỏ, ít nhất là một phần, khi tổng kết sau trọng số gần như nhau.

Trong khi đó, hạt nhân bộ lọc FIR thay thế mọi trọng lượng, hoặc gần như vậy, sẽ hủy bỏ đầu vào DC, nhưng phù hợp hơn với đầu vào tần số cao nhất và do đó, đầu ra có nhiều đầu vào trông giống như DC, ví dụ như bộ lọc thông cao.

Do lọc FIR trong quy trình LTI, "tuyến tính" trong LTI có nghĩa là bạn có thể tổng hợp nhiều "loại kết hợp" với nhau để tạo ra một tổ hợp tuyến tính của các đáp ứng tần số, đó là lý do tại sao FT nghịch đảo của đáp ứng tần số tạo ra đáp ứng xung có thể được sử dụng để lọc FIR với đáp ứng tần số mong muốn.

Một số chức năng, chẳng hạn như sin và cosin, có thể được xấp xỉ gần đúng bằng một đệ quy ngắn. Có thể xem bộ lọc IIR đơn giản là sự kết hợp của bộ tạo hàm đệ quy ngắn tạo ra một số dạng sóng "khớp" giống như bộ lọc FIR mong muốn, đồng thời thực hiện đồng thời quá trình khớp trên.