Tại sao hệ thống LTI không thể tạo ra bất kỳ tần số mới?

9

Tại sao ngụ ý rằng hệ thống LTI không thể tạo ra bất kỳ tần số mới nào? $Y (\omega) = X(\omega)H(\omega)$
Tại sao nếu một hệ thống tạo ra tần số mới, thì đó không phải là LTI?

convolution time-frequency

— NGƯỜI DÙNG
nguồn

15

Một trong những tính năng dứt khoát của các hệ thống LTI là chúng không thể tạo ra bất kỳ tần số mới nào chưa có trong đầu vào của chúng. Xin lưu ý rằng trong ngữ cảnh này, tần số đề cập đến các tín hiệu thuộc loại hoặc có thời lượng vô hạn và cũng được gọi là các hàm riêng của LTI các hệ thống (cụ thể chỉ dành cho cấp số nhân phức tạp) và có biến đổi CT Fourier được biểu thị bằng các hàm xung trong miền tần số là hoặc $x(t)=e^{j\Omega_0 t}$ $\cos(\Omega_0 t)$ $X(\Omega) =2\pi \delta (\Omega - \Omega_0)$ $X(\Omega)=\pi \delta (\Omega - \Omega_0) + \pi \delta (\Omega + \Omega_0)$ lặp đi lặp lại

Một cách để xem tại sao lại như vậy, bằng cách quan sát CTFT, , của đầu ra , được đưa ra bởi mối quan hệ nổi tiếng chỉ khi hệ thống bị LTI (và cũng ổn định như một vấn đề thực tế để tồn tại). $Y(\omega)$ $y(t)$ $Y(\omega) = H(\omega)X(\omega)$ $H(e^{j \omega})$

(tức là chỉ giữ khi đáp ứng xung tồn tại và nó sẽ chỉ tồn tại khi hệ thống bị LTI.)

y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} x (τ) h (t - τ) d τ ⟷ Y (ω) = X (ω) H (ω),

$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau \longleftrightarrow Y(\omega)=X(\omega)H(\omega),$

h (t)

$h(t)$

Từ một suy nghĩ nhỏ, được hướng dẫn bởi một đồ thị đồ họa đơn giản và sử dụng thuộc tính nhân ở trên, ta có thể thấy rằng vùng tần số hỗ trợ (tập hợp tần số mà khác không), của đầu ra được cung cấp bởi giao điểm của các vùng hỗ trợ và của đầu vào và đáp ứng tần số của hệ thống LTI: $R_y$ $Y(\omega)$ $Y(\omega)$ $R_x$ $R_h$ $X(\omega)$ $H(\omega)$

R_{y} = R_{x} \cap R_{h}

$R_y = R_x \cap R_h$

Và từ bộ đại số chúng ta đều biết rằng nếu thì và . Đó là, một giao lộ luôn luôn ít hoặc tương đương với những gì đang được giao nhau. Do đó, vùng hỗ trợ cho sẽ nhỏ hơn hoặc nhiều nhất bằng mức hỗ trợ của . Do đó, không có tần số mới sẽ được quan sát ở đầu ra. $A = B \cap C$ $A \subset B$ $A \subset C$ $Y(\omega)$ $X(\omega)$

Vì đặc tính này là điều kiện cần thiết để trở thành một hệ thống LTI , do đó, bất kỳ hệ thống nào không sở hữu nó, do đó, không thể là LTI.

— Béo32
nguồn

9

Bạn có thể đưa ra một lập luận đại số đơn giản, dựa trên tiền đề mà bạn cung cấp. Nếu:

Y (ω) = X (ω) H (ω)

$Y(\omega) = X(\omega) H(\omega)$

Trong đó là phổ của tín hiệu đầu vào và ) là đáp ứng tần số của hệ thống, thì rõ ràng là nếu có một số trong tín hiệu đầu vào mà , sau đó là tốt; không có yếu tố mà bạn có thể nhân lên để mang lại giá trị khác không. $X(\omega)$ $H(\omega$ $\omega$ $X(\omega) = 0$ $Y(\omega) = 0$ $H(\omega)$

Như đã nói, việc thiết lập sự thật của tiền đề mà tôi đã bắt đầu ở trên đối với các hệ thống LTI sẽ mất một số công việc. Tuy nhiên, nếu chúng tôi cho rằng nó là đúng, thì thực tế là một hệ thống LTI không thể đưa bất kỳ thành phần tần số mới nào vào đầu ra của nó theo sau trực tiếp.

— Jason R
nguồn

bằng chứng sẽ chỉ ra rằng đối với bất kỳ tín hiệu nào hoạt động tốt, Biến đổi Fourier là không thể đảo ngược và cả FT và nghịch đảo của nó là tuyến tính. Mỗi tín hiệu với tần số đủ hoạt động tốt.

— Marcus Müller

3

Tại sao ngụ ý rằng hệ thống LTI không thể tạo ra bất kỳ tần số mới nào? $Y(ω)=X(ω)H(ω)$

Nếu tần số nhất định không có trong đầu vào của chúng tôi, . Vì 0 tuân theo danh tính nhân , . Do đó, tần số không có trong tín hiệu đầu ra. $\omega_\text{abs}$ $X(\omega_\text{abs}) = 0$ $\forall x\in \mathbb{R},~ 0 \cdot x = 0$ $Y(\omega_\text{abs}) = 0$ $\omega_\text{abs}$

Tại sao nếu một hệ thống tạo ra tần số mới, thì đó không phải là LTI?

Giả sử đầu vào của chúng tôi là . Sau đó, nếu chúng tôi giả định rằng hệ thống của chúng tôi có thể tạo ra các tần số mới, có thể thu được đầu ra . Vì chúng tôi không thể tìm thấy hằng số sao cho , hệ thống của chúng tôi không phải là LTI. $x(t) = \cos(t)$ $y(t) = \cos(2\cdot t)$ $c_1, c_2$ $y(t) = c_1 \cos(t - c_2)$

— Scott
nguồn

Không phải để kiểm tra LTI chỉ c1 được sử dụng, và không phải c2?

— NGƯỜI DÙNG

1

Tôi muốn nói rằng điểm đầu tiên, về cơ bản là bạn không thể có được thứ gì đó khác không bằng cách nhân 0 lần bất cứ thứ gì, đó là câu trả lời ngắn gọn.

— robert bristow-johnson

c1 được sử dụng cho tuyến tính, c2 được sử dụng để dịch chuyển thời gian. Chúng ta có thể có một hệ thống LTI làm trì hoãn mọi thứ bằng 1 đơn vị thời gian.

— Scott

1

Một hệ thống LTI được chéo bởi các tần số thuần túy . Sines / cosines là các hàm riêng của hệ tuyến tính. Nói cách khác, bất kỳ đầu vào sin hoặc cos (hoặc một cisoid phức tạp) nào khác đều có đầu ra sin hoặc cosin có cùng tần số chính xác (nhưng biên độ đầu ra có thể biến mất).

Điều duy nhất có thể thay đổi là biên độ hoặc pha của chúng. Do đó, nếu bạn không có sin với tần số cho trước ở đầu vào, bạn sẽ không nhận được gì (không) với tần số đó ở đầu ra.

Câu hỏi thứ hai được trả lời bởi contrapocation hoặc regula falsi: nếu là đúng, thì . Nếu một hệ thống là LTI, nó không tạo ra tần số mới. Nếu một hệ thống tạo ra tần số mới, nó không phải là LTI. $A\implies B$ $\overline{B}\implies \overline{A}$

— Laurent Duval
nguồn