Tại sao một pha tuyến tính quan trọng?

16

Nếu các điều kiện đối xứng được đáp ứng, các bộ lọc FIR có pha tuyến tính. Điều này không đúng với các bộ lọc IIR.

Tuy nhiên, đối với những ứng dụng nào thì việc áp dụng các bộ lọc không có thuộc tính này là gì và điều gì sẽ là tác động tiêu cực?

filters filter-design fir

— Đứa trẻ Pheromone
nguồn

17

Bộ lọc pha tuyến tính sẽ bảo toàn sóng của tín hiệu hoặc thành phần của tín hiệu đầu vào (trong phạm vi có thể, với điều kiện là một số tần số sẽ bị thay đổi biên độ do tác động của bộ lọc).

Điều này có thể quan trọng trong một số lĩnh vực:

Xử lý tín hiệu mạch lạc và giải điều chế , trong đó sóng là quan trọng bởi vì quyết định ngưỡng phải được đưa ra trên sóng (có thể trong không gian bậc hai, và với nhiều ngưỡng, ví dụ điều chế 128 QAM), để quyết định xem tín hiệu thu được có đại diện cho "1 không "Hoặc" 0 ". Do đó, việc bảo tồn hoặc khôi phục sóng truyền ban đầu là vô cùng quan trọng, các quyết định ngưỡng sai khác sẽ được đưa ra, điều này sẽ gây ra một chút lỗi trong hệ thống thông tin liên lạc.
xử lý tín hiệu radar , trong đó sóng của tín hiệu radar bị trả về có thể chứa thông tin quan trọng về các thuộc tính của mục tiêu
xử lý âm thanh , trong đó một số người tin rằng (mặc dù nhiều người tranh cãi về tầm quan trọng) rằng "sắp xếp thời gian" các thành phần khác nhau của sóng âm phức tạp rất quan trọng để tái tạo hoặc duy trì chất lượng tinh tế của trải nghiệm nghe (như "hình ảnh âm thanh nổi" và tương tự)

— AndyW
nguồn

4

(Tôi đã thực hiện các bài kiểm tra nghe ABX và có thể phân biệt giữa crossover Linkwitz-Riley thứ 8 mô phỏng so với không. Âm thanh bốc đồng trở nên "chirpy" khi tần số cao đến sớm hơn một chút so với mức thấp. xa xôi.)

— endolith

1

Không cần phải nói thuộc tính bảo toàn dạng sóng chỉ áp dụng cho tín hiệu băng tần hẹp ... Ma thuật (đối với tín hiệu băng rộng nói chung) bộ lọc (cho dù là pha tuyến tính hay không) sẽ thay đổi hình dạng tín hiệu nhiều như phản hồi xung kết hợp với tín hiệu .. .

— Fat32

18

Hãy để tôi thêm đồ họa sau đây vào các câu trả lời tuyệt vời đã được đưa ra.

Khi bộ lọc có pha tuyến tính , thì tất cả các tần số trong tín hiệu đó sẽ bị trễ cùng một khoảng thời gian (như được mô tả về mặt toán học trong câu trả lời của Fat32).

Bất kỳ tín hiệu nào cũng có thể được phân tách (thông qua Fourier Series) thành các thành phần tần số riêng biệt. Khi tín hiệu bị trễ qua bất kỳ kênh nào (chẳng hạn như bộ lọc), miễn là tất cả các thành phần tần số đó bị trễ cùng một lượng, tín hiệu tương tự (tín hiệu quan tâm, trong dải thông của kênh) sẽ được tạo lại sau độ trễ .

Hãy xem xét một sóng vuông, thông qua Mở rộng Sê-ri Fourier được hiển thị để tạo thành một số lượng vô hạn các tần số hài hài lẻ.

Trong hình bên trên tôi hiển thị tổng của ba thành phần đầu tiên. Nếu tất cả các thành phần này bị trì hoãn cùng một lượng, dạng sóng quan tâm vẫn còn nguyên khi các thành phần này được tính tổng. Tuy nhiên, độ méo trễ nhóm đáng kể sẽ dẫn đến kết quả nếu mỗi thành phần tần số bị trễ một khoảng thời gian khác nhau.

Những điều sau đây có thể giúp cung cấp cái nhìn sâu sắc trực quan bổ sung cho những người có nền tảng RF hoặc analog.

Xem xét một đường trễ trễ băng thông rộng không mất mát lý tưởng (chẳng hạn như xấp xỉ bằng chiều dài của cáp đồng trục), có thể truyền tín hiệu băng rộng mà không bị biến dạng.

Hàm truyền của cáp như vậy được hiển thị trong hình bên dưới, có cường độ 1 cho tất cả các tần số và pha tăng âm theo tỷ lệ tuyến tính trực tiếp với tần số. Cáp càng dài thì độ dốc của pha càng dốc, nhưng trong mọi trường hợp là "pha tuyến tính".

Điều này thật ý nghĩa; độ trễ pha của tín hiệu 1 Hz đi qua cáp có độ trễ 1 giây sẽ là 360 °, trong khi tín hiệu 2 Hz có cùng độ trễ sẽ là 720 °, v.v ...

Đưa điều này trở lại thế giới kỹ thuật số, là biến đổi z của độ trễ 1 mẫu (do đó là đường trễ), với đáp ứng tần số tương tự với những gì được hiển thị, chỉ theo H (z); cường độ không đổi = 1 và pha đi tuyến tính từ đến từ f = 0 Hz đến f = fs (tốc độ lấy mẫu). $z^{-1}$ $0$ $-2\pi$

Giải thích toán học đơn giản nhất là pha có tuyến tính với tần số và độ trễ không đổi là các cặp Biến đổi Fourier. Đây là thuộc tính thay đổi của Biến đổi Fourier. Độ trễ thời gian không đổi trong thời gian giây dẫn đến pha tuyến tính theo tần số , trong đó là trục tần số góc tính bằng radian / giây: $\tau$ $-\omega \tau$ $\omega$

F {g (t - τ)} = = \int_{- \infty}^{\infty} g (t - τ) e^{j ω t} d t

$\mathscr{F}\{g(t-\tau)\} = \int_{-\infty}^{\infty}g(t-\tau)e^{j\omega t}dt$

bạn = = t - τ

$u = t - \tau$

F {g (bạn)} = = \int_{- \infty}^{\infty} g (bạn) e^{- j ω (bạn + τ)} d bạn

$\mathscr{F}\{g(u)\} = \int_{-\infty}^{\infty}g(u)e^{-j\omega (u+\tau)}du$

= = e^{- j ω τ} \int_{- \infty}^{\infty} g (bạn) e^{- j ω bạn} d bạn

$= e^{-j\omega \tau}\int_{-\infty}^{\infty}g(u)e^{-j\omega u}du$

= = e^{- j ω τ} G (j ω)

$= e^{-j\omega \tau}G(j\omega)$

— Dan Boschen
nguồn

3

Dan, biểu đồ mặt vui và buồn của bạn khiến tôi bật cười vì cách đơn giản là thông tin! Làm tốt lắm!

— Oreo

12

Chỉ cần thêm vào những gì đã được nói, bạn có thể thấy điều này bằng trực giác bằng cách nhìn vào hình sin sau với tần suất tăng đơn điệu.

Chuyển tín hiệu này sang phải hoặc trái sẽ thay đổi pha của nó. Nhưng cũng lưu ý rằng sự thay đổi pha sẽ lớn hơn đối với tần số cao hơn và nhỏ hơn đối với tần số thấp hơn. Hay nói cách khác, pha tăng tuyến tính với tần số. Do đó, sự thay đổi thời gian không đổi tương ứng với sự thay đổi pha tuyến tính trong miền tần số.

— orodbhen
nguồn

Câu trả lời hay nhất imo.

— Felix Crazzolara

11

Bản chất và tầm quan trọng của thuộc tính pha tuyến tính nằm trong định nghĩa và ảnh hưởng của độ trễ nhóm trên tín hiệu được áp dụng , trong đó là phản ứng pha của bộ lọc; (pha đáp ứng tần số của nó).

τ (ω) = = - \frac{d φ (ω)}{d ω}

$\tau(\omega) = - \frac {d\phi(\omega)}{d\omega}$

x [n]

$x[n]$

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

Giả sử rằng một bộ lọc, với độ trễ nhóm cố định là mẫu, được áp dụng tín hiệu đầu vào băng hẹp . Sau đó, tín hiệu đầu ra sẽ là (xấp xỉ) có dạng trong đó là mức tăng của bộ lọc được đánh giá ở tần số trung tâm của tín hiệu đầu vào băng hẹp . Điều này có nghĩa rằng các tín hiệu đầu vào sẽ được trọng và chuyển nguyên vẹn như một toàn thể bởi sự chậm trễ nhóm của bộ lọc. Và điều này chỉ có thể xảy ra khi độ trễ của nhóm không phụ thuộc vào tần số . Và đây sẽ là trường hợp nếu bộ lọc cơ bản có pha tuyến tính $n_0$ $x[n]$ $y[n] = K x[n-n_0]$ $K$ $x[n]$ $\omega$ (hoặc pha tuyến tính tổng quát). Lưu ý rằng nếu tín hiệu đầu vào thuộc loại băng thông rộng; tức là tần số tối thiểu và tối đa của nó nằm xa tần số trung tâm của nó, khi đó xấp xỉ không hợp lệ và mặc dù độ trễ nhóm vẫn giống nhau cho từng thành phần hình sin trong tín hiệu, biên độ đầu ra tương đối của chúng sẽ khác nhau bởi mức tăng của bộ lọc phụ thuộc tần số . $K(w)$

Vậy thì ảnh hưởng của bộ lọc với pha phi tuyến (hoặc độ trễ nhóm phụ thuộc tần số) đến tín hiệu đầu vào là gì? Một ví dụ đơn giản sẽ là tín hiệu đầu vào phức tạp được coi là tổng của nhiều gói sóng ở các tần số trung tâm khác nhau. Sau khi lọc, mỗi gói có tần số trung tâm cụ thể sẽ được thay đổi (trễ) khác nhau do độ trễ của nhóm phụ thuộc tần số. Và điều này sẽ dẫn đến sự thay đổi thứ tự thời gian (hoặc thứ tự không gian) của các gói sóng đó, đôi khi quyết liệt, tùy thuộc vào mức độ phi tuyến của pha, được gọi là phân tántrong thiết bị đầu cuối truyền thông. Không chỉ các waveshape tổng hợp, mà còn một số đơn đặt hàng sự kiện có thể bị mất. Loại kênh phân tán này có ảnh hưởng nghiêm trọng như ISI (nhiễu biểu tượng liên) trên dữ liệu truyền.

Do đó, đặc tính này của các bộ lọc pha tuyến tính, còn được gọi là đặc tính bảo toàn dạng sóng , đặc biệt áp dụng cho các tín hiệu băng tần hẹp. Một ví dụ trong đó dạng sóng là quan trọng, ngoài ISI như đã đề cập ở trên, đang xử lý hình ảnh, trong đó thông tin pha biến đổi Fourier có tầm quan trọng tối đa so với cường độ của biến đổi Fourier, vì tính dễ hiểu của hình ảnh. Tuy nhiên, điều tương tự không thể nói đối với nhận thức về tín hiệu âm thanh do một loại độ nhạy khác nhau của tai đối với kích thích.

— Béo32
nguồn

Giai đoạn tuyến tính tổng quát có nghĩa là gì trong bối cảnh này?

1

@ 0MW Tôi cho rằng điều đó có nghĩa là sự thay đổi pha không đổi cũng được cho phép, như trong biến đổi Hilbert .

— Olli Niemitalo

10

Câu trả lời cho câu hỏi này đã được giải thích rõ ràng trong các câu trả lời trước. Tuy nhiên, tôi muốn cho nó một thử để trình bày một giải thích toán học giống nhau

$H(w)$

$e^{jw_{0}t}$ $H(w_{0})e^{jw_{0}t}$

$H(w_{0})$ $arg(H(w))$ $|H(w)|$

một r g (H (w)) = = K w

$arg(H(w)) = Kw$

K

$K$

$e^{jw_{0}t}$

y (t) = = | H (w) | * e^{j w_{0} t + j K w_{0}}

$y(t) = |H(w)|*e^{jw_{0}t + jKw_{0}}$

= = | H (w) | * e^{j w_{0} (t + K)}

$= |H(w)|*e^{jw_{0}(t + K)}$

Vì vậy, nếu pha là tuyến tính thì tất cả các thành phần tần số của tín hiệu sẽ trải qua cùng một độ trễ trong miền thời gian dẫn đến bảo toàn hình dạng.

— SakSath
nguồn

1

Tôi sẽ chỉ đưa ra một bản tóm tắt cho những câu trả lời tuyệt vời được đề cập ở trên:

dịch chuyển tín hiệu trong miền thời gian sẽ dẫn đến sự dịch pha tỷ lệ với tần số nên f (t + dt) sẽ là F (f) e (j2πfdt)
Khi bộ lọc có đáp ứng pha lót, tất cả tần số của tín hiệu đầu vào của bộ lọc này sẽ được thay đổi với cùng một lượng trong miền thời gian, do đó điều này sẽ dẫn đến tính khả thi của tín hiệu đầu vào.

— Youssef Rafaat
nguồn