Là một tích hợp rò rỉ giống như một bộ lọc thông thấp?

9

Phương trình chi phối một nhà tích hợp bị rò rỉ (ít nhất là theo Wikipedia) là

$\frac{d\mathcal{O}}{dt} + A\mathcal{O}(t) = \mathcal{I}(t)$ .

Là một bộ tích hợp rò rỉ thời gian liên tục, do đó giống như bộ lọc thông thấp với hằng số thời gian $A$ , lên đến một số tỷ lệ của đầu vào?

filters

— Kris
nguồn

2

Có, nhưng hãy chắc chắn kiểm tra định nghĩa của hằng số thời gian.

— Dilip Sarwate

11

Một tích hợp được gọi là rò rỉ là một bộ lọc đơn hàng đầu tiên có phản hồi. Chúng ta hãy tìm hàm truyền của nó, giả sử rằng đầu vào là và đầu ra : $x(t)$ $y(t)$

\frac{d y (t)}{d t} + A y (t) = x (t)

$\frac{dy(t)}{dt} + Ay(t) = x(t)$

L {\frac{d y (t)}{d t} + A y (t)} = L {x (t)}

$\mathcal{L}\left\{\frac{dy(t)}{dt} + Ay(t)\right\} = \mathcal{L}\left\{x(t)\right\}$

Trong đó biểu thị ứng dụng của biến đổi Laplace . Tiến về phía trước: $\mathcal{L}$

s Y (s) + A Y (s) = X (s)

$sY(s) + AY(s) = X(s)$

H (s) = \frac{Y (s)}{X (s)} = \frac{1}{s + A}

$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{1}{s + A}$

(lợi dụng thuộc tính của biến đổi Laplace mà , giả sử rằng). $\frac{dy(t)}{dt} \Leftrightarrow sY(s)$ $y(0) = 0$

Hệ thống này, với hàm truyền , có một cực duy nhất tại . Hãy nhớ rằng phản ứng tần số của nó ở tần số có thể được tìm thấy bằng cách cho phép : $H(s)$ $s = -A$ $\omega$ $s=j\omega$

H (j ω) = = \frac{1}{j ω + Một}

$H(j\omega) = \frac{1}{j\omega + A}$

Để có được một cái nhìn sơ bộ phản ứng này, trước tiên hãy : $\omega \to 0$

lim_{ω \to 0} H (ω) = = \frac{1}{Một}

$\lim_{\omega \to 0} H(\omega) = \frac{1}{A}$

$A$ $w \to \infty$

lim_{ω \to \infty} H (ω) = = 0

$\lim_{\omega \to \infty} H(\omega) = 0$

Do đó, đáp ứng tần số của hệ thống về 0 đối với các tần số cao. Điều này tuân theo nguyên mẫu thô của bộ lọc thông thấp. Để trả lời câu hỏi khác của bạn liên quan đến hằng số thời gian của nó, bạn nên kiểm tra phản hồi trong miền thời gian của hệ thống. Đáp ứng xung của nó có thể được tìm thấy bằng cách chuyển đổi nghịch đảo hàm truyền:

H (S) = = \frac{1}{S + Một} \Leftrightarrow e^{- Một t} bạn (t) = = h (t)

$H(s) = \frac{1}{s+A} \Leftrightarrow e^{-At}u(t) = h(t)$

$u(t)$

h (t) = = e^{- \frac{t}{τ}} bạn (t)

$h(t) = e^{-\frac{t}{\tau}}u(t)$

$\tau$ $\tau = \frac{1}{A}$

— Jason R
nguồn

\frac{1}{1 + i ω τ}

$\frac{1}{1+i \omega \tau}$

\frac{1}{τ + i ω}

$\frac{1}{\tau + i \omega}$

4

Đáp ứng tần số là như nhau, vâng, nhưng ứng dụng thì khác:

Với bộ lọc thông thấp, tín hiệu của bạn nằm trong dải thông. Tần số cắt của bộ lọc được đặt trên tần số cao nhất bạn muốn giữ trong tín hiệu của mình.
Với một bộ tích hợp rò rỉ, tín hiệu của bạn nằm trong dải dừng. Tần số cắt của bộ lọc được đặt dưới tần số thấp nhất trong tín hiệu của bạn.

nhập mô tả hình ảnh ở đây

Ngoài ra, các bộ tích hợp luôn là thứ tự đầu tiên, trong khi các bộ lọc thông thấp có thể là bất kỳ thứ tự nào.

— nội tâm
nguồn

2

Phản hồi tương tự ngoại trừ mức tăng DC ...

— Arnfinn