Trong bài báo này hoặc lọc đa năng, tác giả thiết lập mối quan hệ toán học sau. Đặt là đầu ra của bộ xuống sao cho$y_D$

$$y_D[n] = x[Mn]$$

Trong đó là hệ số đường xuống. Nói cách khác, chúng tôi giữ mọi mẫu M của tín hiệu gốc. Tác giả sau đó tiếp tục nêu ra những điều sau đây:$M$$M$

... biến đổi z của $y_D[n]$ được cho bởi

$$Y_D[z]=\frac{1}{M}\sum_{k=0}^{M-1}X[z^{1/M}W^k]$$

Trong đó $W^k$ là hạt nhân Biến đổi Fourier rời rạc $M$ , cụ thể là $e^{(-j2\pi k)/M}$ .

Làm thế nào chúng ta có thể đi từ biểu thức trước đến sau? Mối quan hệ giữa DFT và biến đổi Z cho phép chuyển đổi như vậy là gì?

Đạo hàm này là một khó khăn. Cách tiếp cận được đề xuất trước đây có một lỗ hổng. Hãy để tôi chứng minh điều này đầu tiên; sau đó tôi sẽ đưa ra giải pháp chính xác.

Chúng tôi muốn liên kết biểu mẫu $\mathcal{Z}$ của tín hiệu được ghép xuống, $Y_D(z) = \mathcal{Z}\{x[Mn]\}$ , với biểu thức của tín hiệu gốc . X ( z ) = Z { x [ n ] $\mathcal{Z}$$X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\}$

Sai cách

Người ta có thể nghĩ đơn giản là cắm biểu thức cho tín hiệu được ghép xuống thành biểu thức của -transform:$\mathcal{Z}$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{x[Mn] z^{-n}}$

Một thay đổi của biến dường như rõ ràng:$n'=Mn$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n' \in M\mathbb{Z}}{x[n'] z^{-n'/M}}$

Tuy nhiên, điều quan trọng là phải nhận ra rằng mặc dù chỉ số tổng hợp mới vẫn chạy từ đến , tổng số hiện có hơn 1 trong số M số nguyên . Nói cách khác, - ∞ $n'$$-\infty$$\infty$

$n' \in M\mathbb{Z}=\{...,-2M,-M,0,M,2M,...\}$ ,

trong khi định nghĩa của -transform yêu cầu$\mathcal{Z}$

$n \in \{...,-2,-1,0,1,2,...\}$ .

Vì đây không còn là biểu mẫu , nên chúng tôi không thể viết:$\mathcal{Z}$

$Y_D(z) = X(z^{1/M})$

Đúng cách

Trước tiên chúng ta hãy định nghĩa tín hiệu tàu xung lực 'helper' là:$t_M[n]$

$\begin{align*} t_M[n] & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}{\delta[n-kM]} \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} 1 & : n \in M\mathbb{Z}\\ 0 & : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \end{align*}$

Hàm này là tại một trong mỗi mẫu và không có ở mọi nơi khác.$1$$M$

Tương tự, hàm mạch xung có thể được viết là:

$t_M[n] = \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{e^{j2\pi k n / M}}$

Chứng minh: Chúng ta cần xem xét riêng các trường hợp và : n ∉ M $n \in M\mathbb{Z}$$n \notin M\mathbb{Z}$

$$\begin{align*} t_M[n] & = \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{e^{j2\pi k n / M}} \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{1} && : n \in M\mathbb{Z}\\ \frac{1}{M} \frac{1-e^{j2\pi k n}}{1-e^{j2\pi k n / M}} && : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} \frac{1}{M} M && : n \in M\mathbb{Z}\\ \frac{1}{M} \frac{1-1}{1-e^{j2\pi k n / M}} && : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} 1 && : n \in M\mathbb{Z}\\ 0 && : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \end{align*}$$ Trong trường hợp ,$n \notin M\mathbb{Z}$

Bây giờ chúng ta hãy quay trở lại vấn đề ban đầu của chúng tôi về việc tìm kiếm -transform của một downsampler:$\mathcal{Z}$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{x[Mn] z^{-n}}$

Chúng tôi áp dụng thay thế , lưu ý rằng điều này làm cho phép tính tổng chỉ chạy trên bội số nguyên của M:$n'=Mn$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n' \in M\mathbb{Z}}{x[n'] z^{-n'/M}}$

Bây giờ chúng ta có thể sử dụng hàm đào tạo xung ở trên để viết lại một cách an toàn dưới dạng tổng của tất cả :$n \in \mathbb{Z}$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{t_M[n] x[n] z^{-n/M}}$

Sử dụng công thức trên cho hàm đào tạo xung như một tổng số hữu hạn của số mũ, chúng ta nhận được:

$\begin{align*} Y_D(z) &= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{(\frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{e^{j2\pi k n / M}}) x[n] z^{-n/M}} \\ &= \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{e^{j2\pi k n / M} x[n] z^{-n/M}}} \\ &= \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{x[n] (e^{-j2\pi k / M} z^{1/M})^{-n}}} \end{align*}$

Tổng kết ở bên phải là tổng của tất cả các số nguyên và do đó là một biểu thức hợp lệ theo . Do đó, chúng ta có thể viết:$\mathcal{Z}$$z'=e^{-j2\pi k / M} z^{1/M}$

$Y_D(z) = \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{X(e^{-j2\pi k / M} z^{1/M})}$

Đây là công thức cho định dạng của một downsampler.$\mathcal{Z}$

Tôi chưa thấy ký hiệu này trước đây. Tuy nhiên, nó dường như có ý nghĩa. Các -downsampler được xác định bởi phương trình:$M$

$$y_D[n] = x[Mn]$$

đổi z của nó được xác định bởi phương trình:$z$

$$\begin{align} Y_D(z) &= \sum_{n=-\infty}^\infty y_D[n]z^{-n} \\ &= \sum_{n=-\infty}^\infty x[Mn] z^{-n} \end{align}$$

Áp dụng thay đổi biến, cho . Phạm vi của tổng kết không bị ảnh hưởng bởi sự thay đổi của biến vì chúng mở rộng đến vô tận.$n' = Mn$

$$Y_D(z) = \sum_{n'=-\infty}^\infty x[n']z^{-n'/M}$$

Điều này trông tương tự như biến đổi của chính x [ n ] . Hãy nhớ lại rằng nó được định nghĩa là:$z$$x[n]$

$$X(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty x[n]z^{-n}$$

Bằng cách kiểm tra, do đó chúng ta có thể kết luận mối quan hệ sau đây giữa các biến đổi của x [ n ] và y D [ n ] :$z$$x[n]$$y_D[n]$

$$Y_D(z) = X\left(z^{1/M}\right)$$

Do đó, biến đổi của đầu ra downsampler có liên quan chặt chẽ với biến đổi z của tín hiệu đầu vào, được dự kiến. Trong miền tần số, điều này dẫn đến việc kéo dài M gấp đôi nội dung tần số của tín hiệu.$z$$z$$M$

Nhưng làm thế nào để bạn đi từ phương trình trên đến một trong những bạn đã tham khảo trong bài báo? Nó đưa ra một định nghĩa về về z chỉ, trong khi các biểu hiện chúng tôi có nguồn gốc là một hàm của z 1 / M . Vì vậy, đối với một giá trị cụ thể của z mà bạn muốn đánh giá Y D ( z ) tại, trước tiên bạn sẽ tính z 1 / M (tức là lấy gốc M -th của z ) và sau đó thay thế vào X ( z ) . Tuy nhiên,$Y_D(z)$$z$$z^{1/M}$$z$$Y_D(z)$$z^{1/M}$$M$$z$$X(z)$tất cả nonzero có M biệt M rễ -thứ$z \in \mathbb{C}$$M$$M$ :

$$\left\{ r_p,\ r_p e^{\frac{j2\pi}{M}},\ r_p e^{\frac{j2\pi2}{M}},\ \ldots\ ,\ r_p e^{\frac{j2\pi(M-1)}{M}} \right\}$$

$$= \left\{ r_p,\ r_p W,\ r_p W^{2},\ \ldots\ ,\ r_p W^{M-1} \right\}$$

Trong đó là giá trị hạt nhân DFT e j 2 π k / M được tham chiếu trong câu hỏi của bạn và r p là giá trị tôi xác định là gốc M -th chính của giá trị phức z :$W_k$$e^{j2\pi k / M}$$r_p$$M$$z$

$$r_p = \sqrt[M]{|z|} e^{\frac{j\angle{z}}{M}}$$

Đó là, 's chính M -thứ gốc r p thu được bằng cách chuyển đổi z mẫu cực, lấy M -thứ gốc của z ' s độ lớn (đó là một số thực), và chia z 's góc bằng M . Các giá trị kết quả thể hiện r p ở dạng cực.$z$$M$$r_p$$z$$M$$z$$z$$M$$r_p$

Tại sao đi đến tất cả những rắc rối này? Bởi vì, như tôi đã lưu ý trước đây, ánh xạ từ miền của sang miền của X ( z 1 / M ) không phải là một đối một. Bây giờ tôi sẽ bắt đầu một số handwaving. Đối với bất kỳ giá trị cụ thể nào của z mà bạn muốn đánh giá Y D ( z ) , có M điểm tương ứng trong X ( z 1 / M ) mà bạn có thể ánh xạ tới. Do đó, mỗi điểm M trong X ( z $Y_D(z)$$X(z^{1/M})$$z$$Y_D(z)$$M$$X(z^{1/M})$$M$đóng góp vào giá trị tương ứng củaYD(z). Sau đó, bạn kết thúc với một số tiền như thế được hiển thị trong bài báo:$X(z^{1/M})$$Y_D(z)$

$$Y_D(z) = \frac{1}{M} \sum_{k=0}^{M-1} X(r_p(z)W^k)$$

Trong đó đề cập đến phép tính gốc M -th chính mà tôi đã trình bày trước đó. Trong thực tế, bạn có thể chọn bất kỳ của z 's M -thứ rễ như một chính; Tôi chọn định nghĩa này vì nó đơn giản nhất. Nếu bạn có được mối quan hệ đúng đắn và chặt chẽ này, tôi tin rằng yếu tố $r_p(z)$$M$$z$$M$ do thỏa thuận hợp vì một dẫn xuất củaz1/M.$\frac{1}{M}$$z^{1/M}$

Trong nhà toán học nói, tôi tin rằng điều này sẽ được gọi là một thành phần của các hàm; , nơi f ( z ) = X ( z ) và g ( z ) = z 1 / M . Để hủy đăng ký thành phần chức năng và chỉ viết Y D ( z ) dưới dạng hàm của z , bạn sẽ cắt miền của Y D$Y_D(z) = f(g(z))$$f(z) = X(z)$$g(z) = z^{1/M}$$Y_D(z)$$z$ thành các khối một đối một, đảo ngược hàm theo các khoảng đó và sau đó tổng hợp kết quả với các hệ số tỷ lệ thích hợp. Tôi đã sử dụng kỹ thuật này trước khi tính hàm phân bố xác suất của một hàm của một biến ngẫu nhiên cho pdf sự ngẫu nhiên ban đầu biến (ví dụ như để lấy được pdf của$Y_D(z)$ đưa rapdf củaX), nhưng tên của kỹ thuật thoát khỏi tôi.$\sqrt{X}$$X$