Trực giác cho sidelobes trong FFT

Tôi đã tự hỏi nếu có một cách trực quan để hiểu tại sao sidelobes xuất hiện khi thực hiện FFT trên tín hiệu có độ dài cố định?

Tôi có hai cách giải thích với mục đích cung cấp thêm cái nhìn sâu sắc trực quan ngoài lời giải thích toán học súc tích; đầu tiên, một lời giải thích từ Mở rộng Sê-ri Fourier cùng với ý tưởng lặp lại chuỗi miền thời gian bị cắt ngắn cho thấy sự không liên tục ngụ ý dẫn đến, đòi hỏi nhiều thành phần tần số để tái tạo hơn thực sự tồn tại nếu dạng sóng không bị cắt bớt. Và thứ hai, một lời giải thích từ việc xem DFT là một ngân hàng của các bộ lọc không tuyệt vời.

Giải thích đầu tiên: Mở rộng chuỗi Fourier và định kỳ thời gian

Biến đổi Fourier của chuỗi giới hạn thời gian giống hệt với Biến đổi Fourier của chuỗi được định kỳ cho mọi thời đại.

Điều này đúng với Biến đổi Fourier cũng như Biến đổi Fourier rời rạc và được gọi là Thuộc tính chu kỳ của DFT:

Tính chất tuần hoàn: Cho vectơ DFT điểm N [k], với mẫu DFT nghịch đảo x [n], với cả k và n nằm trong khoảng từ 0 đến N-1; nếu n nằm ngoài phạm vi 0,1,2 ..., N-1, thì

$x[n] = x[modulo(n,N)]$

Tương tự, đưa ra chuỗi thời gian điểm N x [n], với DFT X [k], nếu k nằm ngoài phạm vi 0, 1,2, ..., N-1, thì

$X[k] = X[modulo(k,N)]$

Để giúp đạt được sự hiểu biết trực quan, một cách chính là mọi thứ được lấy mẫu trong một miền, sẽ trở thành định kỳ trong miền khác. Tương tự, bất cứ thứ gì định kỳ trong một miền, đều được lấy mẫu (có giá trị rời rạc) trong miền khác. Cụ thể ở đây, "được lấy mẫu" có nghĩa là tín hiệu sẽ chỉ tồn tại dưới dạng các giá trị khác không tại các vị trí riêng biệt trong miền (luồng xung).

Lấy mẫu trong một miền -> Tính tuần hoàn trong miền khác : Xem xét phổ của sóng cosine tương tự 3 Hz trước và sau khi lấy mẫu bằng bộ chuyển đổi A / D. Phổ kỹ thuật số có thể được xem là định kỳ; chế độ xem hình trụ của phổ kỹ thuật số cũng là chế độ xem hợp lệ để giải thích tính tuần hoàn, nhưng tôi thấy phần mở rộng này cho miền tần số tương tự (bằng cách mở rộng tần số đến +/- vô cực) giúp một số người có được cái nhìn trực quan về xử lý tín hiệu liên quan .

Tính định kỳ trong một Miền -> Lấy mẫu trong Miền khác : Xem xét Mở rộng Sê-ri Fourier như một ví dụ đơn giản thể hiện tính chất này. Việc mở rộng chuỗi Fourier được thực hiện trong khoảng thời gian hữu hạn từ 0 đến T. Khi được phân tách thành các thành phần tần số riêng biệt, tần số duy nhất được sử dụng là DC, tần số cơ bản 1 / T và bội số nguyên của 1 / T (sóng hài). Trong thực tế, vì các tần số chỉ có thể tồn tại ở bội số 1 / T (và DC), miền tần số đã được lấy mẫu.

Hơn nữa, nếu chúng ta xây dựng lại dạng sóng miền thời gian, bằng cách tổng hợp các thành phần tần số riêng lẻ, chúng ta cũng có thể xem tính tuần hoàn ngụ ý trong miền thời gian nếu chúng ta cho phép các thành phần tần số vượt quá khoảng 0 đến T. Đó là do tính tuần hoàn này các thành phần tần số đó không thể tồn tại ở bất kỳ tần số nào khác ngoài bội số 1 / T (vì điều kiện ngược lại: nếu chúng tồn tại, thì chúng sẽ không bắt đầu và kết thúc một cách nhất quán trong khoảng thời gian 0 đến T, và do đó không thể tồn tại định kỳ).

Hiểu những điều trên hy vọng sẽ giúp cung cấp một lời giải thích trực quan về rò rỉ quang phổ. Vì vậy, bây giờ tôi sẽ lặp lại một điểm chính:

Biến đổi Fourier của chuỗi giới hạn thời gian giống hệt với Biến đổi Fourier của chuỗi được định kỳ cho mọi thời đại.

Rò rỉ quang phổ với chế độ xem " Mở rộng Sê-ri Fourier ":

Xét hai dạng sóng hình sin trong khoảng thời gian từ 0 đến T, lần đầu tiên có số chu kỳ nguyên trong khoảng thời gian và trường hợp thứ hai có số chu kỳ không nguyên.

Rõ ràng trong trường hợp 1 chúng ta có thể thấy với quan điểm lặp đi lặp lại rằng ngay cả việc lặp lại hình sin thuần túy của chúng ta vẫn là một hình sin thuần túy, nhưng trong trường hợp 2, hình sin của chúng ta hiện đang bị chuyển đổi đột ngột và sử dụng chế độ mở rộng Sê-ri Fourier để tái tạo xây dựng lại dạng sóng như vậy trong miền thời gian.

Giải thích thứ hai: Chế độ xem ngân hàng của DFT

Một lời giải thích trực quan khác về rò rỉ quang phổ (và giúp đáng kể trong việc hiểu DFT nói chung) là cái mà tôi gọi là chế độ xem ngân hàng bộ lọc của DFT. Để thấy điều này, hãy xem xét một DFT 4 pt đơn giản như trong hình bên dưới và quan sát cho mỗi thùng, chúng tôi đang xoay tín hiệu một cách hiệu quả, sau đó chuyển các giá trị được xoay qua bộ lọc FIR đạt được 4 lần nhấn. Đối với thùng thứ nhất, tương ứng với DC, không có vòng quay, vì vậy chúng tôi chỉ tổng hợp bốn mẫu và đối với các thùng khác, chúng tôi sẽ xoay dần ở tần số cao hơn khi chúng tôi di chuyển qua các thùng DFT:

(Lưu ý bên cạnh - Nếu chúng tôi thực hiện DFT phát trực tuyến, trong đó chúng tôi đã tính toán DFT 4 điểm mới trên chuỗi 4 điểm khi chúng tôi quét qua dạng sóng, chính xác đó sẽ là một ngân hàng bộ lọc, nhưng bất kể chúng tôi có làm điều đó hay không, điều này Chế độ xem cung cấp cái nhìn sâu sắc về rò rỉ quang phổ bên cạnh sự kết hợp thông thường của hàm chân trong miền tần số mà giải thích toán học tiết lộ)

Bây giờ hãy xem xét đáp ứng tần số cho từng bộ lọc FIR tương đương, sử dụng các hệ số được đưa ra trong DFT (Ví dụ: sử dụng freqz ([coeff]) trong Matlab hoặc Python) như trong hình dưới đây:

Đây là điểm chính: Vì mỗi Bộ lọc trong quá trình xây dựng DFT về cơ bản là bộ lọc FIR đạt được sự thống nhất , hình dạng của bộ lọc này theo tần số tiếp cận một chức năng chân thành khi độ dài của DFT dài hơn (và là một hàm chân thành bí danh cho N nhỏ). Vì vậy, chúng tôi sẽ gọi các bộ lọc chân thành này và lưu ý rằng một bộ lọc chân có sidelobes tương đối cao và có một phong bì cuộn rất chậm với tần số (ở mức 1 / f cho một chân thành thuần túy). Với các công cụ quay pha trong DFT, chúng ta chỉ cần di chuyển thùy chính của bộ lọc chân thành này đến từng thùng quan tâm, nhưng các thùy bên tồn tại cho mỗi thùng cho phép tần số ở các vị trí khác khiến năng lượng xuất hiện trong thùng này . Lượng rò rỉ được dự đoán hoàn toàn bởi các bộ lọc này.

Sử dụng chế độ xem này, hãy xem xét tín hiệu đơn âm đầu vào có tần số nằm ở giữa hai thùng tần số như trong hình bên dưới (một đầu vào tồn tại chính xác trên bất kỳ thùng nào sẽ có số chu kỳ nguyên trong khoảng thời gian miền và do đó KHÔNG rò rỉ quang phổ như chúng tôi đã trình bày trước đó). Bộ lọc trên cùng cho thấy biên độ tại vị trí tần số này sẽ "rò rỉ" đến thùng thứ nhất. Bộ lọc thứ hai cho thấy biên độ (cao hơn một chút), thùng thứ ba (tần số gần nhất của chúng tôi) sẽ có đáp ứng cao nhất và thùng thứ tư sẽ thấp hơn.

TÓM LƯỢC

Tôi đã trình bày hai giải thích với mục đích cung cấp thêm trực quancái nhìn sâu sắc vượt ra ngoài lời giải thích toán học ngắn gọn về phép nhân với một cửa sổ hình chữ nhật trong miền thời gian là tích chập trong miền tần số (và do đó chúng ta thấy là kết quả của một hàm chân thực hiện theo tần số với dạng sóng quan tâm mà chúng ta đã cắt theo thời gian) ; đầu tiên, một lời giải thích từ Mở rộng Sê-ri Fourier cùng với ý tưởng lặp lại chuỗi miền thời gian bị cắt ngắn cho thấy sự không liên tục ngụ ý dẫn đến, đòi hỏi nhiều thành phần tần số để tái tạo hơn thực sự tồn tại nếu dạng sóng không bị cắt bớt. Và thứ hai, một lời giải thích từ việc xem DFT như một ngân hàng của các bộ lọc và các bộ lọc kém ở đó (cụ thể là các bộ lọc đạt được sự thống nhất tiếp cận đáp ứng tần số chức năng chân thành khi N tăng).

Khi bạn lấy ra mẫu hình sin từ một luồng mẫu có chiều dài dài hơn (vì tất cả những gì bạn có thể làm là chuyển mẫu cho FFT), bạn đang áp dụng một cửa sổ. Cửa sổ hình chữ nhật.$N$$N$

Cửa sổ là phép nhân trong miền thời gian. Phép nhân trong miền thời gian tương ứng với tích chập trong miền tần số. Các thùy bên mà bạn nhìn thấy là kết quả của việc biến đổi Fourier Transform của chức năng cửa sổ với đường quang phổ duy nhất sẽ là Biến đổi Fourier của hình sin.

Các vectơ cơ sở của một DFT đều là số nguyên chính xác theo chu kỳ trong chiều rộng khẩu độ DFT. Nếu tín hiệu của bạn không chính xác là số nguyên định kỳ trong độ dài cố định của bạn, thì tín hiệu đó không thể được biểu diễn chính xác và hoàn toàn bởi bất kỳ tần số nào của vectơ cơ sở DFT. Nếu tín hiệu của bạn giống hình sin, thì nó thường được biểu thị bằng một thùng tần số kết quả DFT duy nhất (cộng với hình ảnh phản chiếu liên hợp phức tạp của nó cho đầu vào thực sự nghiêm ngặt), nhưng vì nó có thể không khớp chính xác về tần số, còn lại, không năng lượng tương ứng phải được biểu diễn ở đâu đó để kết quả DFT thể hiện hoàn toàn tín hiệu. Năng lượng còn lại đó đi vào thùy bên.

Nếu bạn trừ đi sự phù hợp tốt nhất nhưng chính xác là hình sin tuần hoàn từ tín hiệu của bạn, sự khác biệt (có thể trông giống như một hình tam giác xoắn mỏng hoặc thắt nơ, hãy thử nó) là những gì được biểu thị hoặc phân tách bởi các thùy bên.

Hình dạng của các thùy bên là một hạt nhân (hay chính xác hơn là hạt nhân định kỳ hoặc hạt nhân Dirichlet), vì đó là biến đổi của cửa sổ hình chữ nhật bạn nhận được trên bất kỳ tín hiệu độ dài hữu hạn nào.

Tôi đang rất chậm dạy bản thân DSP và đã suy nghĩ thông qua các câu hỏi tương tự. Tôi hy vọng một lời giải thích rất đơn giản sẽ hữu ích cho bạn là:

Mỗi thùng FFT đại diện chính xác một tần số cụ thể. Vì vậy, để biểu thị tần số không tương ứng với tần số chính xác của thùng có nghĩa là nó phải nằm giữa hai thùng, nghĩa là nó sẽ bị lem qua hai thùng.

Khi bạn nghĩ về thực tế, một FFT chỉ có thể được áp dụng cho một phần của tín hiệu thì thường có sự gián đoạn ở mỗi đầu của một phần tín hiệu mà bạn áp dụng FFT. Điều này khó giải thích một cách đơn giản, nhưng tôi đoán bạn có thể nghĩ về nó khi buộc các nhà toán học phải đưa ra một tấn sóng hình sin bổ sung để mô hình hóa sự gián đoạn và bạn làm ô nhiễm nhiều thùng hơn (câu trả lời này, phần tiếp theo về cửa sổ là một bên ), vì vậy để giảm thiểu điều này, một cửa sổ được sử dụng để làm dịu sự gián đoạn ở mỗi đầu nhưng ở phần mở rộng của việc thay đổi tín hiệu.

Khi tôi nói tần số tôi có nghĩa là sóng hình sin của một tần số nhất định, vì vậy phân tích Fourier giả định rằng bạn đang nghĩ về tín hiệu của mình dưới dạng tổng của sóng hình sin.