Đệm không miền tần số - điều trị đặc biệt của X [N / 2]

Giả sử chúng ta muốn nội suy một tín hiệu định kỳ với số lượng mẫu chẵn (ví dụ N = 8) bằng cách đệm không trong miền tần số.

Hãy để DFT X=[A,B,C,D,E,F,G,H]
Bây giờ hãy đệm nó lên 16 mẫu để cung cấp Y. Mỗi ví dụ trong sách giáo khoa và hướng dẫn trực tuyến tôi đã thấy chèn số không khi đưa ra . (Sau đó là tín hiệu nội suy.)[Y₄...Y₁₁]
Y=[2A,2B,2C,2D,0,0,0,0,0,0,0,0,2E,2F,2G,2H]
y = idft(Y)

Tại sao không sử dụng thay thế Y=[2A,2B,2C,2D,E,0,0,0,0,0,0,0,E,2F,2G,2H]?

Theo như tôi có thể nói (kiến thức toán học của tôi còn hạn chế):

Nó giảm thiểu tổng công suất
Nó đảm bảo rằng nếu xcó giá trị thực thì cũng vậyy
yvẫn giao nhau xtại tất cả các điểm mẫu, theo yêu cầu (tôi nghĩ điều này đúng với mọi pnơi Y=[2A,2B,2C,2D,pE,0,0,0,0,0,0,0,(2-p)E,2F,2G,2H])

Vậy tại sao nó không bao giờ được thực hiện theo cách này?

Chỉnh sửa : xkhông nhất thiết là giá trị thực hoặc giới hạn băng tần.

dft interpolation zero-padding

— vây
nguồn

Bạn viết "Mỗi ví dụ trong sách giáo khoa và hướng dẫn trực tuyến tôi đã thấy chèn số không tại ...", bạn có thể cập nhật bài đăng của mình với một số tài liệu tham khảo không? Chỉ tò mò vì bạn cũng viết rằng x không nhất thiết phải có giá trị thực và công trình đầu tiên bạn đề cập không (nói chung) tạo ra kết quả thực bằng DFT nghịch đảo.

— niaren

@niaren đây là một ví dụ: dspguru.com/dsp/howtos/ từ

— finnw

Điều đáng chú ý là để có giá trị thực, thì bạn cần phải để (tức là khi bạn nhân đôi E cho một nửa "tần số âm" của vectơ miền tần số, bạn cần phải liên hợp nó. Các tín hiệu có trong miền thời gian có các DFT đối xứng liên hợp.

y

$y$

Y = [2 A, 2 B, 2 C, 2 D, E, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, E^{*}, 2 F, 2 G, 2 H]

$Y=[2A,2B,2C,2D,E,0,0,0,0,0,0,0,E^*,2F,2G,2H]$

— Jason R

@Jason R, nếu tín hiệu đầu vào có giá trị thực thì E cũng vậy [2A, 2B, 2C, 2D, E, 0,0,0,0,0,0,0, E, 2F, 2G, 2H] thỏa mãn điều kiện này Nếu đầu vào không có giá trị thực thì không cần thiết phải buộc đầu ra phải có giá trị thực.

— Finnw

Bạn nói đúng. Đó là những gì tôi nhận được khi viết bình luận quá muộn vào buổi tối.

— Jason R

Câu trả lời:

Hãy xem xét tần suất của các thùng trong DFT 8 điểm của bạn:

\begin{matrix} ω_{A} = 0, \\ ω_{B} = π / 4, \\ ω_{C} = π / 2, \\ ω_{D} = 3 π / 4, \\ ω_{E} = π = - π (m o d 2 π), \\ ω_{F} = 5 π / 4 = - 3 π / 4 (m o d 2 π), \\ ω_{G} = 3 π / 2 = - π / 2 (m o d 2 π), \\ ω_{H} = 7 π / 4 = - π / 4 (m o d 2 π) \end{matrix}

$\begin{array}{c} \omega_A = 0,\\ \omega_B = \pi/4,\\ \omega_C = \pi/2,\\ \omega_D = 3\pi/4,\\ \omega_E = \pi = -\pi\ ({\tt mod}\ 2\pi),\\ \omega_F = 5\pi/4 = -3\pi/4\ ({\tt mod}\ 2\pi),\\ \omega_G = 3\pi/2 = -\pi/2\ ({\tt mod}\ 2\pi), \\ \omega_H = 7\pi/4 = -\pi/4\ ({\tt mod}\ 2\pi) \end{array}$ Vì vậy, khi bạn nội suy theo hệ số 2, tần số của điểm sẽ trở thành hoặc .

E

$E$

- π

$-\pi$

+ π

$+ \pi$

Thoạt nhìn, tôi không thể thấy vấn đề của cách tiếp cận của bạn là gì vì không rõ liệu nên được đưa vào thùng liên quan đến hay . $E$ $\pi$ $-\pi$

Trên trang của Julius O. Smith III , ông nêu một điều kiện:

Hơn nữa, chúng tôi yêu cầu khi chẵn, trong khi lẻ không yêu cầu hạn chế như vậy. $x(N/2) = x(-N/2) = 0$ $N$

Và ví dụ của anh ta là có một chữ lẻ , tránh được vấn đề. $N$

Không chắc chắn là bắt buộc, nhưng đây là tài liệu tham khảo đầy đủ về công việc của Julius:

Smith, JO Toán học của Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) với Ứng dụng âm thanh, Ấn bản thứ hai, http://ccrma.stanford.edu/~jos/mdft/ , 2007, sách trực tuyến, truy cập ngày 28 tháng 9 năm 2011.

— Peter K.
nguồn

Có nhiều cách để nội suy dữ liệu. Nội suy trong tâm trí tôi có nghĩa là bạn 'vẽ' các đường giữa một số điểm dữ liệu. Điều này có thể được thực hiện bằng nhiều cách. Một loại nội suy hữu ích trong DSP (đặc biệt là DSP đa biến) là 'Nội suy theo dải'. Nếu bạn google rằng bạn sẽ nhận được nhiều lượt truy cập thú vị và hữu ích. Những gì bạn đề xuất không phải là nội suy bandlrict. Trong 'upampling' x của bạn, bạn có các thành phần tần số không có trong x gốc.

Chỉnh sửa (quá dài để phù hợp với một nhận xét):

Có một sự khác biệt khá đáng kể giữa công trình của bạn, bắt đầu bằng và ví dụ trong tài liệu tham khảo bạn cung cấp. $X=[A,B,C,D,E,F,G,H]$

Xem xét đầu vào thực sự

$X=[A,B,C,D,E,D^*,C^*,B^*]$

Upsampling theo hệ số 2 cho đầu vào fullband. Trong trường hợp này, việc lấy mẫu có thể được thực hiện bằng cách đặt các số 0 đầu tiên vào xen kẽ đầu vào (đó là Kết quả là tín hiệu có phổ tần số chứa phiên bản nén của phổ tần số x ( trong phạm vi ) và hình ảnh mở rộng từ (chỉ xem xét trục tần số dương). Nếu x2 là phiên bản được ghép lại $x_0,0,x_1,0,...$ $0-\pi/2$ $\pi/2 - \pi$

$X2=[A,B,C,D,E,D^*,C^*,B^*,A,B,C,D,E,D^*,C^*,B^*]$

Trong trường hợp lý tưởng, cần có bộ lọc tường gạch lý tưởng với tần số cắt để xóa hình ảnh. Đó là (đối với đầu vào vô hạn) $\pi/2$

$y_n = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x2_k sinc(0.5n - k)$

Trong thực tế mặc dù sẽ có một số biến dạng vì bộ lọc tường gạch không thực tế. Bộ lọc thực tế có thể triệt tiêu / loại bỏ tần số trong đầu vào hoặc nó có thể để lại một số thành phần tần số trong hình ảnh trong tín hiệu được ghép. Hoặc bộ lọc có thể làm cho một sự thỏa hiệp giữa hai. Tôi nghĩ rằng việc xây dựng miền tần số của bạn cũng phản ánh sự thỏa hiệp này. Hai ví dụ này, đại diện cho hai lựa chọn khác nhau:

$Y=[A,B,C,D,E,0,0,0,0,0,0,0,E^*,D^*,C^*,B^*]$

$Y=[A,B,C,D,0,0,0,0,0,0,0,0,0,D^*,C^*,B^*]$

Nếu đầu vào được giới hạn dưới tần số nyquist như trong tài liệu tham khảo của bạn thì vấn đề này sẽ biến mất.

$\rho$

$Y=[A,B,C,D,\rho,0,0,0,0,0,0,0,\rho^*,D^*,C^*,B^*]$

— niaren
nguồn

x

$x$

@leftaroundabout x ban đầu được phân chia theo dải (trong ví dụ này với tần số Nyquist). OP muốn upample x theo hệ số 2 (giải thích của tôi). Một cách để upample x là chèn các số 0 trong đáp ứng tần số như được hiển thị bởi OP (ví dụ không có E, một ví dụ được hiển thị trong sách văn bản DSP) và thực hiện FFT ngược. Tôi tin điều tương tự có thể đã đạt được bằng cách chèn các số 0 (xen kẽ) vào bộ lọc x và (low-pass) bằng một chân thành. Bằng cách chèn E như được hiển thị bởi OP, x được ghép lại không được giới hạn theo tần số Nyquist ban đầu. Điều này thường không mong muốn (nó là biến dạng). Bạn có đồng ý không?

— niaren

E

$E$

\frac{π}{2} \sim \frac{- π}{2}

$\frac\pi2\sim\frac{-\pi}2$

Tôi giả sử tần số ± N / 2 có trong x. Nếu không phải (do băng bó hay nói cách khác) thì dù sao E cũng sẽ là 0 nên sẽ không có sự khác biệt giữa đệm với E (hoặc 2E) và đệm với 0.

— finnw

Tín hiệu được giới hạn băng tần vẫn có thể có nội dung trong bin N / 2 do "rò rỉ quang phổ" từ bất kỳ nội dung phổ không định kỳ trong DFT-khẩu độ, đặc biệt là gần (nhưng không phải tại) Fs / 2.

— hotpaw2