Theo định lý lấy mẫu Shannon, mọi tín hiệu thời gian liên tục có băng thông nhỏ hơn tần số Nyquist (với tần số lấy mẫu), được lấy mẫu ở tần số lấy mẫu có thể được tái tạo hoàn hảo bằng phép nội suy chân (nghĩa là công thức nội suy Whittaker của Shannon).$B$$f_N=f_s/2$$f_s$$f_s$

Giả sử chúng ta lấy mẫu một tín hiệu thời gian không xác định, giới hạn về cường độ, liên tục với thời gian lấy mẫu không đổi tại các trường hợp mẫu , ( ), mà không lấy mẫu jitter hoặc lượng tử hóa. Chúng tôi thêm ràng buộc rằng , với .$T=1/f_s$$kT$$k\in\mathbb{Z}$$B=\alpha f_N$$0\leq\alpha\leq 1$

Những gì tôi muốn tìm ra là như sau: Tại mẫu ngay lập tức , tôi muốn xác định cho mỗi một trường hợp xấu nhất 'vượt quá' bất kỳ tín hiệu thời gian liên tục nào giữa các mẫu và , mà tôi có thể có. Tức là tín hiệu thời gian liên tục cao hơn bao nhiêu so với các giá trị được lấy mẫu cao nhất (tuyệt đối) tại các mẫu thử và . Tín hiệu liên tục hoặc tái cấu trúc (vì phép nội suy chân thực là hoàn hảo !!), mà chúng ta đã 'bỏ lỡ' bằng cách lấy mẫu.$k$$\alpha$$k-1$$k$$k$$k-1$

Ví dụ: Chúng tôi đặt và giả sử tín hiệu thời gian rời rạc [1,0,1,0,1,1,0,1,0,1] (chú ý gấp đôi 1 ở gần giữa và tín hiệu này thậm chí có ?). Sự tái cấu trúc chân thành của nó (đường màu xanh) từ các mẫu (xung màu đen) trông như sau (Tôi đã vẽ các hình sin thuộc từng mẫu màu xám): 'vượt quá' giữa các mẫu và , là hoặc$\alpha=1$$\alpha=1$$k=0$$k=1$$\approx 0.7$$70\%$. Vì vậy, chúng tôi đã bỏ lỡ một đỉnh của giá trị 1.7 trong thời gian liên tục giới hạn băng tần ban đầu của chúng tôi hoặc tín hiệu 'được giới hạn hoàn toàn băng tần'. Nếu tôi đặt 3 hoặc nhiều hơn 1 liên tiếp thì phần vượt quá sẽ ít hơn (hiện tượng Gibbs cuối cùng nhỏ hơn nhiều). Do đó, 2 mẫu liên tục như thế này là 'trường hợp xấu nhất'.

Việc mở rộng tín hiệu theo cả hai hướng sẽ làm cho độ vọt lố tăng lên: Điều này cho thấy độ vọt quá mức tương đối của đến giá trị gần như 2.1.$\approx 1.1$

Đối với bất kỳ chuỗi dài , 'phần vượt quá' này sẽ phát triển vô hạn, , chuyển sang khi . Điều này là do mỗi mẫu hình sin sẽ tạo ra 'giao thoa' mang tính xây dựng và tổng (đóng góp của tất cả các phong bì của đơn vị chân thành) cho không hội tụ.$2m$$o(m)$$o(m)\propto\ln{(m)}$$\infty$$m\to\infty$$1/\pi n$$n\to\infty$

Điều này (tôi nghĩ) mô phỏng như sau: nếu liên tục lấy mẫu một giá trị 0, tôi cũng có thể tái tạo tín hiệu thời gian liên tục với biên độ vô hạn chỉ được lấy mẫu trong các nút ở các giá trị 0, ví dụ . Điều này cho tôi biết điều tương tự: rằng nếu tôi cho phép tín hiệu ở tần số Nyquist thì độ vọt lố tồi tệ nhất tôi có thể 'bỏ lỡ' là vô hạn.$\sin{\pi f_s t}$

Bây giờ chúng ta có thể nói rằng . Và chúng ta có thể lý do rằng (lấy mẫu tín hiệu không đổi mà bạn biết rằng nó bị giới hạn băng tần có cấu trúc lại hằng số duy nhất).$o(m\to\infty)|_{\alpha=1}=\infty$$o(m\to\infty)|_{\alpha=0}=0$

Nếu thì sao?$\alpha<1$

Nếu bây giờ chúng ta giả sử chúng ta thực hiện phép nội suy tương tự này, nhưng biết chắc chắn , như . Sau đó, (cảm giác ruột của tôi nói) hiệu ứng này sẽ giảm và thậm chí sẽ vẫn hữu hạn (khi )!. Vì đối với bất kỳ tường gạch tín hiệu nào bị giới hạn ở băng thông , chúng tôi nhận được phản hồi xung của bộ lọc của (phải không?). Do đó, quá trình chuyển đổi tín hiệu không thể nhanh như ví dụ về sự thay đổi xung lực ở trên và do đó đóng góp của từng chức năng chân trong quá trình tái tạo không thể tạo ra nhiễu giao thoa vô hạn.$\alpha<1$$\alpha=0.5$$m\to \infty$$\alpha f_s/2$$h(t)\propto \text{sinc}{\left(\frac{t-kT}{\alpha T}\right)}$

Vấn đề của tôi: Tôi không biết làm thế nào để tiến hành từ đây; làm thế nào để hình thành một 'bằng chứng' về trường hợp vượt mức tồi tệ nhất mà tôi có thể tìm thấy giữa 2 mẫu liên tiếp, biết rằng , cho tín hiệu (không nhất thiết phải là các ví dụ đơn vị giống như tàu hỏa). Một giá trị đã cho cho mang lại cho tôi độ dốc của hạt nhân tích chập giới hạn băng tần , sẽ cho tôi biết điều gì đó về số lượng mẫu liên tiếp cần khác nhau, nhưng tôi không thấy các bước cần thực hiện từ đó để đi đến bất kỳ kết luận chung nào.$\alpha<1$$any$$\alpha$$\frac{dh(t)}{dt}$$h(t)$

Tôi không có câu trả lời thực sự nhưng tôi có cảm giác rằng kết quả này sẽ giúp bạn hiểu: Bất đẳng thức của Bernstein nói rằng, nếu tín hiệu được giới hạn thành , thì trong đó là viết tắt của "giới hạn trên thấp nhất".$x(t)$$|f|\leq B$

$$\left| \frac{\textrm{d}x(t)}{\textrm{d}t}\right|\leq 4\pi B \,\textrm{sup}_{\tau\in\mathbb{R}}|x(\tau)| ,\,\,t\in\mathbb{R}$$ $\textrm{sup}$

Tôi đã tìm thấy sự bất bình đẳng này trong cuốn sách xuất sắc của Amos Lapidoth (và miễn phí ở định dạng PDF) "Một nền tảng trong truyền thông kỹ thuật số". Một bằng chứng có thể được tìm thấy trong MA Pinsky, "Giới thiệu về Phân tích Fourier và Wavelets".

Quan sát

Tôi đã sử dụng +1 và -1 trong chuỗi thay vì 1 và 0. Với $\alpha=1$, chức năng liên tục giới hạn băng tần $f_m(T)$ trong hai hình đầu tiên của bạn (với sửa đổi được đề cập ở trên) là:

$$f_m(T) = \sum_{k=1-m}^m \operatorname{sign}\left(\operatorname{sinc}(\pi k - \pi/2)\right)\operatorname{sinc}(\pi T-\pi k),\tag{1}$$

Ở đâu:

$$\operatorname{sinc}(T) = \begin{cases}\sin(T)/T&\text{if }T \ne 0\\1&\text{if }T = 0\end{cases}\\ \operatorname{sign}(x) = \begin{cases}-1&\text{if }x < 0\\0&\text{if }x = 0\\1&\text{if }x>0.\end{cases}$$

$f_m(1/2)$ phát triển tuyến tính đến logarit của $m$:

Hình 1. $f_m(1/2)$ vẽ như là chức năng của $\log_2(m)$ Trục ngang logarit tuyến tính hóa sự tăng trưởng như $m\rightarrow\infty$.

Chúng ta có thể đơn giản hóa $f_m(1/2)$với sự giúp đỡ từ Wolfram Alpha :

$$f_m(1/2) = 2\sum_{k=1}^m\left|\frac{\sin\left(\pi(k - 0.5)\right)}{\pi(k - 0.5)}\right| = \begin{cases} 4/\pi & \text{if }n = 1\\ -\frac{2\left(\psi^{(0)}(1/2)-\psi^{(0)}(m+1/2)\right)}{\pi} & \text{otherwise}, \end{cases}\tag{2}$$

Ở đâu $\psi^{(0)}$là hàm digamma . Thuật ngữ chi phối của loạt $(2)$ trong khoảng $m=\infty$ Là:

$$\frac{2\log(m)}{\pi},$$

giải thích sự tuyến tính hóa được thấy trong hình 1. Bây giờ chúng ta có thể xây dựng một phiên bản chuẩn hóa $g_m(T)$ của chức năng $f_m(T)$ kế thừa tính giới hạn băng thông của nó nhưng không nổ tung như $m\rightarrow\infty$:

$$g_m(T) = \frac{\pi f_m(T)}{2\log(m)}$$

Như $m\rightarrow\infty$, $g_m(T)$ dường như tiếp cận một hình sin tần số Nyquist được lấy mẫu ở các số không của nó:

Hình 2. $g_{100000}(T)$ không nổ tung

Định lý lấy mẫu Nyquist thùng Shannon ban đầu yêu cầu tần số cao nhất thấp hơn một nửa tần số lấy mẫu, vì vậy chúng ta dường như có trường hợp đường biên không được bao phủ bởi nó. Tùy ý lớn hữu hạn$m$ và do đó tùy ý lớn hữu hạn $f_m(1/2)$ vẫn được bảo hiểm mặc dù.

Bằng chứng phác thảo

Dưới đây là một phác thảo cho một bằng chứng về tuyên bố ban đầu của bạn: Hãy để thời gian lấy mẫu là 1. Hãy để $f_\infty(T)$ được giới hạn ở tần số dưới $\alpha\pi$, Ở đâu $\pi$ đại diện cho một tần số với khoảng thời gian là 2 và $\alpha < 1$. Để cho$f_\infty(T)$ là hữu hạn cho tất cả các số nguyên $T$. Loại trừ trường hợp tầm thường$f_\infty(T) = 0$ cho tất cả $T$. Để cho$g_\infty(T) = f_\infty(T)/\sup_Tf_\infty(T)$. Nó theo đó$g_\infty(T) \ne 0$ cho một số $T$. Hoặc:

Trường hợp 1. $g_\infty(T) \ne 0$ cho một số nguyên $T$. $\sup_Tf_\infty(T)$ là hữu hạn cho tất cả $T$.

Trường hợp 2. $g_\infty(T) = 0$ cho tất cả các số nguyên $T$. $\sup_Tf_\infty(T)$ là vô hạn đối với một số $T$. Lên đến một yếu tố quy mô,$g_\infty(T)$ được xác định bởi một phần $\alpha$số không của nó. Sử dụng thêm một số không còn lại để làm cho hàm biến mất:$g_\infty(T) = 0$ cho tất cả $T$. Đây là một mâu thuẫn, bởi vì trước đó chúng tôi đã xác định rằng$g_\infty(T) \ne 0$ cho một số $T$. Trường hợp 2 không thể đúng.

Theo trường hợp 1 là đúng và $f_\infty(T)$ là hữu hạn cho tất cả $T$.

Sẽ thật tuyệt khi tìm thấy một bằng chứng xác định rằng một phần của các số 0 được phân phối đồng đều có thể được sử dụng để tái tạo lại hàm do băng thông tương đối thấp so với mật độ trung bình của các số 0 đó. Tôi cho rằng nếu$\alpha < 1$, định lý lấy mẫu đủ để thực hiện $g_\infty(T)$tan biến. Trong tài liệu, tôi đã tìm thấy một số tuyên bố quan tâm:

Bằng chứng của phần 2 của Định lý 4.1 cho thấy tín hiệu giới hạn băng tần với $Ω = π$ với tính chất mà tín hiệu biến mất tại các điểm $x = n ∈ \mathbb{Z}$ phải biến mất giống hệt nhau.

Jeffrey Rauch, " Chuỗi Fourier, Tích phân và, Lấy mẫu từ Phân tích phức tạp cơ bản ".

Nó được biết đến rằng $g$ có thể không có nhiều số không, nói đại khái, hơn cos $\lambda t$ mà không biến mất giống hệt nhau.

BF Logan, Jr. " Thông tin trong các tín hiệu băng qua đường không ", Tạp chí kỹ thuật hệ thống Bell, tập. 56, trang 487-510, tháng 4 năm 1977

Hầu hết các kết quả về đặc điểm kỹ thuật duy nhất của tín hiệu một chiều dựa trên thực tế là hàm phân tách toàn bộ (phân tích ở mọi nơi) và do đó được chỉ định duy nhất bởi các số 0 (thực và phức) của nó trong một hằng số và hệ số mũ. Một hàm giới hạn băng thông tùy ý được chỉ định duy nhất bởi các giao điểm 0 (thực) của nó nếu tất cả các số 0 của nó được đảm bảo là có thực.
...
Công việc bổ sung có liên quan đến việc xác định các tín hiệu được chỉ định duy nhất bởi các giao điểm 0 (thực) của chúng mặc dù thực tế là chúng cũng chứa các số không phức tạp. Điều này có thể xảy ra nếu tốc độ vượt 0 ở một số ý nghĩa cao hơn tốc độ thông tin hoặc băng thông của tín hiệu.

SR Curtis, " Tái thiết các tín hiệu đa chiều từ giao điểm 0 ", luận án, MIT, 1985.

Hãy xem xét chức năng giới hạn băng tần $\operatorname{sinc}(t)$ với biến đổi Fourier $\operatorname{rect}(f)$ có thể được phục hồi hoàn hảo (kể từ khi nội suy!) từ các mẫu của nó cách nhau $1$cách nhau thứ hai mặc dù các mẫu chỉ bao gồm đỉnh trung tâm và bỏ lỡ tất cả các cực đại và cực tiểu cục bộ khác của hàm chân. Trì hoãn chức năng chân thành bằng cách$\frac 12$ thứ hai để bộ lấy mẫu hoàn toàn bỏ lỡ đỉnh trung tâm mà thay vào đó lấy các mẫu liền kề với các giá trị giống hệt nhau

$$\operatorname{sinc}\left(\frac 12\right) = \frac{\sin\pi/2}{\pi/2} = \frac 2\pi.$$ Do đó, phần vượt quá mức tối đa là $1 - \frac 2\pi$. Tôi không có bằng chứng nhưng tôi nghi ngờ rằng điều này sẽ trở thành sự lấn lướt tối đa cho vụ án$\alpha = 1$. Giá trị nhỏ hơn của$\alpha$ sẽ cho các mẫu gần với giá trị cực đại của $1$ và phần vượt quá sẽ tương ứng nhỏ hơn.