Làm thế nào trình tự đầu ra có thể bằng tổng số bản sao của đáp ứng xung, tín hiệu thay đổi theo tỷ lệ và thay đổi theo thời gian?

Tôi xin lỗi, đây là một câu hỏi rất cơ bản. Nhưng tôi đang có thời gian khó hiểu là làm thế nào nó có thể.

Tôi biết đáp ứng xung là đầu ra của hệ thống khi chuỗi xung được đưa ra làm đầu vào với các điều kiện ban đầu được đặt thành 0.

Chia tỷ lệ là để tăng biên độ của tín hiệu, tức là nếu tôi nhân đầu vào với 2, đầu ra cũng sẽ được nhân với 2.

Tín hiệu thay đổi thời gian là nếu tôi trì hoãn đầu vào thì đầu ra cũng bị trì hoãn bởi cùng một yếu tố.

Bây giờ ai đó có thể vui lòng minh họa điều này bằng một ví dụ về cách bất kỳ chuỗi nào có thể được phân tách thành tổng số bản sao của đáp ứng xung, tín hiệu được thu nhỏ và thay đổi theo thời gian?

Cảm ơn rất nhiều trước.

Một cách giải thích câu hỏi của bạn có thể như sau:

Cho rằng một hệ thống có hai thuộc tính sau:

1. thuộc tính tỷ lệ hoặc đồng nhất mà nếu đáp ứng cho đầu vào là đầu ra , thì với bất kỳ lựa chọn nào của , phản ứng của hệ thống đối với đầu vào được chia tỷ lệ là đầu ra được chia tỷ lệ ,$x(t)$$y(t)$$\alpha$$\alpha\cdot x(t)$$\alpha\cdot y(t)$

2. thuộc tính bất biến theo thời gian cho tất cả các lựa chọn của , phản hồi cho đầu vào bị trễ thời gian là đầu ra bị trễ thời gian ,$\tau$$x(t-\tau)$$y(t-\tau)$

vậy thì tại sao hệ thống có thuộc tính phụ thuộc hoặc chồng chất mà đáp ứng với đầu vào là trong đó hệ thống phản hồi với là , ???? Nói chung, tại sao phản ứng của hệ thống đối với đầu vào được cung cấp bởi ?$x_1(t)+x_2(t)$$y_1(t) + y_2(t)$$x_i(t)$$y_i(t)$$i = 1,2~$$~~~~~~~~~~~$$\alpha\cdot x_1(t-\tau_1) + \beta\cdot x_2(t-\tau_2)$$\alpha\cdot y_1(t-\tau_1) + \beta\cdot y_2(t-\tau_2)~$

Câu trả lời là một hệ thống có thuộc tính 1 và 2 không nhất thiết phải có thuộc tính phụ thuộc hoặc chồng chất. Nếu thuộc tính chồng chất cũng giữ, thì hệ thống được gọi là hệ bất biến thời gian tuyến tính. Nhưng đây là một giả định bổ sung mà bạn cần thực hiện (hoặc chứng minh).

Thông thường, tính đồng nhất và tính gây nghiện được kết hợp với nhau thành thuộc tính tuyến tính nói rằng phản hồi với đầu vào (nghĩa là kết hợp tuyến tính của đầu vào và ) là (nghĩa là, kết hợp tuyến tính giống nhau của đầu ra và ).$\alpha\cdot x_1(t)+\beta\cdot x_2(t)$$x_1(t)$$x_2(t)$$\alpha\cdot y_1(t) + \beta\cdot y_2(t)$$y_1(t)$$y_2(t)$

Một vài điểm cần được giấu vào trong tâm trí của một người:

• Một hệ thống có thể là tuyến tính mà không phải là bất biến thời gian (ví dụ: bộ điều biến hoặc bất biến thời gian mà không phải là tuyến tính (ví dụ: mạch luật vuông$x(t) \to x(t)\cos(\omega t)$$x(t) \to [x(t)]^2$

• Một hệ thống phụ gia tạo ra đầu ra để đáp ứng với đầu vào và do đó dường như không có thuộc tính tỷ lệ có tính chất tỉ lệ. Tự thuyết phục bản thân rằng điều này là đúng bằng cách cố gắng chứng minh rằng phản hồi cho là . Nói tóm lại, nhân rộng và tính gây nghiện là hai thuộc tính khác nhau và một hệ thống thích một trong số chúng không nhất thiết phải thích cái kia.$y(t) + y(t) = 2y(t)$$x(t) + x(t) = 2x(t)$$0.5x(t)$$0.5y(t)$

---

---

Giải thích thứ hai cho câu hỏi của bạn có thể như sau:

Đối với hệ thống bất biến thời gian tuyến tính, đầu ra được cho là tổng của các phiên bản thu nhỏ và trễ thời gian của đáp ứng xung, nhưng tôi không thấy điều này là như thế nào. Ví dụ: kết quả tích chập tiêu chuẩn (đối với các hệ thống thời gian rời rạc) cho biết trong đó là đáp ứng xung (hoặc đơn vị) của hệ thống. Nhưng điều này dường như hoàn toàn ngược vì phản ứng xung đang chạy ngược thời gian (như trong trong đối số của trong công thức trên so với trong đó thời gian đang chạy về phía trước.

$$y[n] = \sum_m x[m]h[n-m]$$ $h[\cdot]$$-m$$h$$x[m]$

Đây thực sự là một mối quan tâm chính đáng, nhưng thực sự công thức tích chập rất thành công trong việc che giấu kết quả rằng đầu ra là tổng của các phiên bản thu nhỏ và trễ thời gian của đáp ứng xung. Điều gì đang xảy ra là như sau.

Chúng tôi chia tín hiệu đầu vào thành tổng các tín hiệu xung đơn vị tỷ lệ. Phản hồi của hệ thống đối với tín hiệu xung đơn vị là đáp ứng xung hoặc đáp ứng xung và do đó, thuộc tính tỷ lệ , giá trị đầu vào đơn hoặc, nếu bạn thích tạo phản hồi $x$$\cdots, ~0, ~0, ~1, ~0, ~0, \cdots$

$$h[0], ~h[1], \cdots, ~h[n], \cdots$$ $x[0]$ $$x[0](\cdots, ~0, ~0, ~1, ~0,~ 0, \cdots) = \cdots ~0, ~0, ~x[0], ~0, ~0, \cdots$$ $$x[0]h[0], ~~x[0]h[1], \cdots, ~~x[0]h[n], \cdots$$

Tương tự, giá trị đầu vào đơn hoặc tạo tạo phản hồi Lưu ý độ trễ trong phản hồi với . Chúng ta có thể tiếp tục đi xa hơn, nhưng tốt nhất là chuyển sang dạng bảng hơn và hiển thị các đầu ra khác nhau được căn chỉnh đúng thời gian. Chúng ta có $x[1]$

$$x[1](\cdots, ~0, ~0, ~0, ~1,~ 0, \cdots) = \cdots ~0, ~0, ~0, ~x[1], ~0, \cdots$$ $$0, x[1]h[0], ~~x[1]h[1], \cdots, ~~x[1]h[n-1], x[1]h[n] \cdots$$ $x[1]$ $$\begin{array}{l|l|l|l|l|l|l|l} \text{time} \to & 0 &1 &2 & \cdots & n & n+1 & \cdots \\ \hline x[0] & x[0]h[0] &x[0]h[1] &x[0]h[2] & \cdots &x[0]h[n] & x[0]h[n+1] & \cdots\\ \hline x[1] & 0 & x[1]h[0] &x[1]h[1] & \cdots &x[1]h[n-1] & x[1]h[n] & \cdots\\ \hline x[2] & 0 & 0 &x[2]h[0] & \cdots &x[2]h[n-2] & x[2]h[n-1] & \cdots\\ \hline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \\ \hline x[m] & 0 &0 & 0 & \cdots & x[m]h[n-m] & x[m]h[n-m+1] & \cdots \\ \hline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{array}$$ \ ddots \ end {mảng} Các hàng trong mảng trên chính xác là các phiên bản được thu nhỏ và trễ của đáp ứng xung bổ sung cho đáp ứng với tín hiệu đầu vào . $y$$x$ Nhưng nếu bạn hỏi một câu hỏi cụ thể hơn như

Đầu ra tại thời điểm gì?$n$

sau đó bạn có thể nhận được câu trả lời bằng cách tính tổng cột thứ để có được công thức tích chập được yêu thích tạo ra các thế hệ học sinh vì đáp ứng xung dường như đang chạy ngược thời gian$n$

$$y[n] = x[0]h[n] + x[1]h[n-1] + x[2]h[n-2] + \cdots + x[m]h[n-m] + \cdots = \sum_{m=0}^{\infty} x[m]h[n-m],$$

Nếu chúng ta xem xét một tín hiệu riêng biệt, hãy nói

x [n] = {1,5,3}, có ba xung tại n = 0, 1 và 2 với biên độ 1, 5 và 3.

bây giờ, chúng ta có thể viết

x [n] = 1 * + 5 * + 5 *$\delta[n]$$\delta[n-1]$$\delta[n-2]$

hoặc chúng tôi khái quát nó,

x [n] =$\sum^{\infty}_{-\infty} x[k]\delta(n-k)$

Đối với hệ thống bất biến thời gian tuyến tính, chúng ta biết rằng,

đối với một đầu vào nhất định, x [n] = , một phản ứng của hệ thống là h [n], đầu ra = $x[m]\delta[n-m]$$y_m[n]$$x[m]h[n-m]$

Do đó, sử dụng tài sản giao hoán,

y [n] = =$\sum^{\infty}_{-\infty} y_k[n]$$\sum^{\infty}_{-\infty} x[k]h[n-k]$