Một ví dụ tốt của một quá trình ergodic là gì?

Tôi đang cố gắng tìm các ví dụ đơn giản về quy trình ergodic. Quá trình nào đến với tâm trí của bạn như là một minh họa tốt về các thuộc tính của nó?

Một nghiên cứu nhanh ( Wikipedia , một câu trả lời khác ) chủ yếu đưa ra các ví dụ về các quy trình phi ergodic. Ngoài ra, tôi đang tự hỏi những hiện tượng trong thế giới thực nào cho vay để được mô hình hóa như một quá trình ergodic?

Chỉ cần giả sử tôi cung cấp cho bạn một loạt các số và tôi nói với bạn rằng chúng được chọn ngẫu nhiên. Và bạn biết tôi không cố lừa dối bạn. Các số là: $3$ , $1$ , $4$ , $1$ , $5$ , $3$ , $2$ , $3$ , $4$ , $3$ .

Bây giờ tôi đề nghị bạn dự đoán kế tiếp, hoặc ít nhất, là càng gần càng tốt. Bạn sẽ chọn số nào?

[Suy nghĩ]

[Tính toán]

• Tôi cá là hầu hết các độc giả có khả năng chọn một số trong khoảng từ $0$ đến $6$ . Vì khoảng giới hạn.
• Có lẽ là một số nguyên. Ai có khả năng đề xuất $\pi$ (thậm chí nghĩ đến các chữ số đầu tiên)?
• Có thể là $2$ , $3$ hoặc $4$ . Thậm chí có thể $3$ .

Về cơ bản, bạn đang giả định rằng tôi đã cung cấp số với một số quy tắc chưa biết. Và có lẽ, bạn có thể nghĩ (hoặc đưa ra giả thuyết) rằng chuỗi số đã cho, nếu đủ dài, có thể cung cấp cho bạn sự hiểu biết tốt về các quy tắc mà tôi có trong đầu. Nếu bạn làm như vậy, bạn đưa ra giả thuyết rằng quá trình tinh thần của tôi là ergodic:

một quá trình trong đó mọi trình tự hoặc mẫu khá lớn đều đại diện như nhau cho toàn bộ (liên quan đến một tham số thống kê) ( Merriam-Webster )

Ở đây, không có cách nào để chắc chắn rằng loạt bài của tôi tuân theo một quy trình ergodic. 3432 là mã PIN thẻ của tôi, 3 lỗi (tôi dự định 6, nhưng tôi vụng về), 4, 3, 1 và 5 là những chữ số đầu tiên của số $\pi$ mà tôi sử dụng khá thường xuyên. "Số" tiếp theo của tôi sẽ là C (theo hệ thập lục phân). Tôi không tin rằng quá trình này là ergodic. Mỗi số xuất phát từ các luật khác nhau. Nhưng thành thật mà nói, tôi không biết. Có lẽ tôi phải chịu một số lực lượng cao hơn thúc đẩy tôi theo các quy tắc công thái học.

Vì vậy, tính linh hoạt là một giả thuyết về một loại "đơn giản" trong các quy tắc của một quy trình. Giống như văn phòng phẩm hoặc thưa thớt. Đúc một cái chết thường xuyên với $6$ khuôn mặt. Tung một đồng tiền bình thường. Nếu không có gì bên ngoài cố gắng ảnh hưởng đến kết quả (một sinh vật vô hình bắt chết và thể hiện một số mặt của sự lựa chọn của nó), bạn có khả năng tạo ra một quy trình ergodic.

Thay vì có thể ném vô số xu, với số lượng ngón tay cái vô hạn của bạn, chính xác là trong cùng một giây, bạn tung một đồng xu mỗi giây và tin rằng kết quả cuối cùng là như nhau.

Chuyển động Brown cũng sở hữu tính chất ergodic.

Từ bài viết trên wikipedia:

một quá trình ngẫu nhiên được gọi là ergodic nếu các thuộc tính thống kê của nó có thể được suy ra từ một mẫu ngẫu nhiên, đủ dài, ngẫu nhiên của quá trình.

Nói cách khác: các thuộc tính thống kê theo thời gian giống như các thuộc tính thống kê thực hiện.

Có lẽ chúng ta cần lùi lại một bước và nói về quá trình ngẫu nhiên là gì, để bắt đầu.

Hãy tưởng tượng đó là một ngày giông bão. Bạn ngồi ở nhà, và nhìn ra cửa sổ. Thỉnh thoảng, bạn thấy lá cây bị thổi bởi cửa sổ của bạn. Bạn lấy các điểm đánh dấu bảng trắng của mình và vẽ một hệ tọa độ lên cửa sổ của bạn, vì vậy bây giờ bạn có thể quan sát nhiều đường đi của lá và so sánh chúng:

Vì vậy, mỗi con đường là một nhận thức về quá trình ngẫu nhiên "lá trên một ngày giông bão".

$y$$x$

$x$$y$$x$

Thông thường khó hiểu hơn về trường hợp không phải là ergodic (đó là lý do tại sao mọi người tìm kiếm các ví dụ về các quy trình như vậy thường xuyên hơn).

$X(t)$$t$$X$$0$$1$$\frac{1}{2}$

$N$$m=\frac{X(1)+X(2)+\cdots}{N}$$m\to \frac{1}{2}$

Về phần thứ hai của câu hỏi của bạn, chúng tôi có thể sử dụng tính linh hoạt để đơn giản hóa các vấn đề. Ví dụ, giữa giá trị trung bình cộng và thời gian trung bình người ta có thể khó tính hoặc thậm chí không thể tính toán (hoặc mô phỏng). Nhưng vì chúng ta biết (hoặc giả sử) quá trình này là ergodic (tức là chúng giống hệt nhau), chúng ta chỉ cần tính toán một quy trình đơn giản hơn. Ví dụ, tôi có thể nghĩ về các phương thức Monte Carlo (chẳng hạn như các phương pháp chúng ta sử dụng để mô hình hiệu suất lỗi của hệ thống truyền thông) trong đó chúng ta mô phỏng chuỗi tiếp nhận truyền và lặp lại nhiều lần và trung bình các kết quả để tìm hiểu về thuộc tính tập hợp (như xác suất lỗi, vv).