Tại sao tích chập tròn được sử dụng trong DSP? Tại sao không tích chập tuyến tính?


8
  1. Tại sao chúng ta sử dụng tích chập tròn trong DSP?

  2. Lý do vững chắc chính cho việc sử dụng nó trong xử lý kỹ thuật số là gì?

  3. Tại sao khái niệm tích chập tuần hoàn đến thường xuyên hơn tích chập tuyến tính?


2
bạn sẽ nhận thấy rằng tất cả các câu trả lời của bạn bao gồm đề cập đến Biến đổi Fourier rời rạc được triển khai hiệu quả nhất với FFT. DFT vốn đã định kỳ mở rộng các chuỗi có độ dài hữu hạn được truyền cho nó (là hình tròn). tích chập tuần hoàn hiếm khi là mục tiêu . thường tích chập tuyến tính là mục tiêu. nhưng khi nhân và của DFT với nhau, điều đó tương ứng với tích chập tuần hoàn của hai chuỗi mở rộng định kỳ, và được truyền cho các DFT. vấn đề là bằng cách nào đó biến điều này thành tích chập tuyến tính. X[k]H[k]x[n]h[n]
robert bristow-johnson

Câu trả lời:


8

Với một hệ thống LTI thời gian riêng biệt với đáp ứng xung , người ta có thể tính toán phản ứng của nó với bất kỳ đầu vào bằng tổng tích chập :h[n]x[n]

(1)y[n]=x[n]h[n]=k=h[k]x[nk]

Không có bất cứ điều gì được nêu thêm, định nghĩa trên là cho tích chập tuyến tính (tích chập tuần hoàn) giữa và , là một chuỗi thời gian rời rạc có chu kỳ có thể có độ dài vô hạn, trừ khi có quy định khác. Điều này khác với tích chập tuần hoàn nằm giữa hai chuỗi định kỳ của giai đoạn và được tính trong một khoảng thời gian duy nhất.h[n]x[n]N

Bạn có thể tính tích chập tuyến tính trong miền thời gian theo Eq.1 hoặc trong miền tần số bằng cách sử dụng thuộc tính DTFT (biến đổi Fourier thời gian rời rạc) sau:

(2)y[n]=x[n]h[n]Y(ejω)=X(ejω)H(ejω)

DTFT tự nhiên liên quan đến tích chập tuyến tính, vì nó liên quan đến các chuỗi tuần hoàn hiện có trên lý thuyết có thể kéo dài từ đến được phản ánh trong các giới hạn của tổng xác định:

(3)X(ejω)=n=x[n]ejωn

Khi bạn muốn thực hiện tính toán bằng tay, sử dụng biểu thức tượng trưng cho tín hiệu, chẳng hạn như và , bạn có thể tính kết quả theo thời gian hoặc miền tần số như đã nêu ở trên. x[n]=anu[n]h[n]=bnu[n]

Ngoài ra, khi bạn muốn tính kết quả tương tự bằng cách sử dụng máy tính, bạn có thể sử dụng phương pháp miền thời gian dựa trên đệ quy LCCDE (đối với hệ thống IIR) hoặc tổng tích chập hữu hạn trực tiếp (đối với hệ thống FIR), NHƯNG cách tiếp cận miền tần số đã thắng ' t làm việc với DTFT; vì nó chủ yếu là một công cụ được sử dụng để phát triển toán học về lý thuyết tín hiệu & hệ thống và nó không phù hợp để triển khai máy tính kỹ thuật số, vì biến của nó là một con số liên tục thực sự .ω

Thay vào đó, DFT (biến đổi Fourier rời rạc) được định nghĩa là

(4)X[k]=X(ejω)|ω=2πkN

trong đó và là độ dài của DFT, sau đó được gọi là DFT điểm N của tín hiệu .k=0,1,...,N1Nx[n]

Eq.4 ngụ ý rằng chuỗi DFT được lấy làm mẫu thống nhất của DTFT , là một hàm tuần hoàn, do đó DFT cũng là định kỳ nhưng chúng tôi chỉ xem xét khoảng thời gian đầu tiên của nó từ đến .X[k]X(ejω)X[k]k=0N1

Kể từ chuỗi DFT là vốn định kỳ, sau đó họ nhiều nếp cuộn cũng sẽ định kỳ (tròn). Do đó, trong khi tích chập tuyến tính giữa các tín hiệu định kỳ và được ngụ ý bởi biểu thức I-DTFT thay vào đó là một phép chập vòng tròn giữa hai chuỗi tuần hoàn được ngụ ý bởi biểu thức I-DFTx[n]y[n]

y[n]=IDTFT{X(ejω)H(ejω)}
y~[n]=IDFT{X[k]H[k]}

Vì vậy, cho rằng chúng ta muốn tính toán một chập tuyến tính giữa hai dãy không tuần hoàn và có độ dài và tương ứng, sử dụng tần số miền của họ DFTs điểm, và , chúng ta thực sự phải tính toán một chập tròn giữa các phần mở rộng định kỳ của các tín hiệu và của thời kỳ .x[n]h[n]LxLhNX[k]H[k]x~[n]h~[n]N

Chìa khóa nằm ở việc chọn độ dài thích hợp của các DFT, phải đủ dài để tránh mọi bí danh miền thời gian của chuỗi , được trả về bởi tính toán IDFT:Ny~[n]

(5)y~[n]=r=y[nrN]

Trong đó là kết quả của tích chập tuyến tính sẽ được trả về bởi DTFT nghịch đảo lý thuyết và là kết quả định kỳ của tích chập (tuần hoàn) định kỳ được ngụ ý bởi DFT nghịch đảo.y[n]y~[n]

Lưu ý rằng nếu bất kỳ một trong các tín hiệu có độ dài vô hạn, thì KHÔNG thể tính toán tích chập tuyến tính của chúng bằng cách sử dụng phương pháp DFT, vì sẽ đi đến vô cùng, thực tế là không thể. Việc thực hiện tích chập tuyến tính thông qua DFT sau đó có các bước sau:N

  1. Chọn N theo các tiêu chí sau: đảm bảo tái tạo không có bí danh cho tín hiệu nghịch đảo từ DFT của phép tích chập tròn được tính toán thông qua .

    NLx+Lh1
    y[n]Y[k]X[k]H[k]

  2. Tính các DFT điểm N và của và .X[k]H[k]x[n]h[n]

  3. TínhY[k]=X[k]H[k]

  4. Tính toán DFT nghịch đảo điểm N của để tạo đầu raY[k]y[n]


2

Trả lời câu hỏi của bạn:

  1. Tại sao chúng ta sử dụng tích chập tròn trong DSP?

Trong DSP, chúng ta thường xử lý các chuỗi rời rạc có độ dài hữu hạn (ngay cả khi tín hiệu được nghiên cứu là vô hạn, chúng ta chỉ có thể phân tích một phần hữu hạn của nó tại một thời điểm). Khi xử lý tín hiệu theo cách xử lý, tôi phải thực hiện được trong một thiết bị logic rời rạc (cụ thể là một thiết bị không thể lưu trữ các giá trị liên tục vì các giá trị này là vô hạn và nó có dung lượng bộ nhớ, lưu trữ hữu hạn, v.v.). Điều này giải thích tại sao Biến đổi Fourier thời gian rời rạc (DTFT) biến đổi chuỗi thời gian rời rạc thành chuỗi tần số liên tục không thể được thực hiện trong phần cứng. Tích chập tuyến tính theo thời gian tương đương với phép nhân của 2 chuỗi DTFT, nhưng vì DTFT không thể được thực hiện trong phần cứng nên đây không phải là cách để có được tích chập tuyến tính.Mặt khác, Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) biến đổi một chuỗi thời gian riêng biệt thành một chuỗi tần số riêng biệt và điều này cho phép nó được thực hiện trong phần cứng. Tuy nhiên, nhân 2 chuỗi DFT tương đương với tích chập tuần hoàn theo nguyên tắc(tích chập tuyến tính cũng có thể thu được nếu các chuỗi thời gian trước đó được đệm với đủ số không, xem giải thích bên dưới). Lý do tại sao nhân 2 chuỗi DFT tương đương với tích chập tuyến tính và không tuyến tính xuất phát từ thực tế là DFT cho chuỗi thời gian hữu hạn tương đương với Chuỗi Fourier rời rạc (DFS) của chuỗi thời gian hữu hạn rất giống nhau được kéo dài định kỳ (nối chuỗi thời gian hữu hạn vô hạn theo trục thời gian) được thực hiện trong một khoảng thời gian. DFS cũng là định kỳ trong miền tần số nên tích chập tuyến tính không áp dụng ở đó (xem 8.2.5 và 8.6.5 của Xử lý tín hiệu thời gian rời rạc của Oppenheim phiên bản thứ 3)

  1. Lý do vững chắc chính cho việc sử dụng nó trong xử lý kỹ thuật số là gì?

Nó có được bằng cách nhân DFT và DFT được thực hiện dễ dàng trong phần cứng. Ngoài ra, các thuật toán rất hiệu quả như FFT tồn tại để tính toán DFT

  1. Tại sao khái niệm tích chập tuần hoàn đến thường xuyên hơn tích chập tuyến tính?

Điều đó phụ thuộc vào ứng dụng. Tích chập tròn cũng có thể mang lại tích chập tuyến tính. Chẳng hạn, giả sử chúng ta đang làm việc với tín hiệu A có độ dài N và tín hiệu B cũng có độ dài N (cũng có thể được thực hiện cho các độ dài khác nhau). Tích chập tròn sẽ có độ dài N. Để có được tích chập tuyến tính, cả A và B phải được đệm bằng 0 cho đến khi chúng đạt được độ dài ít nhất là 2 * N - 1. Sau đó áp dụng DFT trên cả hai, nhân chúng và áp dụng nghịch đảo DFT sẽ cung cấp cho bạn tích chập tuyến tính


1

Đây là một chút trực giác:

Khi bạn xử lý tín hiệu số, bạn luôn xử lý tín hiệu hữu hạn. Điều này là do bạn chỉ có thể xử lý số lượng điểm dữ liệu hữu hạn.

Tuy nhiên, vấn đề là khi bạn thực hiện chuyển đổi thành miền tần số bằng DFT, theo định nghĩa, tín hiệu không thể hữu hạn. Do đó, khi thực hiện thao tác DFT, có một sự thay đổi ngầm định để tín hiệu của bạn trở nên hữu hạn, thành định kỳ, ngay cả khi tín hiệu của bạn không định kỳ.

Tính tuần hoàn này của tín hiệu dẫn đến nhu cầu sử dụng tích chập theo cách tuần hoàn.


1

DFT / FFT là một "cái búa" tính toán hữu ích, nhưng tất cả các vectơ cơ sở biến đổi của nó đều là hình tròn (số nguyên định kỳ) trong khẩu độ và có thể được mở rộng vô hạn như các hàm định kỳ, mà một số người dùng nhầm lẫn với bản chất của dữ liệu đầu vào.

Nếu bạn zero-pad bằng một lượng vừa đủ, tích chập tuần hoàn tạo ra kết quả tương tự như tích chập tuyến tính, nhưng với chi phí tính toán lớn hơn một chút so với hình tròn.

Khi sử dụng trang web của chúng tôi, bạn xác nhận rằng bạn đã đọc và hiểu Chính sách cookieChính sách bảo mật của chúng tôi.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.