Có đặc điểm thay thế nào về độ thưa của tín hiệu trong cảm biến nén không

Giả định bắt đầu cho cảm biến nén (CS) là tín hiệu cơ bản là thưa thớt ở một số cơ sở, ví dụ, có một tối đa khác không Fourier-hệ số cho một $s$ tín hiệu -sparse. Và kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng các tín hiệu được xem xét thường thưa thớt.

Câu hỏi là - đưa ra một tín hiệu, trước khi gửi các bit được lấy mẫu nén cho người nhận và để cô ấy phục hồi tốt nhất khả năng của mình, có cách nào để biết độ thưa của nó là gì không, và liệu đó có phải là ứng cử viên phù hợp để nén không cảm nhận ở nơi đầu tiên?

Ngoài ra, có bất kỳ đặc tính bổ sung / thay thế nào về độ thưa thớt có thể cho chúng ta biết nhanh chóng liệu CS có hữu ích hay không. Người ta có thể thấy một cách tầm thường rằng người gửi có thể thực hiện chính xác những gì người nhận sẽ làm với một số phép đo được chọn ngẫu nhiên, và sau đó cố gắng tìm ra câu trả lời. Nhưng có cách nào khác để giải quyết câu hỏi này không?

Sự nghi ngờ của tôi là một cái gì đó như thế này phải được nghiên cứu, nhưng tôi không thể tìm thấy một con trỏ tốt.

Lưu ý: Tôi đã đăng câu hỏi này trong Mathoverflow, một vài tuần trước, nhưng không nhận được câu trả lời nào. Do đó các bài chéo.

Thật vậy, có nhiều cách mà độ thưa thớt, hoặc nội dung thông tin, có thể được ước tính tại thiết bị mua lại. Các chi tiết, tính thực tế và tính hữu dụng thực tế của việc làm này còn gây tranh cãi và phụ thuộc nhiều vào bối cảnh mà nó được áp dụng. Trong trường hợp hình ảnh, người ta có thể xác định các khu vực của một hình ảnh ít nhiều bị nén trong một cơ sở được xác định trước. Ví dụ: xem "Lấy mẫu nén dựa trên độ mặn cho tín hiệu hình ảnh" của Yu et al . Trong trường hợp này, các yêu cầu phức tạp bổ sung được đặt trên thiết bị mua lại cung cấp lợi nhuận cận biên.

Liên quan đến các câu hỏi của bạn về việc đưa ra các quyết định về tính hữu ích của Cảm biến nén đối với một tín hiệu nhất định tại thời điểm thu nhận: Nếu tín hiệu trong câu hỏi tuân thủ bất kỳ loại mô hình nào đã biết trước , Cảm biến nén có thể thực hiện được. Phục hồi chính xác chỉ đơn giản phụ thuộc vào tỷ lệ giữa số lượng phép đo được thực hiện và mức độ tín hiệu được lấy mẫu tuân theo mô hình của bạn. Nếu đó là một mô hình xấu, bạn sẽ không vượt qua giai đoạn chuyển đổi. Nếu đó là một mô hình tốt, thì bạn sẽ có thể tính toán tái tạo chính xác tín hiệu ban đầu. Ngoài ra, các phép đo cảm biến nén, nói chung, được chứng minh trong tương lai. Nếu bạn có một số phép đo nhất định cho tín hiệu không đủ số lượng phục hồi chính xác tín hiệu gốc bằng mô hình bạn có ngày hôm nay, thì vẫn có thể đưa ra một mô hình tốt hơn vào ngày mai để các phép đo này đủ để phục hồi chính xác.

Lưu ý bổ sung (chỉnh sửa): Cách tiếp cận mua lại được đề cập trong câu hỏi của bạn nghe có vẻ khá gần với Cảm biến nén thích ứng, vì vậy tôi nghĩ rằng những điều sau đây có thể được các độc giả của câu hỏi này quan tâm. Các kết quả gần đây của Arias-Castro, Candes và Davenport đã chỉ ra rằng về mặt lý thuyết, các chiến lược đo lường thích ứng không thể mang lại bất kỳ lợi ích đáng kể nào đối với Cảm biến nén không thích ứng (tức là mù). Tôi giới thiệu đến độc giả về tác phẩm của họ, "Về những giới hạn cơ bản của cảm biến thích nghi" sẽ sớm xuất hiện trong ITIT.

Một cách tiếp cận thực tế sẽ là kiểm tra tín hiệu quan tâm của bạn với một lựa chọn từ điển để tìm hiểu xem nó có thưa thớt trong bất kỳ từ nào không. Bạn thực sự không phải làm những gì người nhận sẽ làm, nghĩa là nén và tái tạo tín hiệu, để xem nó có thưa thớt trong từ điển cụ thể không. Bạn có thể áp dụng một biến đổi tuyến tính cho nó và kiểm tra xem vectơ biến đổi có thưa thớt không. Nếu có, biến đổi nghịch đảo là từ điển của bạn. Bằng cách thưa thớt, ý tôi là đếm số hệ số khác không hoặc không đáng kể trong vectơ. Ví dụ, tính toán DFT của tín hiệu của bạn. Nếu biểu diễn miền tần số của nó hóa ra thưa thớt (đủ), bạn có thể sử dụng DFT nghịch đảo làm từ điển. Nếu biến đổi không thể đảo ngược, ví dụ, một ma trận rộng, nó không hoàn toàn đơn giản, nhưng nó vẫn có thể thực hiện được với các khung.

Liên quan đến các lựa chọn thay thế cho sự thưa thớt, endolith đề cập đến một số nỗ lực nhằm khái quát hóa "sự đơn giản" không chỉ là sự thưa thớt. Ngoài ra, còn có:

1. Thứ hạng thấp: được sử dụng trong hoàn thành ma trận, là một loại tổng quát hóa ma trận của cảm biến nén. Xem ví dụ Hoàn thành ma trận chính xác thông qua tối ưu hóa lồi và các bài báo mới hơn từ Candès et al.
2. " k -simpliness": các vectơ không chính xác thưa thớt; hầu hết các mục của họ là a hoặc b và một vài ( k ) trong số đó nằm ở giữa. Đây là ví dụ được mô tả trong Donoho & Tanner, 'Định lý gạch dưới chính xác' (ví dụ 3).

$\|x\|_1^2/\|x\|_2^2$