Khi nào hai tín hiệu trực giao?

10

Định nghĩa cổ điển về tính trực giao trong đại số tuyến tính là hai vectơ là trực giao, nếu tích trong của chúng bằng không.

Tôi nghĩ định nghĩa này cũng có thể được áp dụng cho các tín hiệu, nhưng sau đó tôi nghĩ về ví dụ sau:

Hãy xem xét một tín hiệu ở dạng sóng hình sin và một tín hiệu khác ở dạng sóng cosin. Nếu tôi lấy mẫu cả hai, tôi có được hai vectơ. Trong khi sin và cos là các hàm trực giao, tích của các vectơ được lấy mẫu gần như không bao giờ bằng 0, cũng như hàm tương quan chéo của chúng tại t = 0 biến mất.

Vì vậy, làm thế nào, sau đó, tính trực giao được xác định trong trường hợp này? Hay là ví dụ của tôi tắt?

orthogonal-signals

— người dùng26311
nguồn

10

Như bạn có thể biết, tính trực giao phụ thuộc vào sản phẩm bên trong không gian vectơ của bạn. Trong câu hỏi của bạn, bạn nói rằng:

Trong khi sin và cos là các hàm trực giao ...

Điều này có nghĩa là bạn có thể đã nghe nói về sản phẩm bên trong "tiêu chuẩn" cho các không gian chức năng:

⟨ f, g ⟩ = = \int_{x_{1}}^{x_{2}} f (x) g (x) d x

$\langle f,g\rangle=\int\limits_{x_1}^{x_2} f(x)g(x) \ \mathrm{d}x$

Nếu bạn giải quyết tích phân này cho $f(x)=\cos (x)$ và $g(x)=\sin(x)$ trong một khoảng thời gian, kết quả sẽ là $0$ : chúng trực giao.

Lấy mẫu các tín hiệu này, tuy nhiên, không liên quan đến tính trực giao hoặc bất cứ điều gì. Các "vectơ" bạn có được khi bạn lấy mẫu tín hiệu chỉ là các giá trị được đặt cùng nhau có ý nghĩa với bạn : chúng không phải là các vectơ nghiêm ngặt , chúng chỉ là các mảng (trong tiếng lóng lập trình). Việc chúng ta gọi chúng là các vectơ trong MATLAB hoặc bất kỳ ngôn ngữ lập trình nào khác có thể gây nhầm lẫn.

Thật ra hơi khó, vì người ta có thể định nghĩa một không gian vectơ $N$ nếu bạn có $N$ các mẫu cho mỗi tín hiệu, trong đó các mảng đó thực sự sẽ là các vectơ thực tế . Nhưng những người sẽ định nghĩa những điều khác nhau.

Để đơn giản, giả sử chúng ta đang ở trong không gian vectơ $\mathbb{R}^3$ và bạn có $3$ các mẫu cho mỗi tín hiệu và tất cả chúng đều có giá trị thực. Trong trường hợp đầu tiên, một vectơ (tức là ba số được đặt cùng nhau) sẽ đề cập đến một vị trí trong không gian. Trong phần thứ hai, chúng đề cập đến ba giá trị mà tín hiệu đạt được tại ba thời điểm khác nhau. Trong ví dụ này rất dễ để nhận ra sự khác biệt. Nếu bạn có $n$ các mẫu, sau đó khái niệm "không gian" sẽ ít trực quan hơn, nhưng ý tưởng vẫn còn.

Tóm lại, hai tín hiệu là trực giao nếu sản phẩm bên trong giữa chúng (cụ thể là tích phân tôi đã viết ở trên) là $0$ và các vectơ / mảng thu được bằng cách lấy mẫu chúng cho chúng ta không biết gì về tính trực giao của chúng.

— Tendero
nguồn

4

Thuật ngữ "vectơ" không nhất thiết có nghĩa là "một vị trí trong không gian". Trong thực tế, bất kỳ yếu tố nào từ một không gian vectơ đều có thể được coi là một vectơ. Không gian hàm L2 cũng là một không gian vectơ với phép nhân phần tử và phép nhân vô hướng. Do đó, các hàm là phần tử của L2 có thể coi các vectơ của không gian vectơ này. Như vậy, sản phẩm bên trong giữa các vectơ này xác định, nếu các hàm là trực giao trên không gian vectơ này.

— Maximilian Matthé

Xin chào @ MaximilianMatthé, tôi chưa bao giờ nói rằng "vector" = "vị trí trong không gian". Tôi đã viết ví dụ về không gian vectơ

R^{3}

$\mathbb{R}^3$ để làm cho mọi thứ rõ ràng hơn, và trong trường hợp đó, vectơ nằm trong tọa độ không gian chung. Thực tế là tôi đã định nghĩa một sản phẩm bên trong cho các trạng thái hàm (ngầm) rằng các hàm có thể tạo thành một không gian vectơ. Tôi có nên chỉnh sửa bất cứ điều gì trong bài viết của mình để làm cho nó rõ ràng hơn? Tôi đã đề cập đến các mẫu không tạo ra cùng một không gian vectơ như chính các tín hiệu và đó là lý do tại sao các mẫu không nói gì về tính trực giao.

— Tendero

@Tendero Cảm ơn bạn (Tôi đã đặt câu hỏi, quên đăng nhập trước đó)! Tuy nhiên, tôi vẫn đang vật lộn, vì bạn đã nói rằng, nếu tôi tính tích phân đã cho với

f (x) = c o s (x)

$f(x)=cos(x)$ và

g (x) = s i n (x)

$g(x)=sin(x)$ , sau đó tôi sẽ nhận được

0

$0$ . À, không . Kết quả là

- 0.5 c o s^{2} (x)

$-0.5cos^2(x)$ , mà không phải luôn luôn bằng không. Cấp, nếu tôi tích hợp trong một khoảng thời gian, sau đó tôi nhận được số không. Nhưng trong thực tế, tôi có các chức năng không định kỳ để bắt đầu và sản phẩm bên trong của chúng (như được xác định bởi tích phân của bạn) cũng không phải là định kỳ. Sau đó thì sao?

— AlphaOmega

2

@AlphaOmega Hàm là trực giao trong các khoảng xác định. Khoảng tích hợp phải được xác định để biết hai hàm có trực giao trong khoảng đó không . Điều thông thường là tích hợp cosin và sin trong một khoảng thời gian, và sau đó sản phẩm bên trong là

0

$0$ . Nếu bạn có các chức năng không định kỳ, thì có lẽ bạn nên hỏi một câu hỏi khác với điều đó đã nêu và xem những gì trong trường hợp đó.

— Tendero

Sản phẩm bên trong phải luôn bao gồm các ranh giới, nếu không, sản phẩm bên trong không phải là chức năng của một trường. Khoảng thời gian bạn chọn cũng làm thay đổi không gian vectơ mà người ta nói đến.

— cú pháp

6

Tính trực giao thực sự được xác định thông qua một sản phẩm bên trong, với tích phân cho biến thời gian thứ tự liên tục, với tổng cho biến thời gian rời rạc.

Khi bạn chuyển đổi hai tín hiệu trực giao (liên tục) thành tín hiệu rời rạc (lấy mẫu thông thường, biên độ rời rạc), có thể được cửa sổ (hỗ trợ hữu hạn), bạn có thể ảnh hưởng đến tính trực giao. Nói cách khác: hai tín hiệu thời gian liên tục trực giao chỉ có thể trở thành gần trực giao khi bị rời rạc. Nếu sự rời rạc là đủ tốt và cửa sổ được chọn tốt, thì trong một số trường hợp (liên quan đến tính định kỳ, tần suất), bạn duy trì tính trực giao.

Trong cài đặt liên tục, không gian chức năng là vô hạn, vì vậy bạn có rất nhiều tùy chọn để tìm tín hiệu trực giao. Trong một không gian riêng biệt, số lượng tín hiệu trực giao lẫn nhau tối đa bị giới hạn bởi kích thước của không gian.

— Laurent Duval
nguồn

2

Trước tiên bạn phải xác định một sản phẩm bên trong cho các chức năng. Bạn không thể nhân lên với nhau.

Tôi không chắc chắn về các tính chất của sản phẩm bên trong, nhưng theo bài giảng này, một sản phẩm bên trong phải có tính giao hoán, tuyến tính và sản phẩm bên trong của một chức năng với chính nó phải là xác định dương.

Một tùy chọn cho một sản phẩm bên trong cho các chức năng có thể là,

⟨ f_{1}, f_{2} ⟩ = \int_{a}^{b} f_{1} (x) f_{2} (x) d x,

$\left\langle f_1, f_2 \right\rangle = \int_a^b f_1(x)\, f_2(x)\, \mathrm{d}x,$

với $a<b$ . Nhưng có lẽ bạn có thể tự mình đưa ra các định nghĩa khác nhau, hoặc chơi với định nghĩa này và xem cái nào $a$ và $b$ , $\sin(x)$ và $\cos(x)$ là trực giao.

— xơ hóa
nguồn

1

Thực ra,

s i n (2 π k_{1} f_{0} t)

$sin(2\pi k_1 f_0 t)$ và

\cos (2 π k_{2} f_{0} t)

$\cos(2\pi k_2 f_0 t)$ là trực giao cho

b - a = \frac{n}{f_{0}}

$b-a=\frac{n}{f_0}$ và

k_{1}, k_{2} \in Z

$k_1,k_2\in\mathbb{Z}$ với

n \in Z

$n\in\mathbb{Z}$ . Đó là thời kỳ cơ bản của cả hai chức năng.

— Maximilian Matthé

1

Các sản phẩm bên trong không tuyến tính - chúng là song tuyến cho các không gian vectơ thực và vừng cho các phần phức tạp. Chúng đối xứng cho các không gian vectơ thực và đối xứng liên hợp cho các không gian phức tạp.

— Batman

2

Tôi nghĩ rằng tôi có thể trả lời câu hỏi sau khi đọc bài viết "Phân rã chế độ thực nghiệm và phổ Hilbert để phân tích chuỗi thời gian phi tuyến và không cố định" của Huang. Trong bài báo này (Trang 927), Huang đã đưa ra định nghĩa về tính trực giao giữa hai tín hiệu:

Ngoài ra, tôi muốn chia sẻ với bạn mã MATLAB của tôi:

function OC=ort(x,y)
x=x(:)';
y=y(:);
xy=x*y;
OC=xy/(sum(x.^2)+sum(y.^2));
end

Đó là tất cả, Chúc may mắn ~

— Lesan Gia
nguồn

1

Về mặt nhân ma trận (như đối với DFT), khoảng tích hợp tương đương cho các tín hiệu được xác định bởi kích thước của ma trận (hoặc kích thước của vectơ đầu vào) và tốc độ mẫu. Chúng thường được chọn do những cân nhắc thực tế (thời gian hoặc không gian quan tâm và / hoặc tính sẵn có, v.v.). Tính trực giao được xác định trong khoảng thời gian tích hợp đó.

— hotpaw2
nguồn

0

Tôi sẽ tranh luận rằng ví dụ của bạn là một chút.

Bạn rất có thể đã không lấy mẫu các chức năng $\sin$ và $\cos$ đúng, theo nghĩa là việc lấy mẫu phải tôn trọng tính tuần hoàn của chúng. Nếu bạn lấy mẫu các hàm này trên tập hợp $\{\dfrac{n2\pi}{N}\ |\ n\in\{0,\ldots, N-1\}\}$ , Tôi đảm bảo với bạn rằng bạn sẽ thấy rằng $N$ vectơ hai chiều bạn sẽ tìm thấy sẽ hoàn toàn trực giao.

— axplusb
nguồn

0

Tôi muốn có một cách tiếp cận hình học về loại vấn đề này bằng cách nhớ rằng công thức Pythogoras vẫn giữ cho các vectơ:

| x - y |^{2} = = | x |^{2} + | y |^{2} - 2 \cdot ⟨ x, y ⟩,

$| x - y |^2 = | x |^2 + | y |^2 - 2\cdot\left\langle x, y \right\rangle,$

với sản phẩm vô hướng xác định hệ số tương quan là cosin của góc giữa hai vectơ trong không gian sản phẩm bên trong này :

⟨ x, y ⟩ = = | x | \cdot | y | \cdot \cos (một n g tôi e (x, y)),

$\left\langle x, y \right\rangle = | x | \cdot | y | \cdot \cos( angle(x, y)),$

Vô hướng $\cos(angle(x, y))$ do đó bị ràng buộc giữa $-1$ và $1$ và đo cosin của góc $angle(x, y)$ giữa các vectơ $x$ và $y$ .

như vậy, để trả lời câu hỏi của bạn, tính trực giao được xác định (như trong không gian phẳng của hình học thông thường) như khi cosin bằng không .

— meduz
nguồn

ý của bạn là gì

\cos (f, g)

$\cos(f,g)$ ?

— robert bristow-johnson

\cos

$\cos$ là vô hướng được xác định bởi phương trình thứ hai, tôi đã thêm một loại mực + đã cố gắng làm cho nó rõ ràng hơn

— meduz

ý bạn là:

\begin{aligned} \cos (f, g) & ≜ \frac{⟨ f, g ⟩}{| f | \cdot | g |} \\ = = \frac{| f |^{2} + | g |^{2} - | f - g |^{2}}{2 \cdot | f | \cdot | g |} \end{aligned}

$\begin{align} \cos(f,g) & \triangleq \frac{\langle f, g \rangle}{|f| \cdot |g|} \\ \\ &= \frac{|f|^2+|g|^2-|f-g|^2}{2 \cdot |f| \cdot |g|} \\ \end{align}$ đó là những gì bạn đang nói? tôi chưa bao giờ thấy một hàm cosine hai đối số trong gần nửa thế kỷ mà tôi đã biết về một hàm cosin.

— robert bristow-johnson

bạn nói đúng, sai lầm của tôi, tôi đã sửa chữa công thức của câu trả lời của tôi.

— meduz