Câu hỏi toán học xuất phát từ việc sử dụng biến đổi song tuyến

Vì vậy, điều này có liên quan đến Cookbook và tôi đã cố gắng giải quyết nó có lẽ hai thập kỷ trước, đã từ bỏ và được nhắc nhở về vấn đề chưa được giải quyết. Nhưng nó khá là thẳng về phía trước, nhưng tôi vẫn bị mắc kẹt trong muck.

Đây là bộ lọc Bandpass đơn giản (BPF) với tần số cộng hưởng và cộng hưởng :$\Omega_0$$Q$

$$H(s) = \frac{\frac{1}{Q}\frac{s}{\Omega_0}}{\left(\frac{s}{\Omega_0}\right)^2 + \frac{1}{Q}\frac{s}{\Omega_0} + 1}$$

Ở tần số cộng hưởng

$$|H(j\Omega)| \le H(j\Omega_0) = 1$$

và các dải trên và dưới được xác định sao cho

$$|H(j\Omega_U)|^2 = \left|H\left(j\Omega_0 2^{BW/2} \right)\right|^2 = \tfrac12$$

$$|H(j\Omega_L)|^2 = \left|H\left(j\Omega_0 2^{-BW/2} \right)\right|^2 = \tfrac12$$

Chúng tôi gọi đây là "các dải phân nửa công suất" . Bởi vì chúng tôi là âm thanh, chúng tôi xác định băng thông theo quãng tám và trong thế giới tương tự, băng thông này trong quãng tám, , có liên quan đến là:$BW$$Q$

$$\frac{1}{Q} = \frac{2^{BW} - 1}{\sqrt{2^{BW}}} = 2 \sinh\left( \tfrac{\ln(2)}{2} BW \right)$$

Chúng tôi đang sử dụng biến đổi song tuyến tính (với tần số cộng hưởng được uốn cong trước) mà ánh xạ:

$$\begin{align} \frac{s}{\Omega_0} & \leftarrow \frac{1}{\tan(\omega_0/2)} \, \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}} \\ \\ \frac{j \Omega}{\Omega_0} & \leftarrow \frac{j\tan(\omega/2)}{\tan(\omega_0/2)} \\ \end{align}$$

cho và .$z=e^{j \omega}$$s=j\Omega$

Tần số góc cộng hưởng của bộ lọc tương tự là và với bù tần số cong được thực hiện theo tần số cộng hưởng trong bộ lọc kỹ thuật số đã nhận ra, khi (tần số cộng hưởng do người dùng xác định), sau đó . ω = ω 0 Ω = Ω $\Omega_0$$\omega=\omega_0$$\Omega=\Omega_0$

Vì vậy, nếu tần số góc tương tự là

$$\frac{\Omega}{\Omega_0} = \frac{\tan(\omega/2)}{\tan(\omega_0/2)}$$

sau đó nó được ánh xạ tới tần số góc kỹ thuật số như

$$\omega = 2 \arctan\left( \frac{\Omega}{\Omega_0} \, \tan(\omega_0/2) \right)$$

Bây giờ, các dải trên và dưới trong thế giới tương tự là

Ω L = Ω 0 2 - B W /

$$\Omega_U = \Omega_0 2^{BW/2}$$ $$\Omega_L = \Omega_0 2^{-BW/2}$$

và trong miền tần số là

$$\begin{align} \omega_U &= 2 \arctan\left( \frac{\Omega_U}{\Omega_0} \, \tan(\omega_0/2) \right) \\ &= 2 \arctan\left(2^{BW/2} \, \tan(\omega_0/2) \right) \\ \end{align}$$

$$\begin{align} \omega_L &= 2 \arctan\left(\frac{\Omega_L}{\Omega_0} \, \tan(\omega_0/2) \right) \\ &= 2 \arctan\left(2^{-BW/2} \, \tan(\omega_0/2) \right) \\ \end{align}$$

Khi đó, sự khác biệt thực tế, về tần số nhật ký của các băng thông (là băng thông thực tế trong bộ lọc kỹ thuật số) là:

$$\begin{align} bw & = \log_2(\omega_U) - \log_2(\omega_L) \\ & = \log_2\Bigg(2\arctan\left( 2^{ BW/2} \, \tan(\omega_0/2) \right) \Bigg) - \log_2\Bigg(2\arctan\left( 2^{-BW/2} \, \tan(\omega_0/2) \right) \Bigg) \ \end{align}$$

hoặc là

$$\ln(2) \, bw = \ln\left(\arctan\left( e^{\ln(2)BW/2} \, \tan(\omega_0/2) \right) \right) - \ln\left(\arctan\left( e^{-\ln(2)BW/2} \, \tan(\omega_0/2) \right) \right)$$

Đây là một hình thức chức năng của

$$f(x) = \ln\left(\arctan\left(\alpha \, e^{x} \right) \right) - \ln\left(\arctan\left( \alpha \, e^{-x}\right) \right)$$

trong đó , và$f(x) \triangleq \ln(2) \, bw$alpha≜tan(ω0/2$x \triangleq \frac{\ln(2)}{2}BW$$\alpha \triangleq \tan(\omega_0/2)$

Những gì tôi muốn làm là đảo ngược (nhưng tôi biết tôi không thể làm điều đó chính xác với một hình thức đóng đẹp). Tôi đã thực hiện một xấp xỉ bậc một và tôi muốn tăng nó lên xấp xỉ bậc ba. Và điều này đã trở thành một loại chó cái đang giao hợp với nhau, mặc dù nó phải thẳng tiến.$f(x)$

Bây giờ điều này có liên quan đến Công thức đảo ngược Lagrange và tôi chỉ muốn đưa nó đến một thuật ngữ nhiều hơn tôi có.

Chúng ta biết từ trên rằng là một hàm đối xứng lẻ:$f(x)$

$$f(-x) = -f(x)$$

Điều này có nghĩa là và tất cả các điều khoản theo thứ tự chẵn của loạt Maclaurin sẽ bằng không:$f(0)=0$

$$y = f(x) = a_1 x + a_3 x^3 + ...$$

Hàm nghịch đảo cũng là đối xứng lẻ, đi qua 0 và có thể được biểu thị dưới dạng chuỗi Maclaurin

$$x = g(y) = b_1 y + b_3 y^3 + ...$$

và nếu chúng ta biết những gì và là của , sau đó chúng tôi có một ý tưởng tốt những gì và phải:a 3 f ( x ) b 1 b $a_1$$a_3$$f(x)$$b_1$$b_3$

$$b_1=\frac{1}{a_1} \quad \quad \quad \quad b_3 = -\frac{a_3}{a_1^4}$$

Bây giờ, tôi có thể tính đạo hàm của và đánh giá nó bằng 0 và tôi nhận được$f(x)$

$$\\ a_1 = \frac{2 \alpha}{(1+\alpha^2) \arctan(\alpha)} = \frac{\sin(\omega_0)}{\omega_0/2}$$ $$\\ b_1 = \frac{(1+\alpha^2) \arctan(\alpha)}{2 \alpha} = \frac{\omega_0/2}{\sin(\omega_0)} \\ $$

Nhưng tôi đang gặp một con chó cái của một thời gian nhận được và do đó . Ai đó có thể làm điều này? Tôi thậm chí còn giải quyết một biểu thức vững chắc cho đạo hàm thứ ba của đánh giá tại .b 3 f ( x ) x = $a_3$$b_3$$f(x)$$x=0$

Để bổ sung cho phần của tôi cho câu hỏi này: Đây là một câu trả lời hơi ngắn dựa trên việc mở rộng thủ công hàm lẻ thành một chuỗi theo thứ tự thứ ba. Một số chi tiết có thể được tìm thấy tại mathSE .f ( x $f(x)$

$$\begin{align*} f(x)&=\ln\left(\arctan\left(\alpha e^x\right)\right)-\ln\left(\arctan\left(\alpha e^{-x}\right)\right)\\ &=f_1x+f_3x^3+O\left(x^5\right)\tag{1} \end{align*}$$

Đầu tiên, chúng tôi tập trung ở thuật ngữ của và bắt đầu bằng f ( x

$$\ln\left(\arctan\left(\alpha e^x\right)\right)$$ $f(x)$

Mở rộng loạt :$\arctan$

Chúng tôi có được

$$\begin{align*} \arctan(\alpha e^x)&=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}\alpha^{2n+1} e^{(2n+1)x}\\ &=\cdots\\ &=\sum_{j=0}^\infty\frac{1}{j!}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(2n+1)^{j-1}\alpha^{2n+1}x^j\tag{2} \end{align*}$$

Bây giờ chúng ta xuất phát từ (2) các hệ số lên đến . Sử dụng toán tử hệ số để biểu thị hệ số của trong chuỗi chúng ta thu được [ x k ] x k [ x 0 ] arctan ( α e x $x^3$$[x^k]$$x^k$

$$\begin{align*} [x^0]\arctan\left(\alpha e^x\right)&=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}\alpha^{2n+1}=\arctan \alpha\\ [x^1]\arctan\left(\alpha e^x\right)&=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\alpha^{2n+1}=\frac{\alpha}{1+\alpha ^2}\\ [x^2]\arctan\left(\alpha e^x\right)&=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(2n+1)\alpha^{2n+1}\\ &=\cdots =\frac{\alpha}{2}\cdot\frac{d}{d\alpha}\left(\frac{\alpha}{1+\alpha^2}\right) =\frac{\alpha(1-\alpha^2)}{2\left(1+\alpha^2\right)^2}\\ [x^3]\arctan\left(\alpha e^x\right)&=\frac{1}{6}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(2n+1)^2\alpha^{2n+1}\\ &=\frac{\alpha^2}{6}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(2n+1)(2n)\alpha^{2n-1} +\frac{\alpha}{6}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(2n+1)\alpha^{2n}\\ &=\cdots =\left(\frac{\alpha^2}{6}\cdot\frac{d^2}{d\alpha^2}+\frac{\alpha}{6}\cdot\frac{d}{d\alpha}\right)\left(\frac{\alpha}{1+\alpha^2}\right)\\ &=\cdots =\frac{\alpha^5-6\alpha^3+\alpha}{6(1+\alpha^2)^3} \end{align*}$$

Chúng tôi kết luận

$$\begin{align*} \arctan\left(\alpha e^x\right)&=\arctan(\alpha)+\frac{\alpha}{1+\alpha^2}x+\frac{\alpha(1-\alpha^2)}{2\left(1+\alpha^2\right)^2}x^2\\ &\qquad+\frac{\alpha^5-6\alpha^3+\alpha}{6(1+\alpha^2)^3}x^3+O(x^4)\tag{3} \end{align*}$$

Quyền hạn trong chuỗi logarit:

Để lấy được các hệ số của chuỗi logarit chúng ta viết biểu thức (3) là và chúng tôi xem xét arctan(αex

$$\begin{align*} \ln\left(\arctan(\alpha e^x)\right)&=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n}(\arctan(\alpha e^x)-1)^n \end{align*}$$ ln ( arctan ( α e x ) $$\begin{align*} \arctan\left(\alpha e^x\right)&=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+O(x^4) \end{align*}$$ $$\begin{align*} \ln\left(\arctan(\alpha e^x)\right)&=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n}((a_0-1)+a_1x+a_2x^2+a_3x^3)^n+O(x^4)\tag{4} \end{align*}$$

Bây giờ chúng tôi đặt và trích xuất các hệ số của thành từ x 0 x 3 ( A ( x ) )$A(x)=(a_0-1)+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$$x^0$$x^3$

$$\begin{align*} \left(A(x)\right)^n&=((a_0-1)+a_1x+a_2x^2+a_3x^3)^n\\ &=\sum_{j=0}^n\binom{n}{j}(a_0-1)^j\left(a_1x+a_2x^2+a_3x^3\right)^{n-j}\\ &=\sum_{j=0}^n\binom{n}{j}(a_0-1)^j\sum_{k=0}^{n-j}\binom{n-j}{k}a_1^kx^k\left(a_2x^2+a_3x^3\right)^{n-j-k}\tag{5}\\ \end{align*}$$

Chúng tôi có được từ (5)

$$\begin{align*} [x^0]&\left(A(x)\right)^n=\cdots=(a_0-1)^n\\ [x^1]&\left(A(x)\right)^n=\cdots=a_1n(a_0-1)^{n-1}\\ [x^2]&\left(A(x)\right)^n=\dots=a_2n(a_0-1)^{n-1}+\frac{1}{2}n(n-1)a_1^2(a_0-1)^{n-2}\\ [x^3]&\left(A(x)\right)^n=\cdots=na_3(a_0-1)^{n-1}+a_1a_2n(n-1)(a_0-1)^{n-2}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad+\frac{1}{6}n(n-1)(n-2)a_1^3(a_0-1)^{n-3}\tag{6} \end{align*}$$

Mở rộng chuỗi logarit:

Chúng tôi tính toán bằng cách sử dụng (6) các hệ số của theomột j , 0 ≤ j ≤ $\ln(\arctan(\alpha e^x))$$a_j, 0\leq j\leq 3$

$$\begin{align*} [x^0]&\ln(\arctan(\alpha e^x))=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}[x^0]A(x)\\ &=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}[x^0](a_0-1)^n\\ &=\ln(a_0-1)\\ [x^1]&\ln(\arctan(\alpha e^x))=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}[x^1]A(x)\\ &=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}[x^0]a_1n(a_0-1)^{n-1}\\ &=a_1\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(a_0-1)^n\\ &=\frac{a_1}{a_0}\\ [x^2]&\ln(\arctan(\alpha e^x))=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}[x^2]A(x)\\ &=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}\left(a_2n(a_0-1)^{n-1}+\frac{1}{2}n(n-1)a_1^2(a_0-1)^{n-2}\right)\\ &=\cdots\\ &=\left(a_2+\frac{a_1^2}{2}\frac{d}{da_0}\right)\left(\frac{1}{a_0}\right)\\ &=\frac{a_2}{a_0}-\frac{a_1^2}{2a_0^2}\\ [x^3]&\ln(\arctan(\alpha e^x))=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}[x^3]A(x)\\ &=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}\left(na_3(a_0-1)^{n-1}+a_1a_2n(n-1)(a_0-1)^{n-2}\right.\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\left.+\frac{1}{6}n(n-1)(n-2)a_1^3(a_0-1)^{n-3}\right)\\ &=\cdots\\ &=\left(a_3+a_1a_2\frac{d}{da_0}+\frac{a_1^3}{6}\frac{d^2}{da_0^2}\right)\left(\frac{1}{a_0}\right)\\ &=\frac{a_3}{a_0}-\frac{a_1a_2}{a_0^2}+\frac{a_1^3}{3a_0^3}\tag{7} \end{align*}$$

Mở rộng chuỗi của :$f(x)$

Bây giờ là thời gian để thu hoạch. Cuối cùng chúng tôi cũng có được (3) và (7) tôn trọng rằng là số lẻ$f(x)$

$$\begin{align*} \color{blue}{f(x)}&\color{blue}{=\ln\left(\arctan\left(\alpha e^x\right)\right)-\ln\left(\arctan\left(\alpha e^{-x}\right)\right)}\\ &=\cdots\\ &=\frac{2a_1}{a_0}x+2\left(\frac{a_3}{a_0}-\frac{a_1a_2}{a_0^2}+\frac{a_1^3}{3a_0^3}\right)x^3+O(x^5)\\ &\color{blue}{=\frac{2\alpha}{(1+\alpha^2)\arctan(\alpha)}x +\frac{\alpha}{3(1+\alpha^2)^3\arctan(\alpha)}\Bigg(\alpha^4-6\alpha^2+1}\\ &\qquad\color{blue}{\left.-\frac{3\alpha(1-\alpha^2)}{\arctan(\alpha)}+\frac{2\alpha^2}{\left(\arctan(\alpha)\right)^2}\right)x^3+O(x^5)} \end{align*}$$

(Chuyển đổi nhận xét để trả lời.)

Sử dụng Wolfram Alpha, tại ước tính thành: $f'''(x)$$x=0$

$$\begin{align} \\ f'''(0) = & -\frac{6 \alpha^2}{(\alpha^2 + 1)^2 (\arctan(\alpha))^2} \ + \ \frac{2 \alpha}{(\alpha^2 + 1) \arctan(\alpha)} \\ & \quad \quad + \frac{16 \alpha^5}{(\alpha^2 + 1)^3 \arctan(\alpha)} \ + \ \frac{12 \alpha^4}{(\alpha^2 + 1)^3 (\arctan(\alpha))^2} \\ & \quad \quad \quad \quad - \frac{16 \alpha^3}{(\alpha^2 + 1)^2 \arctan(\alpha)} \ + \ \frac{4 \alpha^3}{(\alpha^2 + 1)^3 (\arctan(\alpha))^3} \\ \\ &= \frac{2 (\alpha^4 - 6 \alpha^2 + 1) \alpha}{(\alpha^2 + 1)^3 \arctan(\alpha)} + \frac{6 (\alpha^2 - 1) \alpha^2}{(\alpha^2 + 1)^3 (\arctan(\alpha))^2} + \frac{4 \alpha^3}{(\alpha^2 + 1)^3 (\arctan(\alpha))^3} \\ \end{align}$$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=evalu+d3%2Fdx3++(+ln+(arctan+(a+Ex(+x)))+-+ln+(arctan(a+Ex(-+x) )) +) + tại + x% 3D0

Chúng tôi cũng có thể kiểm tra lại nếu điều này phù hợp với câu trả lời của Markus tại đây .

Hệ số ta xuất hiện$x^3$

$$\frac{\alpha}{3(1+\alpha^2)^3\arctan(\alpha)}\left(\alpha^4-6\alpha^2+1-\frac{3\alpha(1-\alpha^2)}{\arctan(\alpha)}+\frac{2\alpha^2}{\left(\arctan(\alpha)\right)^2}\right).$$

Nếu chúng ta nhân số đó với 6 và sắp xếp lại một số yếu tố chúng ta sẽ nhận được:

$$\frac{2\alpha(\alpha^4-6\alpha^2+1)}{(1+\alpha^2)^3\arctan(\alpha)} - \frac{6\alpha^2(1-\alpha^2)}{(1+\alpha^2)^3(\arctan(\alpha))^2} + \frac{4 \alpha^3}{(1+\alpha^2)^3 (\arctan(\alpha))^3}$$

phù hợp lên!

Vấn đề như được đặt ra trong câu hỏi dường như không có giải pháp dạng đóng. Như đã đề cập trong câu hỏi và được hiển thị trong các câu trả lời khác, kết quả có thể được phát triển thành một chuỗi, có thể được thực hiện bằng bất kỳ công cụ toán học tượng trưng nào như Mathicala. Tuy nhiên, các điều khoản trở nên khá phức tạp và xấu xí, và không rõ mức độ gần đúng tốt như thế nào khi chúng tôi bao gồm các điều khoản lên đến bậc ba. Vì chúng ta không thể có được một công thức chính xác, nên tốt hơn là tính toán giải pháp bằng số, không giống như phép tính gần đúng, sẽ cho kết quả chính xác (gần như).

Tuy nhiên, đây không phải là câu trả lời của tôi. Tôi đề nghị một lộ trình khác nhau đưa ra giải pháp chính xác bằng cách thay đổi công thức bài toán. Sau khi suy nghĩ một lúc, hóa ra đó là thông số kỹ thuật của tần số trung tâm và đặc điểm kỹ thuật của băng thông là tỷ lệ (hoặc, tương đương, trong quãng tám) gây ra tính hấp dẫn toán học. Có hai cách thoát khỏi tình trạng khó xử:$\omega_0$

1. xác định băng thông của bộ lọc thời gian rời rạc như một sự khác biệt tần số , nơi và là các cạnh dải phía dưới và phía trên của bộ lọc thời gian rời rạc, tương ứng.$\Delta\omega=\omega_2-\omega_1$$\omega_1$$\omega_2$
2. quy định tỷ lệ , và thay vì định một trong hai cạnh tần số hoặc .$\omega_2/\omega_1$$\omega_0$$\omega_1$$\omega_2$

Trong cả hai trường hợp, một giải pháp phân tích đơn giản là có thể. Vì mong muốn quy định băng thông của bộ lọc thời gian rời rạc theo tỷ lệ (hoặc, tương đương, trong quãng tám), tôi sẽ mô tả cách tiếp cận thứ hai.

Hãy xác định tần số cạnh và của bộ lọc thời gian liên tục bằng cách$\Omega_1$$\Omega_2$

$$|H(j\Omega_1)|^2=|H(j\Omega_2)|^2=\frac12\tag{1}$$

với , trong đó là chức năng chuyển của bộ lọc thông dải thứ hai:$\Omega_2>\Omega_1$$H(s)$

$$H(s)=\frac{\Delta\Omega s}{s^2+\Delta\Omega s+\Omega_0^2}\tag{2}$$

với và . Lưu ý rằng và cho .$\Delta\Omega=\Omega_2-\Omega_1$$\Omega_0^2=\Omega_1\Omega_2$$H(j\Omega_0)=1$$|H(j\Omega)|<1$$\Omega\neq\Omega_0$

Chúng tôi sử dụng Bilinear biến để lập bản đồ các tần số cạnh và của bộ lọc thời gian rời rạc với tần số cạnh và của bộ lọc liên tục theo thời gian. Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể chọn . Đối với mục đích của chúng tôi, biến đổi song tuyến sau đó có dạng$\omega_1$$\omega_2$$\Omega_1$$\Omega_2$$\Omega_1=1$

$$s = \frac{1}{\tan\left(\frac{\omega_1}{2}\right)}\frac{z-1}{z+1}\tag{3}$$

tương ứng với mối quan hệ sau đây giữa tần số thời gian liên tục và thời gian rời rạc:

$$\Omega=\frac{\tan\left(\frac{\omega}{2}\right)}{\tan\left(\frac{\omega_1}{2}\right)}\tag{4}$$

Từ chúng tôi có được bằng cách đặt . Với và tính từ , chúng tôi có được chức năng chuyển của bộ lọc nguyên mẫu tương tự từ . Áp dụng biến đổi song tuyến tính , chúng ta có được hàm truyền của bộ lọc vượt qua dải thời gian rời rạc:$(4)$$\Omega_2$$\omega=\omega_2$$\Omega_1=1$$\Omega_2$$(4)$$(2)$$(3)$

$$H_d(z)=g\cdot\frac{z^2-1}{z^2+az+b}\tag{5}$$

với

$$\begin{align}g&=\frac{\Delta\Omega c}{1+\Delta\Omega c+\Omega_0^2c^2}\\a&=\frac{2(\Omega_0^2c^2-1)}{1+\Delta\Omega c+\Omega_0^2c^2}\\b&=\frac{1-\Delta\Omega c+\Omega_0^2c^2}{1+\Delta\Omega c+\Omega_0^2c^2}\\c&=\tan\left(\frac{\omega_1}{2}\right)\end{align}\tag{6}$$

Tóm lược:

Băng thông của bộ lọc thời gian rời rạc có thể được chỉ định theo quãng tám (hay nói chung là tỷ lệ) và các tham số của bộ lọc nguyên mẫu tương tự có thể được tính toán chính xác, sao cho đạt được băng thông được chỉ định. Thay vì tần số trung tâm , chúng tôi chỉ định ban nhạc cạnh và . Tần số trung tâm được xác định bởi là kết quả của thiết kế.$\omega_0$$\omega_1$$\omega_2$$|H_d(e^{j\omega_0})|=1$

Các bước cần thiết như sau:

1. Xác định tỷ lệ mong muốn của ban nhạc cạnh , và một trong những ban nhạc cạnh (đó là tất nhiên tương đương với chỉ đơn giản là xác định và ).$\omega_2/\omega_1$$\omega_1$$\omega_2$
2. Chọn và xác định từ . Tính toán và của bộ lọc nguyên mẫu tương tự .$\Omega_1=1$$\Omega_2$$(4)$$\Delta\Omega=\Omega_2-\Omega_1$$\Omega_0^2=\Omega_1\Omega_2$$(2)$
3. Đánh giá các hằng số để có được hàm truyền thời gian rời rạc .$(6)$$(5)$

Lưu ý rằng với cách tiếp cận phổ biến hơn ở đâu và được quy định, ban nhạc thực tế cạnh và là một kết quả của quá trình thiết kế. Trong giải pháp đề xuất, các cạnh của dải có thể được chỉ định và là kết quả của quá trình thiết kế. Ưu điểm của phương pháp sau là băng thông có thể được chỉ định trong quãng tám và giải pháp là chính xác, tức là bộ lọc kết quả có chính xác băng thông được chỉ định trong quãng tám.$\omega_0$$\Delta\omega=\omega_2-\omega_1$$\omega_1$$\omega_2$$\omega_0$

Thí dụ:

Hãy chỉ định băng thông của một quãng tám và chúng tôi chọn cạnh dải dưới là . Điều này mang lại cho cạnh trên dải . Các cạnh dải của bộ lọc nguyên mẫu tương tự là và từ (với ) . Điều này mang lại cho và . Với chúng ta có được hàm truyền thời gian rời rạc$\omega_1=0.2\pi$$\omega_2=2\omega_1=0.4\pi$$\Omega_1=1$$(4)$$\omega=\omega_2$$\Omega_2=2.2361$$\Delta\Omega=\Omega_2-\Omega_1=1.2361$$\Omega_0^2=\Omega_1\Omega_2=2.2361$$(6)$$(5)$

$$H_d(z)=0.24524 \cdot \frac{z^2-1}{z^2-0.93294z+0.50953}$$

đạt được chính xác băng thông 1 quãng tám và các cạnh của dải được chỉ định, như trong hình bên dưới:

Giải pháp số của bài toán gốc:

Từ các nhận xét, tôi hiểu rằng điều quan trọng là có thể chỉ định chính xác tần số trung tâm mà được thỏa mãn. Như đã đề cập trước đây, không thể có được một giải pháp dạng đóng chính xác, và một sự phát triển hàng loạt tạo ra các biểu thức khá khó sử dụng.$\omega_0$$|H_d(e^{j\omega_0})|=1$

Để rõ ràng, tôi muốn tóm tắt các tùy chọn có thể với ưu điểm và nhược điểm của chúng:

1. chỉ định băng thông mong muốn là chênh lệch tần số và chỉ định ; trong trường hợp này, một giải pháp dạng đóng đơn giản là có thể.$\Delta\omega=\omega_2-\omega_1$$\omega_0$
2. xác định các cạnh ban nhạc và (hay tương đương, băng thông trong quãng tám, và là một trong các cạnh ban nhạc); điều này cũng dẫn đến một giải pháp dạng đóng đơn giản, như đã giải thích ở trên, nhưng tần số trung tâm là kết quả của thiết kế và không thể được chỉ định.$\omega_1$$\omega_2$$\omega_0$
3. chỉ định băng thông mong muốn trong quãng tám và tần số trung tâm (như được hỏi trong câu hỏi); không có giải pháp dạng đóng là có thể, cũng không có (trong thời điểm hiện tại) bất kỳ phép tính gần đúng đơn giản nào. Vì lý do này, tôi nghĩ rằng mong muốn có một phương pháp đơn giản và hiệu quả để có được một giải pháp số. Đây là những gì được giải thích dưới đây.$\omega_0$

Khi được chỉ định, chúng tôi sử dụng một dạng biến đổi song tuyến tính với hằng số chuẩn hóa khác với dạng được sử dụng trong và :$\omega_0$$(3)$$(4)$

$$\Omega=\frac{\tan\left(\frac{\omega}{2}\right)}{\tan\left(\frac{\omega_0}{2}\right)}\tag{7}$$

Chúng tôi xác định . Biểu thị tỷ lệ được chỉ định của các cạnh dải của bộ lọc thời gian rời rạc như$\Omega_0=1$

$$r=\frac{\omega_2}{\omega_1}\tag{8}$$

Với chúng tôi nhận được từ và$c=\tan(\omega_0/2)$$(7)$$(8)$

$$r=\frac{\arctan(c\Omega_2)}{\arctan(c\Omega_1)}\tag{9}$$

Với , có thể được viết lại dưới dạng sau:$\Omega_1\Omega_2=\Omega_0^2=1$$(9)$

$$f(\Omega_1)=r\arctan(c\Omega_1)-\arctan\left(\frac{c}{\Omega_1}\right)=0\tag{10}$$

Đối với một giá trị đã cho của , phương trình này có thể được giải cho với một vài lần lặp Newton. Đối với điều này, chúng ta cần đạo hàm của :$r$$\Omega_1$$f(\Omega_1)$

$$f'(\Omega_1)=c\left(\frac{r}{1+c^2\Omega_1^2}+\frac{1}{c^2+\Omega_1^2}\right)\tag{11}$$

Với , chúng tôi biết rằng phải nằm trong khoảng . Mặc dù có thể đưa ra các giải pháp ban đầu thông minh hơn, nhưng hóa ra dự đoán ban đầu hoạt động tốt đối với hầu hết các thông số kỹ thuật và sẽ cho kết quả rất chính xác chỉ sau lần lặp lại phương pháp của Newton:$\Omega_0=1$$\Omega_1$$(0,1)$$\Omega_1^{(0)}=0.1$$4$

$$\Omega_1^{(n+1)}=\Omega_1^{(n)}-\frac{f(\Omega_1^{(n)})}{f'(\Omega_1^{(n)})}\tag{12}$$

Với thu được với một vài lần lặp chúng ta có thể xác định và và chúng tôi sử dụng và để tính các hệ số của bộ lọc thời gian rời rạc. Lưu ý rằng hằng số hiện được cung cấp bởi .$\Omega_1$$(12)$$\Omega_2=1/\Omega_1$$\Delta\Omega=\Omega_2-\Omega_1$$(5)$$(6)$$c$$c=\tan(\omega_0/2)$

Ví dụ 1:

Hãy chỉ định và băng thông quãng tám. Điều này tương ứng với tỷ lệ . Với dự đoán ban đầu về , lần lặp lại phương pháp của Newton đã dẫn đến một giải pháp , từ đó các hệ số của thời gian rời rạc có thể được tính toán như đã giải thích ở trên. Hình dưới đây cho thấy kết quả:$\omega_0=0.6\pi$$0.5$$r=\omega_2/\omega_1=2^{0.5}=\sqrt{2}=1.4142$$\Omega_1=0.1$$4$$\Omega_1=0.71$

Bộ lọc đã được tính toán với tập lệnh Matlab / Octave này:

% thông số kỹ thuật
bw = 0,5; % băng thông mong muốn trong quãng tám
w0 = .6 * pi; % tần số cộng hưởng

r = 2 ^ (bw); % tỷ lệ các cạnh của dải
W1 = .1; % dự đoán ban đầu (hoạt động cho hầu hết các thông số kỹ thuật)
Nit = 4; Lặp lại% # Newton
c = tan (w0 / 2);

% Newton
cho i = 1: Nit,
    f = r * atan (c * W1) - atan (c / W1);
    fp = c * (r / (1 + c ^ 2 * W1 ^ 2) + 1 / (c ^ 2 + W1 ^ 2));
    W1 = W1 - f / fp
kết thúc

W1 = abs (W1);
if (W1> = 1), lỗi ('Không thể hội tụ. Giảm giá trị của dự đoán ban đầu.'); kết thúc

W2 = 1 / W1;
dW = W2 - W1;

% bộ lọc thời gian rời rạc
tỷ lệ = 1 + dW * c + W1 * W2 * c ^ 2;
b = (dW * c / thang đo) * [1,0, -1];
a = [1, 2 * (W1 * W2 * c ^ 2-1) / thang đo, (1-dW * c + W1 * W2 * c ^ 2) / thang đo];

Ví dụ 2:

Tôi thêm một ví dụ khác để chỉ ra rằng phương pháp này cũng có thể xử lý các thông số kỹ thuật mà hầu hết các phép tính gần đúng sẽ cho kết quả không nhạy cảm. Đây thường là trường hợp khi băng thông mong muốn và tần số cộng hưởng đều lớn. Hãy thiết kế bộ lọc với và quãng tám. Bốn lần lặp lại phương pháp của Newton với dự đoán ban đầu dẫn đến giá trị cuối cùng là , tức là trong băng thông của nguyên mẫu tương tự quãng tám. Bộ lọc thời gian rời rạc tương ứng có các hệ số sau và đáp ứng tần số của nó được hiển thị trong biểu đồ bên dưới:$\omega_0=0.95\pi$$bw=4$$\Omega_1^{(0)}=0.1$$\Omega_1=0.00775$$\log_2(\Omega_2/\Omega_1)=\log_2(1/\Omega_1^2)\approx 14$

b = 0.90986 * [1,0, -1];
a = [1,00000 0,17806 -0,8172];

Các cạnh của nửa dải công suất thu được là và , thực sự cách nhau chính xác quãng tám (tức là hệ số ) cách nhau.$\omega_1=0.062476\pi$$\omega_2 = 0.999612\pi$$4$$16$

được rồi, tôi đã hứa sẽ đưa tiền thưởng và tôi sẽ giữ lời hứa. nhưng tôi phải thú nhận rằng tôi có thể từ bỏ một chút về việc hài lòng với chỉ đạo hàm thứ ba của . những gì tôi thực sự muốn là hai hệ số cho .$f(x)$$g(y)$

vì vậy tôi đã không nhận ra rằng có ngôn ngữ Wolfram này thay thế cho toán học hoặc Derive và tôi không nhận ra nó có thể dễ dàng tính toán đạo hàm thứ ba và đơn giản hóa biểu thức.

và anh chàng Markus tại toán SE này đã đăng câu trả lời này (mà tôi nghĩ rằng sẽ phải là số lượng grunge tôi nghĩ sẽ cần thiết).

$$\begin{align*} y = f(x) &= \ln\left(\arctan\left(\alpha e^x\right)\right) - \ln\left(\arctan\left(\alpha e^{-x}\right)\right)\\ \\ &\approx a_1 x \ + \ a_3 x^3 \\ \\ &=\frac{2\alpha}{(1+\alpha^2)\arctan(\alpha)} x + \frac{\alpha}{3(1+\alpha^2)^3\arctan(\alpha)}\Bigg(\alpha^4-6\alpha^2+1\\ &\qquad\left.-\frac{3\alpha(1-\alpha^2)}{\arctan(\alpha)}+\frac{2\alpha^2}{\left(\arctan(\alpha)\right)^2}\right) x^3 \\ \\ \end{align*}$$

vì vậy tôi kết hợp xấp xỉ bậc ba với nghịch đảo:

$$\begin{align*} x = g(y) &\approx b_1 y \ + \ b_3 y^3 \\ \\ &= \frac{1}{a_1} y \ - \ \frac{a_3}{a_1^4} y^3 \\ \\ &= \frac{(1+\alpha^2)\arctan(\alpha)}{2\alpha} y - \frac{(1+\alpha^2)(\arctan(\alpha))^3}{48 \alpha^3}\Bigg(\alpha^4-6\alpha^2+1 \\ &\qquad\left.-\frac{3\alpha(1-\alpha^2)}{\arctan(\alpha)}+\frac{2\alpha^2}{\left(\arctan(\alpha)\right)^2}\right) y^3 \\ \\ &= \frac{(1+\alpha^2)\arctan(\alpha)}{2\alpha} y - \frac{(1+\alpha^2)(\arctan(\alpha))^3}{48 \alpha}\Bigg(\alpha^2-6+\alpha^{-2} \\ &\qquad\left.-\frac{3(1-\alpha^2)}{\alpha\arctan(\alpha)}+\frac{2}{\left(\arctan(\alpha)\right)^2}\right) y^3 \\ \\ &= y \left(\arctan(\alpha)\frac{\alpha + \alpha^{-1}}{2}\right) \Bigg(1 \ + \\ & \left((\arctan(\alpha))^2\left(1-\frac{\alpha^2+\alpha^{-2}}{6} \right) - \arctan(\alpha)\frac{\alpha-\alpha^{-1}}{2}-\frac{1}{3}\right) \frac{y^2}{4} \Bigg) \\ \\ \end{align*}$$

tôi đã hy vọng người khác sẽ làm điều này. nhớ lại , và$y=f(x) \triangleq \ln(2) \, bw$$g(y) = x \triangleq \frac{\ln(2)}{2}BW$$\alpha \triangleq \tan(\omega_0/2)$

$$\begin{align*} x = g(y) &\approx y \left(\arctan(\alpha)\frac{\alpha + \alpha^{-1}}{2}\right) \Bigg(1 \ + \\ & \left((\arctan(\alpha))^2\left(1-\frac{\alpha^2+\alpha^{-2}}{6} \right) - \arctan(\alpha)\frac{\alpha-\alpha^{-1}}{2}-\frac{1}{3}\right) \frac{y^2}{4} \Bigg) \\ \\ \frac{\ln(2)}{2}BW &\approx (\ln(2) bw) \left(\arctan(\alpha)\frac{\alpha + \alpha^{-1}}{2}\right) \Bigg(1 \ + \\ & \left((\arctan(\alpha))^2\left(1-\frac{\alpha^2+\alpha^{-2}}{6} \right) - \arctan(\alpha)\frac{\alpha-\alpha^{-1}}{2}-\frac{1}{3}\right) \frac{(\ln(2) bw)^2}{4} \Bigg) \\ \\ \end{align*}$$

tôi có ba danh tính thuận tiện:

$$\frac12 \left(\alpha + \alpha^{-1} \right) = \frac12 \left(\tan(\omega_0/2) + \frac{1}{\tan(\omega_0/2)} \right) = \frac{1}{\sin(\omega_0)} \\ $$

$$\frac12 \left(\alpha - \alpha^{-1} \right) = \frac12 \left(\tan(\omega_0/2) - \frac{1}{\tan(\omega_0/2)} \right) = -\frac{1}{\tan(\omega_0)} \\ $$

$$\frac12 \left(\alpha^2 + \alpha^{-2} \right) = \frac12 \left(\tan^2(\omega_0/2) + \frac{1}{\tan^2(\omega_0/2)} \right) = \frac{1}{\sin^2(\omega_0)} + \frac{1}{\tan^2(\omega_0)} \\ = \frac{2}{\sin^2(\omega_0)} - 1$$

"Cuối cùng" chúng tôi đã nhận được:

$$BW \approx bw \, \frac{\omega_0}{\sin(\omega_0)} \left(1 \ + \ \frac{(\ln(2))^2}{24} \left( 2(\omega_0^2 - 1) - \left(\frac{\omega_0}{\sin(\omega_0)}\right)^2 + 3\frac{\omega_0}{\tan(\omega_0)} \right) (bw)^2 \right)$$

Điều này không tệ lắm. phù hợp trên một dòng duy nhất. Nếu ai đó thấy một lỗi hoặc một cách tốt để đơn giản hóa hơn nữa, xin vui lòng cho tôi biết.

với xấp xỉ chuỗi lũy thừa từ nhận xét trên,

$$BW \approx bw \, \frac{\omega_0}{\sin(\omega_0)} \left(1 \ + \ (\ln(2))^2 \left( \tfrac{1}{36}\omega_0^2 - \tfrac{1}{180}\omega_0^4 - \tfrac{2}{2835}\omega_0^6 \right) (bw)^2 \right)$$

Vì vậy, đây là một số kết quả định lượng. tôi đã vẽ sơ đồ băng thông cho bộ lọc kỹ thuật số trên trục x và kết quả là băng thông kỹ thuật số trên trục y. có năm ô từ màu xanh sang màu đỏ biểu thị tần số cộng hưởng chuẩn hóa bởi Nyquist:$bw$$\omega_0$

$\frac{\omega_0}{\pi} =$ [0,0002 0,2441 0,4880 0,7320 0,9759]

vì vậy tần số cộng hưởng đi từ gần DC đến gần Nyquist.

ở đây không có đền bù (hoặc cong vênh trước) cho băng thông:

Đây là phần bù đơn hàng đầu tiên đơn giản mà Cookbook đã thực hiện cùng:

đây là khoản bồi thường thứ ba mà chúng tôi vừa giải quyết ở đây:

những gì chúng tôi muốn là cho tất cả các dòng nằm trực tiếp trên đường chéo chính.

tôi đã phạm một lỗi trong trường hợp thứ ba và sửa nó trong lần sửa đổi này. nó không trông như xấp xỉ bậc thứ ba để là một chút tốt hơn so với xấp xỉ bậc nhất cho nhỏ .b $g(y)$$bw$

vì vậy tôi đã thay đổi hệ số của thuật ngữ bậc 3 (tôi muốn giữ nguyên thuật ngữ bậc 1 như nhau), làm giảm hiệu quả của nó. đây là từ nhân chỉ số hạng thứ 3 với 50%:

điều này đang giảm xuống còn 33%:

và điều này đang giảm thời hạn đặt hàng thứ 3 xuống 25%:

vì đối tượng của hàm nghịch đảo là hoàn tác hàm đã chỉ định, nên điểm của toàn bộ điều này là lấy các đường cong của hàm tổng hợp nằm càng gần đường chéo chính càng tốt. Nó không quá tệ với tới 75% Nyquist cho tần số cộng hưởng và băng thông 3 quãng tám . nhưng không tốt hơn nhiều để thực sự làm cho nó có giá trị trong mã "nấu hệ số" được thực thi bất cứ khi nào người dùng xoay núm hoặc trượt một thanh trượt. b $\omega_0$$bw$