Xấp xỉ IIR (Bộ lọc AR) tốt nhất cho Bộ lọc trung bình di chuyển (Bộ lọc FIR) là gì?

Giả sử Bộ lọc IIR thứ tự đầu tiên sau đây:

$$y[n] = \alpha x[n] + (1 - \alpha) y[n - 1]$$

Làm cách nào tôi có thể chọn tham số st IIR gần đúng nhất có thể với FIR, đó là giá trị trung bình số học của các mẫu cuối cùng :$\alpha$$k$

$$z[n] = \frac{1}{k}x[n] + \frac{1}{k}x[n-1] + \ldots + \frac{1}{k}x[n-k+1]$$

Trong đó , có nghĩa là đầu vào cho IIR có thể dài hơn và tôi muốn có xấp xỉ tốt nhất về giá trị trung bình của đầu vào cuối cùng .$n \in [k, \infty)$$k$$k$

Tôi biết IIR có đáp ứng xung vô hạn, do đó tôi đang tìm kiếm xấp xỉ tốt nhất. Tôi rất vui vì giải pháp phân tích cho dù đó là hàm chi phí hay .${L}_{2}$${L}_{1}$

Làm thế nào có thể giải quyết vấn đề tối ưu hóa này chỉ với IIR bậc 1.

Cảm ơn.

Không có giải pháp phân tích nào cho là một vô hướng (tôi nghĩ). Đây là tập lệnh cung cấp cho bạn cho một cho . Nếu bạn cần nó trực tuyến, bạn có thể xây dựng một LUT. Kịch bản tìm giải pháp giảm thiểu$\alpha$$\alpha$$K$

$$\int_{0}^{\pi} dw \quad \left|H_1(jw) - H_2(jw)\right|^2$$

Trong đó là đáp ứng tần số FIR và là đáp ứng tần số IIR.$H_1$$H_2$

Bạn đã không chỉ định bất kỳ phạm vi nào cho K. Nhưng tôi chỉ muốn làm rõ rằng hệ thống sau tương đương với bộ lọc trung bình của bạn và có cùng độ phức tạp tính toán và thứ tự IIR đầu tiên của bạn!

$H(z) = \frac{1}{K} \frac{1 - z^{-K}}{1-z^{-1}}$

function a = find_a(K)

w = 0.0001:0.001:pi;
as = [-1:0.001:-0.001  0.001:0.001:1];

E = zeros(size(as));
for idx=1:length(as)
    fJ = J(w,as(idx),K);
    E(idx) = sum(fJ);
end

[Emin, indx] = min(E)
a = as(indx)

function f = J(w,a,K)
    num = 2*(2-a)*(1-cos(w*K)) + 2*(cos(w*(K-1)) - cos(w)) - 2*(1-a)*(cos(w)-cos(w*(K+1)));
    den = (2-a)^2 + 1 + (1-a)^2 + 2*(1-a)*cos(2*w) - 2*(2-a)^2*cos(w);
    f = -(a/K)*num./den;
    f = f+(1/K^2)*(1-cos(w*K))./(1-cos(w))+a^2./(1+(1-a)^2-2*(1-a)*cos(w));
end

end

Có một cuộc thảo luận thú vị về vấn đề này trong Xử lý tín hiệu nhúng với Kiến trúc tín hiệu vi mô , khoảng giữa các trang 63 và 69 . Trên trang 63 , nó bao gồm một dẫn xuất của bộ lọc trung bình di chuyển đệ quy chính xác (mà niaren đã đưa ra trong câu trả lời của mình ),

$$H(z) = { 1 \over{N} } { 1 - z^{-N} \over { 1 - z^{-1} } }.$$

Để thuận tiện cho các cuộc thảo luận sau, nó tương ứng với phương trình khác biệt sau:

$$y_n = y_{n-1} + {1\over{N} }(x_n - x_{n-N}).$$

Phép tính gần đúng đặt bộ lọc vào dạng bạn đã chỉ định yêu cầu giả sử rằng , bởi vì (và tôi trích dẫn từ trang 68 ) " y n - 1 là trung bình của các mẫu x n ". Phép tính gần đúng đó cho phép chúng ta đơn giản hóa phương trình sai phân trước như sau:$x_{n-N} \approx y_{n-1}$$y_{n-1}$$x_n$

$$\begin{array}\\ y_{n} = y_{n-1} + {1\over{N}}(x_n - y_{n-1}) \\ y_{n} = y_{n-1} - {1\over{N}} y_{n-1} + {1\over{N}}x_n \\ y_{n} = (1-{1\over{N}})y_{n-1} + {1\over{N}}x_n. \end{array}$$

Đặt , chúng tôi đến mẫu ban đầu của bạn,yn=αxn+(1-α)yn-1, cho thấy hệ số bạn muốn (đối với xấp xỉ này) chính xác là$\alpha = {1\over{N}}$$y_{n} = \alpha x_n + (1-\alpha)y_{n-1}$ (trong đóNlà số lượng mẫu). $1\over{N}$$N$

Đây có phải là xấp xỉ "tốt nhất" trong một số khía cạnh? Nó chắc chắn thanh lịch. Đây là cách đáp ứng cường độ so sánh [ở 44,1kHz] cho N = 3 và khi N tăng lên 10 (xấp xỉ màu xanh lam):

---

Như câu trả lời của Peter cho thấy, việc xấp xỉ bộ lọc FIR với bộ lọc đệ quy có thể có vấn đề theo một tiêu chuẩn bình phương tối thiểu. Một cuộc thảo luận rộng rãi về cách giải quyết vấn đề này nói chung có thể được tìm thấy trong luận án của JOS, Kỹ thuật thiết kế bộ lọc kỹ thuật số và nhận dạng hệ thống với ứng dụng cho đàn violin . Anh ta ủng hộ việc sử dụng Hankel Norm, nhưng trong trường hợp phản ứng pha không thành vấn đề, anh ta cũng đề cập đến Phương pháp của Kopec, có thể hoạt động tốt trong trường hợp này (và sử dụng định mức ). Tổng quan rộng về các kỹ thuật trong luận án có thể được tìm thấy ở đây . Họ có thể mang lại xấp xỉ thú vị khác.$L^2$

OK, chúng ta hãy cố gắng rút ra điều tốt nhất: sao cho hệ số củax[n-m]làα(1-

$$\begin{array}{lcl} y[n] &=& \alpha x[n] + (1 - \alpha) y[n - 1] \\ &=& \alpha x[n] + (1 - \alpha) \alpha x[n-1] + (1 - \alpha)^2 y[n - 2]\\ &=& \alpha x[n] + (1 - \alpha) \alpha x[n-1] + (1 - \alpha)^2 \alpha x[n-2] + (1 - \alpha)^3 y[n - 3]\\ \end{array}$$ $x[n-m]$ .$\alpha(1-\alpha)^m$

Xấp xỉ trung bình vuông tốt nhất sẽ hạn chế tối đa: vì các hệ số FIR bằng 0 chom>k-1.

$$\begin{array}{lcl} J(\alpha) &=& \sum_{m=0}^{k-1} (\alpha(1-\alpha)^m - \frac{1}{k})^2 + \sum_{m=k}^\infty \alpha^2(1-\alpha)^{2m}\\ &=& \sum_{m=0}^{k-1} \left(\alpha^2(1-\alpha)^{2m} - \frac{2}{k}\alpha(1-\alpha)^m + \frac{1}{k^2}\right) + \alpha^2 (1-\alpha)^{2k} \sum_{m=0}^\infty (1-\alpha)^{2m} \\ &=& \alpha^2\frac{1- (1-\alpha)^{2k}}{1 - (1-\alpha)^2} + \frac{2\alpha}{k} \frac{1 - (1 - \alpha)^k}{1 - (1 - \alpha)} + \frac{\alpha^2(1-\alpha)^{2k}}{1 - (1 - \alpha)^2}+ \frac{1}{k}\\ &=& \frac{\alpha^2}{1 - (1 - \alpha)^2} + \frac{2}{k} (1-(1-\alpha)^k) + \frac{1}{k}\\ &=& \frac{\alpha^2}{2\alpha - \alpha^2 }+ \frac{2}{k} (1-(1-\alpha)^k)+ \frac{1}{k}\\ &=& \frac{\alpha}{2 - \alpha }+ \frac{2}{k} (1-(1-\alpha)^k)+ \frac{1}{k}\\ \end{array}$$ $m > k - 1$

Bước tiếp theo là lấy đạo hàm và bằng không.

---

Nhìn vào một biểu đồ của dẫn xuất cho K = 1000 và α từ 0 đến 1, có vẻ như vấn đề (như tôi đã thiết lập) là không hợp lý, bởi vì câu trả lời tốt nhất là α = 0 .$J$$K = 1000$$\alpha$$\alpha = 0$

---

Tôi nghĩ rằng có một sai lầm ở đây. Cách nó phải theo tính toán của tôi là:

$$\begin{array}{lcl} J(\alpha) &=& \sum_{m=0}^{k-1} (\alpha(1-\alpha)^m - \frac{1}{k})^2 + \sum_{m=k}^\infty \alpha^2(1-\alpha)^{2m} \\ &=& \sum_{m=0}^{k-1} \left(\alpha^2(1-\alpha)^{2m} - \frac{2}{k}\alpha(1-\alpha)^m + \frac{1}{k^2}\right) + \alpha^2 (1-\alpha)^{2k} \sum_{m=0}^\infty (1-\alpha)^{2m} \\ &=& \alpha^2\frac{1- (1-\alpha)^{2k}}{1 - (1-\alpha)^2} - \frac{2\alpha}{k} \frac{1 - (1 - \alpha)^k}{1 - (1 - \alpha)} + \frac{1}{k} + \frac{\alpha^2(1-\alpha)^{2k}}{1 - (1 - \alpha)^2} \end{array}$$

Đơn giản hóa nó theo năng suất Mathicala:

$$J(\alpha) = \frac{\alpha}{2 - \alpha} + \frac{2 {(1 - \alpha)}^{k} -1}{k}$$

Sử dụng mã sau đây trên MATLAB mang lại một cái gì đó tương đương mặc dù khác nhau:

syms a k;

expr1 = (a ^ 2) * ((1 - ((1 - a) ^ (2 * k))) / (1 - ((1 - a) ^ 2)));
expr2 = ((2 * a) / k) * ((1 - ((1 - a) ^ (k))) / (1 - (1 - a)));
expr3 = (1 / k);
expr4 = ((a ^ 2) * ((1 - a) ^ (2 * k))) / (1 - ((1 - a) ^ (2)));

simpExpr = simplify(expr1 - expr2 + expr3 + expr4);

$$J(\alpha) = \frac{-2}{\alpha - 2} - \frac{k - 2{(1 - \alpha)}^{k} + 1}{k}$$

Nhưng dù sao, những chức năng đó có tối thiểu.

---

Vì vậy, hãy giả sử rằng chúng tôi thực sự chỉ quan tâm đến sự gần đúng về mức hỗ trợ (độ dài) của bộ lọc FIR. Trong trường hợp đó, bài toán tối ưu hóa chỉ là:

$$J_2(\alpha) = \sum_{m=0}^{k-1} (\alpha(1-\alpha)^m - \frac{1}{k})^2$$

Vẽ biểu đồ cho các giá trị khác nhau của K so với kết quả α trong ngày trong các ô và bảng bên dưới.$J_2(\alpha)$$K$$\alpha$

Với = 8. α m i n = 0.1533333 Với K = 16. α m i n = 0.08 Với K = 24. α m i n = 0,0533333 Với K = 32. α m i n = 0,04 Với K = 40. α m i n = 0,0333333 Với K = 48. α m i n = 0,0266667 Với$K$$\alpha_{\tt min}$
$K$$\alpha_{\tt min}$
$K$$\alpha_{\tt min}$
$K$$\alpha_{\tt min}$
$K$$\alpha_{\tt min}$
$K$$\alpha_{\tt min}$
= 56. α m i n = 0,0233333 Với K = 64. α m i n = 0,02 Với K = 72. α m i n = 0,0166667 $K$$\alpha_{\tt min}$
$K$$\alpha_{\tt min}$
$K$$\alpha_{\tt min}$

Các đường đứt nét màu đỏ là và các đường màu xanh lá cây là α m i n , giá trị của α làm giảm thiểu J 2 ( α ) (được chọn từ a l p h a = [ 0 : .01 : 1 ] / 3 ; ) .$1/K$$\alpha_{\tt min}$$\alpha$$J_2(\alpha)$$\tt alpha = [0:.01:1]/3;$

Dựa trên các thử nghiệm thử nghiệm ktrong phạm vi (2 đến 100), mức phù hợp nhất (lỗi bình phương tổng) cho thấy mối quan hệ alfa = 1/k^0.865 là ksố lượng mẫu cho bộ lọc MovAvg

$\alpha$

$N$

$$h_{FIR}[n]=\frac{1}{N}(u[n]-u[n-N])\tag{1}$$

$u[n]$

$$y[n]=\alpha x[n]+(1-\alpha)y[n-1]\tag{2}$$

có phản ứng thúc đẩy

$$h_{IIR}[n]=\alpha(1-\alpha)^nu[n]\tag{3}$$

Mục tiêu bây giờ là giảm thiểu lỗi bình phương

$$\epsilon=\sum_{n=0}^{\infty}\left(h_{FIR}[n]-h_{IIR}[n]\right)^2\tag{4}$$

$(1)$$(3)$

$$\begin{align}\epsilon(\alpha)&=\sum_{n=0}^{N-1}\left(\alpha(1-\alpha)^n-\frac{1}{N}\right)^2+\sum_{n=N}^{\infty}\alpha^2(1-\alpha)^{2n}\\&=\alpha^2\sum_{n=0}^{\infty}(1-\alpha)^{2n}-\frac{2\alpha}{N}\sum_{n=0}^{N-1}(1-\alpha)^n+\sum_{n=0}^{N-1}\frac{1}{N^2}\\&=\frac{\alpha^2}{1-(1-\alpha)^2}-\frac{2\alpha}{N}\frac{1-(1-\alpha)^N}{1-(1-\alpha)}+\frac{1}{N}\\&=\frac{\alpha}{2-\alpha}-\frac{2}{N}\left(1-(1-\alpha)^N\right)+\frac{1}{N},\qquad 0<\alpha<2\tag{5}\end{align}$$

$\alpha$$(5)$$(2)$

$(5)$

$$(1-\alpha)^{N-1}(2-\alpha)^2=1\tag{6}$$

$\alpha$$(0,1]$$\alpha$$(3)$

$(6)$$\beta=1-\alpha$

$$\beta^{(N+1)/2}+\beta^{(N-1)/2}-1=0\tag{7}$$

$\beta$$N$

$$N=-2\frac{\log(1+\beta)}{\log(\beta)},\qquad \beta\neq 0\tag{8}$$

$(8)$$(7)$$N$

$(7)$

N = 50; % chiều dài bộ lọc mong muốn của bộ lọc trung bình di chuyển FIR

if (N == 1)% không lặp lại cho trường hợp tầm thường
    b = 0;
khác
    Lặp lại% Newton
    b = 1; % giá trị bắt đầu
    Nit = 7;
    n = (N + 1) / 2;
    cho k = 1: Nit,
        f = b ^ n + b ^ (n-1) -1;
        fp = n * b ^ (n-1) + (n-1) * b ^ (n-2);
        b = b - f / fp;
    kết thúc

    % kiểm tra kết quả
    N0 = -2 * log (1 + b) / log (b) + 1% phải bằng N
kết thúc

a = 1 - b;

$\alpha$$N$

   N alpha

   1 1.0000e + 00
   2 5.3443e-01
   3 3.8197e-01
   4 2,9839e-01
   5 2.4512e-01
   6 2.0809e-01
   7 1.8083e-01
   8 1.5990e-01
   9 1.4333e-01
  10 1.2987e-01
  20 6.7023e-02
  30 4.5175e-02
  40 3.4071e-02
  50 2,7349e-02
  60 2.2842e-02
  70 1.9611e-02
  80 1.7180e-02
  90 1.5286e-02
 100 1.3768e-02
 200 6.9076e-03 
 300 4.6103e-03
 400 3,4597e-03
 500 2.7688e-03
 600 2.3078e-03
 700 1.9785e-03
 800 1.7314e-03
 900 1.5391e-03
1000 1.3853e-03