Hiệp phương sai vs Autocorrelation

11

Tôi đang cố gắng tìm hiểu xem có mối quan hệ trực tiếp giữa các khái niệm này không. Nghiêm khắc từ các định nghĩa, chúng dường như là các khái niệm khác nhau nói chung. Tôi càng nghĩ về nó, tôi càng nghĩ chúng rất giống nhau.

Gọi là các vectơ ngẫu nhiên WSS. Hiệp phương sai, , được đưa ra bởi trong đó là viết tắt của Hermiti của vectơ. $X,Y$ $C_{XY}$

C_{X Y} = E [(X - μ_{x}) (Y - μ_{y})^{H}]

$C_{XY}=E\left[(X-\mu_x)(Y-\mu_y)^H\right]$

H

$H$

Đặt là vectơ ngẫu nhiên WSS. Hàm tự tương quan, , được đưa ra bởi $Z$ $R_{XX}$

R_{Z Z} (τ) = E [(Z (n) - μ_{z}) {(Z (n + τ) - μ_{z})}^{H}]

$R_{ZZ}(\tau)=E\left[\left(Z(n)-\mu_z\right)\left(Z(n+\tau)-\mu_z\right)^H\right]$

Chỉnh sửa Lưu ý Có một chỉnh sửa cho định nghĩa này như được áp dụng cho xử lý tín hiệu, xem Câu trả lời của Matt bên dưới.

Hiệp phương sai không liên quan đến khái niệm thời gian, nó giả sử mỗi phần tử của vectơ ngẫu nhiên là một nhận thức khác nhau của một số trình tạo ngẫu nhiên. Autocorrelation giả định một vectơ ngẫu nhiên là sự tiến hóa thời gian của một số trình tạo ngẫu nhiên ban đầu. Tuy nhiên, cuối cùng, cả hai đều là cùng một thực thể toán học, một chuỗi các số. Nếu bạn để , thì nó xuất hiện Có điều gì tinh tế hơn mà tôi đang thiếu không? $X=Y=Z$

C_{X Y} = R_{Z Z}

$C_{XY}=R_{ZZ}$

autocorrelation covariance proof

— chuông
nguồn

Định nghĩa của AutoCorrelation được nêu không chính xác trong câu hỏi như được chỉ ra bởi Matt

R_{Z Z} (τ)

$R_{ZZ}(\tau)$

— ijuneja

11

Theo định nghĩa của bạn về tự tương quan, tự động tương quan đơn giản là hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên và . Chức năng này cũng được gọi là autocovariance . $Z(n)$ $Z(n+\tau)$

Bên cạnh đó, trong xử lý tín hiệu, tự động tương quan thường được định nghĩa là

R_{X X} (t_{1}, t_{2}) = E {X (t_{1}) X^{*} (t_{2})}

$R_{XX}(t_1,t_2)=E\{X(t_1)X^*(t_2)\}$

tức là không trừ đi giá trị trung bình Chế độ tự động được đưa ra bởi

C_{X X} (t_{1}, t_{2}) = E {[X (t_{1}) - μ_{X} (t_{1})] [X^{*} (t_{2}) - μ_{X}^{*} (t_{2})]}

$C_{XX}(t_1,t_2)=E\{[X(t_1)-\mu_X(t_1)][X^*(t_2)-\mu^*_X(t_2)]\}$

Hai chức năng này có liên quan bởi

C_{X X} (t_{1}, t_{2}) = R_{X X} (t_{1}, t_{2}) - μ_{X} (t_{1}) μ_{X}^{*} (t_{2})

$C_{XX}(t_1,t_2)=R_{XX}(t_1,t_2)-\mu_X(t_1)\mu^*_X(t_2)$

— Matt L
nguồn

Nếu bạn xem là một biến, thì tự động tương quan trở thành một hàm của "khoảng cách thời gian" đó có thể mang lại thông tin rất thú vị về tập dữ liệu. Nhìn vào mối quan hệ giữa tự tương quan, biến đổi Fourier rời rạc và định lý Wiener mật Khinchin.

τ

$\tau$

— PhilMacKay

@PhilMacKay: Chắc chắn, nhưng điều đó chỉ hoạt động cho các quy trình WSS. Tôi đã đưa ra các định nghĩa cho trường hợp chung, trong đó các quy trình không nhất thiết phải đứng yên.

— Matt L.

Có thực sự các quy trình không cố định có thể gây khó chịu cho phân tích dữ liệu, đó là lý do tại sao tôi luôn cố gắng khử xu hướng dữ liệu trước khi sử dụng các công cụ thống kê yêu thích của mình! Không phải lúc nào cũng có thể, mặc dù ...

— PhilMacKay

0

Lưu ý cách định nghĩa Autocorrelation của bạn bao gồm một thuật ngữ bổ sung , trong đó chỉ định phần bù từ hai chuỗi số và . Trong thực tế, ký hiệu cho thấy là một hàm liên tục được xác định cho bất kỳ , trong khi là vô hướng. $\tau$ $Z(n)$ $Z(n+\tau)$ $R_{ZZ}(\tau)$ $\tau \in \mathbb{R}^+$ $C_{XY}$

Như bạn đã đề cập, nếu bạn để , thì bạn đang ngụ ý rằng , đó là một trường hợp đặc biệt của . $X=Y=Z$ $\tau = 0$ $R_{ZZ}(\tau)$

Theo kinh nghiệm cá nhân của tôi (vật lý thiên văn, xử lý cảm biến khác nhau), hiệp phương sai được sử dụng như một hệ số để kiểm tra sự giống nhau của hai bộ dữ liệu, trong khi tự động tương quan được sử dụng để mô tả khoảng cách tương quan, nghĩa là dữ liệu phát triển nhanh đến mức nào để trở thành dữ liệu khác hoàn toàn

— PhilMacKay
nguồn