Là tín hiệu này hoàn hảo tái cấu trúc?

Câu hỏi như sau:

Hãy để tôi làm phân tích:

Đường xuống trước: started Và đường lên:

$$\begin{align} X_1(z) &= z^{-1}X(z)\\ X_2(z) &= \frac{1}{2}\left\{X_1\left(z^\frac{1}{2}\right)+X_1\left(-z^\frac{1}{2}\right)\right\}\\ X_3(z) &= X_2(z^2) = \frac{1}{2}\left\{X_1(z)+X_1(-z)\} = \frac{1}{2}\{z^{-1}X(z)- z^{-1}X(-z)\right\}\\ X_4(z) &= zX_3(z) = \frac{1}{2}\left\{X(z)- X(-z)\right\} \end{align}$$ $$X_6(z) = X_5(z^2) = \frac{1}{2}\{X(z) + X(-z) \}$$

Vậy tín hiệu được tạo lại là:

$$\bar{X}(z) = X_4(z) + X_6(z) = X(z)$$

Nhưng tôi rất bối rối rằng ngân hàng bộ lọc này không đáp ứng việc tái thiết hoàn hảo theo các hệ thống đa ngân hàng và bộ lọc của PP V. tại trang 193:

$$F_0(z) =H_1(-z), \quad F_1(z) = -H_0(-z)\tag{5.1.7}$$

Vì vậy tôi rất bối rối. Ai có thể trả lời câu hỏi của tôi?

Vâng, tín hiệu được tái tạo hoàn hảo. Hãy xem xét quá trình ở mỗi giai đoạn như tôi trình bày bằng sơ đồ khối bên dưới:

Xem xét từng mẫu tín hiệu tại mỗi nút trong sơ đồ (mỗi mẫu được hiển thị bằng chỉ số mẫu tại nút cho mỗi hàng):

(Lưu ý: Bạn thấy hình thức tái cấu trúc tương tự trong thuật toán FFT).

Tôi sẽ cố gắng minh họa cách khử răng cưa (giải quyết bình luận của MBaz):

Trước tiên hãy xem xét đáp ứng tần số của (và ). là biến đổi z của DELAY 1 mẫu trong miền thời gian (xem Làm thế nào / tại sao -transform và độ trễ đơn vị có liên quan? ). Đáp ứng tần số của độ trễ là cường độ không đổi và pha tuyến tính (như chúng ta sẽ thấy với cáp có độ dài cố định; tần số rất thấp sẽ chỉ bị trễ một phần của chu kỳ, trong khi tần số cao hơn sẽ bị trễ vài chu kỳ:$z^{-1}$$z^{+1}$$z^{-1}$$\mathcal Z$

Cụ thể cho , vì độ trễ là 1 mẫu trên mỗi chu kỳ, biên độ sẽ không đổi (1) và pha sẽ tuyến tính từ 0 đến cho trục tần số đi từ 0 đến tốc độ lấy mẫu của chúng tôi . (Và là một khoản tạm ứng thay vì độ trễ sẽ tương tự với pha dương so với tần số:$z^{-1}$$-2\pi$$z^{+1}$

Pha chỉ được hiển thị bên dưới (cường độ là 1 cho tất cả các tần số)

Hãy xem xét phổ kỹ thuật số sau đây để xem điều gì xảy ra khi chúng ta đi qua hệ thống được trình bày bởi OP. (Lưu ý, khi làm việc với các hệ thống đa tốc độ, cũng như các hệ thống kỹ thuật số tương tự tín hiệu hỗn hợp, nó đã giúp tôi xem trục tần số từ đến , mà tôi mô tả bên dưới).$-\infty$$+\infty$

Bây giờ hãy quan sát điều tuyệt vời xảy ra khi chúng ta so sánh phổ ban đầu của chúng ta với phổ đó sau một độ trễ đơn vị. Tôi đang nhấn mạnh rằng giai đoạn đó tại đã xoay 180 °, và sau đó hoàn toàn 360 ° trở lại 0 ° tại . Sự xoay này liên tục từ sự dịch pha tuyến tính từ 0 đến tốc độ lấy mẫu (mà tôi gặp khó khăn khi hiển thị trong hình này-- Tôi sẽ biết ơn mãi mãi nếu ai đó có thể tạo cho tôi một sơ đồ 3d cho thấy hiệu ứng xoắn ốc thực tế với quang phổ màu đỏ và màu xanh tạo tác kể từ khi tôi sử dụng cốt truyện này trong lớp và mất quá nhiều thời gian để giải thích)$F_s/2$$F_s$

Bây giờ hãy xem lại những gì xảy ra với phổ khi chúng ta ước tính bằng 2 (bí danh mà MBaz rất quan tâm). Đối với tôi, sự tương tự của bí danh xảy ra khi bạn thực hiện chuyển đổi tương tự sang kỹ thuật số đã giúp tôi thấy được quá trình này một cách trực quan (vì decimation là "chuyển đổi kỹ thuật số sang kỹ thuật số". Nhận xét đó chỉ dành cho những người đã quen thuộc với bí danh trong A / Quá trình D.):

Cuối cùng, xem lại những gì xảy ra khi chúng ta thực hiện phép nội suy "Không chèn". Nội suy Zero-Chèn duy trì hoàn hảo phổ không có biến dạng ngoài hình ảnh mà bây giờ trở thành một phần của phổ kỹ thuật số chính của chúng tôi. Điều này là do chèn không được thực hiện bằng cách kết hợp dạng sóng của chúng tôi với đáp ứng mẫu đơn vị (đáp ứng xung).

Với nền tảng quan trọng đó, hãy theo dõi hệ thống do OP cung cấp. Đầu tiên, chúng tôi ước tính tín hiệu đầu vào của chúng tôi thành các mẫu chẵn và lẻ. Lưu ý xoay do sự chậm trễ và sau đó là răng cưa do decimation (như mô tả ở trên, để thực sự hình dung này đúng phổ sau khi sự chậm trễ sẽ là một xoắn ốc nơi màu xanh là chính xác 180 ° ra khỏi giai đoạn tại điểm chỉ có):$f_s/2$

Các mẫu chẵn và lẻ sau đó được nội suy bởi hai bằng cách thực hiện chèn 0 và đường dẫn dưới cùng là một mẫu nâng cao (vì vậy lưu ý rằng việc đó không phải là quá trình nguyên nhân, chúng tôi sẽ kết thúc bằng "độ trễ ký sinh" của một mẫu để có thể thực sự thực hiện điều này, theo những gì đã được thực hiện trong biểu đồ). Lưu ý rằng tạo ra một đường xoắn ốc theo hướng ngược lại. Hiệu ứng kết hợp của [ , giảm dần 2, nội suy bằng 2, ] sẽ dịch pha 180 ° cho mọi thành phần tần số trên trong phổ tần ban đầu của chúng tôi, trong khi truyền mọi tần số thành phần dưới$z^{+1}$$z^{-1}$$z^{+1}$$fs/2$$fs/2$với độ dịch pha 0 ° (cũng như tạo các hình ảnh ở trung tâm của phổ mới). Do đó, bằng cách kết hợp (thêm) hai đường dẫn, phổ gốc được phục hồi!

Lưu ý: Bạn cũng có thể trừ hai phổ để có phổ đảo ngược! Lưu ý rằng việc cộng và trừ chính xác là những gì bạn làm với DFT 2pt:

$$\begin{bmatrix}1 & 1\\1 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}y_1\\y_2\end{bmatrix}$$

Chúng ta biết rằng răng cưa có thể làm hỏng thảm họa của chúng ta một cách thảm khốc và nghĩ rằng một khi các phổ bị ô nhiễm, chúng ta không thể tách rời nhiễu. Đó chắc chắn sẽ là trường hợp ở đây nếu chúng ta chỉ có một trong hai con đường, nhưng điều đang xảy ra là con đường thứ hai của chúng ta đang theo dõi bí danh của chúng ta theo cách miễn là chúng ta có cả hai con đường, chúng ta có thể hủy bỏ một cách xây dựng giao thoa. Điều này cũng cung cấp cái nhìn sâu sắc về các chương trình phát hiện nhiều người dùng.

Đầu tiên, điều kiện PP Vaidyanathan là một điều kiện đủ, không cần thiết.

Phần trên giữ mọi mẫu chẵn. Phần dưới chuyển đổi tỷ lệ cược để phát triển, giữ cho mọi (tiểu thuyết) đồng đều, và đưa (tiểu thuyết) phát triển trở lại vị trí cũ. Do đó, độ trễ và chính xác xen kẽ các evens được giữ (trên cùng) và tỷ lệ cược (dưới cùng).$z^{-1}$$z^{+1}$

Từ PP Vaidyanathan, Hình 5.1-1 tương ứng với sơ đồ của bạn với , , , , do đó$H_0(z) = 1$$H_1(z) = z^{-1}$$F_0(z) =1$$F_1(z) = z^{1}$

$$H_0(-z)F_0(z) + H_1(-z)F_1(z) = 1 +\frac{1}{-z}z^{1} = 0\,,$$

cái nào cũng được