Tại sao mẫu Moiré này trông như thế này?

Tôi đã thực hiện một số gifs biến đổi Mobius trong Matlab, và một số mẫu lạ bắt đầu xuất hiện. Tôi không chắc có cần một kiến ​​thức sâu hơn về filetype / thuật toán để hiểu hiện tượng này hay không, nhưng tôi nghĩ rằng có lẽ có thể có một lời giải thích thuần túy về mặt toán học. Hình ảnh thu được bằng cách tô màu mặt phẳng phức như bàn cờ, và sau đó đảo ngược nó bằng cách lấy đối ứng của liên hợp phức. Dưới đây là mã psuedocode cho hình ảnh với độ phóng đại :$k$

$$\begin{align} &\mbox{checkerboard}:\mathbb C \to\{\mbox{black},\mbox{white}\}\\ &\mbox{checkerboard}(z):=\begin{cases} \mbox{black} & \mbox{if }\lfloor\Im(z)\rfloor+\lfloor\Re(z)\rfloor\equiv 0\mod 2\\ \mbox{white} & \mbox{if }\lfloor\Im(z)\rfloor+\lfloor\Re(z)\rfloor\equiv 1\mod 2 \end{cases}\\ &\mbox{image} = \{z\in\mathbb C:|\Re(z)|,|\Im(z)|\leq 1\}\\ &\mbox{color}:\mbox{image}\to\{\mbox{black},\mbox{white}\}\\ &\mbox{color}(z):=\mbox{checkerboard}(k/\overline{z}) \end{align}$$

Và đây là những hình ảnh cho $k=1$ , $k=50$ và $k=200$ . Độ phân giải của mỗi hình ảnh là $1000\times 1000$ . Tôi không có nền tảng về xử lý tín hiệu, nhưng tôi sẽ háo hức học hỏi mọi thứ!

BIÊN TẬP:

• Cụ thể hơn, tại sao mẫu Moiré 'đồng bộ hóa' với độ phân giải của hình ảnh tại một số điểm nhất định?
• Mô hình Moiré có thể được dự đoán?

Bạn sẽ cần hiểu định lý lấy mẫu . Nói tóm lại, mỗi tín hiệu có cái mà chúng ta gọi là phổ , đó là biến đổi Fourier của tín hiệu khi nó ở miền thời gian (nếu là tín hiệu thời gian) hoặc miền không gian (nếu là hình ảnh. Vì biến đổi Fourier là tính từ, tín hiệu và biến đổi của nó là tương đương nhau, trên thực tế, người ta thường có thể hiểu Biến đổi Fourier là thay đổi cơ sở. Chúng tôi gọi đó là "chuyển đổi sang miền tần số", vì các giá trị của biến đổi Fourier cho các tọa độ thấp mô tả những thứ thay đổi chậm trong tín hiệu miền ban đầu (thời gian hoặc không gian), trong khi nội dung tần số cao được biểu thị bằng các giá trị biến đổi Fourier với vị trí cao.

Nói chung, phổ như vậy có thể có một sự hỗ trợ nhất định ; sự hỗ trợ là khoảng tối thiểu bên ngoài mà phổ là 0.

Nếu bây giờ bạn sử dụng một hệ thống quan sát có khả năng tái tạo tần số bị giới hạn trong một khoảng nhỏ hơn mức hỗ trợ đã nói (thường là vô hạn và luôn luôn là vô hạn đối với các tín hiệu có thời gian mở rộng hữu hạn theo thời gian hoặc không gian), bạn không thể biểu thị tín hiệu gốc với hệ thống đó.

Trong trường hợp này, ảnh của bạn có độ phân giải nhất định - cuối cùng, thực tế là bạn đánh giá giá trị của hàm tại các điểm riêng biệt trong một khoảng cách cố định, không giới hạn. Nghịch đảo của khoảng cách đó là tốc độ lấy mẫu (không gian).

Do đó, hình ảnh của bạn không thể biểu thị tín hiệu gốc - về mặt toán học đơn giản là không thể ánh xạ chức năng cơ bản thành pixel thực sự tương đương với chức năng ban đầu, vì chúng tôi biết rằng trong trường hợp này, tổng dải tần được biểu thị theo đánh giá của bạn tại các điểm riêng biệt ("lấy mẫu") bằng một nửa tốc độ lấy mẫu và do đó, phải xảy ra sự cố với phần phổ của tín hiệu của bạn cao hơn một nửa tốc độ lấy mẫu.

Trên thực tế, điều xảy ra là phổ sẽ có các bí danh - mọi thành phần phổ ở tần số bị "dịch chuyển" xuống bởi , sao cho . Trong thực tế, điều đó dẫn đến "cấu trúc" trong đó không nên có một số.$f_o \ge \frac{f_\text{sample}}{2}$$n\cdot f_\text{sample},\, n\in \mathbb Z$$|f_o-nf_\text{sample}| < \frac{f_\text{sample}}{2}$

Lấy các cấu trúc "lớn" từ hình ảnh của bạn mà tôi đã vẽ màu xanh lá cây:

Nó chắc chắn trông giống như có nội dung tần số thấp ở đây - nhưng trên thực tế, đó chỉ là nội dung có tần số cao ở tần số có bí danh là tần số thấp, vì nó gần với bội số nguyên của tỷ lệ lấy mẫu.$>\frac{f_\text{sample}}2$

Vì vậy, vâng , bạn có thể dự đoán các tạo tác xảy ra với tín hiệu 2D khi được lấy mẫu bằng cách so sánh biến đổi Fourier của nó với băng thông được cung cấp bởi tốc độ lấy mẫu.

---

Điều này có thể khác với phổ như được sử dụng trong đại số tuyến tính để mô tả các thuộc tính Eigen của các toán tử.