Giải thích mật độ phổ công suất Doppler của Clarke

Điều tôi hiểu về sự lan truyền Doppler là chuyển động tương đối giữa Máy phát (TX) và Máy thu (RX) thay đổi thời gian phơi sáng của tín hiệu. Trong mối quan hệ với TX-RX khoảng cách không đổi, việc di chuyển về phía tín hiệu "nén" TX-RX khác theo thời gian (tín hiệu mất ít thời gian để truyền), sau đó tín hiệu được "mở rộng" trong miền tần số. Tương tự, một tín hiệu "mở rộng" RX-TX di chuyển theo thời gian và "nén" phổ của nó. Nói tóm lại, đó là nhân rộng Fourier Transform. Hai trường hợp cực đoan này đặt giới hạn trái và phải của việc trải một tần số gốc giữa và trong đó là mức lan truyền Doppler tối đa. $-f_d$ $+f_d$ $f_d$

Nhìn vào mô hình Clarke, nó chỉ là mô hình nhân giống với môi trường tán xạ phong phú và góc tới bằng nhau. (liên kết để biết thêm chi tiết mô hình Clarke )

Nếu tôi hiểu rõ, có hai giả định là lý do trong môi trường đô thị:

Ray Ray mờ dần
góc đến bằng nhau, hoặc độ nhạy thu bằng nhau

Tôi đã theo toán học từ bài viết gốc, có vẻ ổn. Phổ công suất Doppler cuối cùng là $\displaystyle S(f) = \frac{1}{\pi f_d \sqrt{1 - \left(\frac{f}{f_d}\right)^2}}$

Điều tôi không hiểu là tại sao năng lượng tập trung ở hai tần số lan truyền cực lớn và trong khi các góc đến là đồng nhất. Có bất kỳ giải thích vật lý? Tôi còn thiếu gì từ mô hình Clarke nổi tiếng? $-f_d$ $f_d$ Cá nhân, mô hình này có vẻ như mô hình tốt môi trường đô thị điển hình.

RH Clarke, Một lý thuyết thống kê về thu sóng vô tuyến di động , Tạp chí kỹ thuật hệ thống Bell, tháng 7/8/1968, tr. 957ff

Câu trả lời Mặc dù câu trả lời của Carlos nắm bắt phần toán học cơ bản nhất, câu trả lời thực sự nằm trong nhận xét của ông về "ánh xạ giữa góc và tần số". Hơn nữa, câu trả lời của Maximilian cũng thú vị.

power-spectral-density doppler

— AlexTP
nguồn

Với vận tốc không đổi và không có bội số, bạn sẽ mong đợi một tần số bù không đổi cho Doppler ..

— Dan Boschen

Cảm ơn Dan, nó là chính xác. Nhưng đó không phải là lý do tại sao tôi yêu cầu giúp đỡ.

— AlexTP

Xin lỗi tôi đã hiểu nhầm câu hỏi của bạn; Tôi nghĩ Carlos đã trả lời nó bên dưới nhưng bạn đang mong đợi điều gì cho năng lượng khác với cốt truyện bạn thể hiện?

— Dan Boschen

Vâng, Carlos đã trả lời câu hỏi của tôi, nhưng trong bình luận của anh ấy. Đây là ánh xạ giữa góc đến và tần số .

θ

$\theta$

f

$f$

— AlexTP

Câu trả lời:

Một cách nghĩ đơn giản, "phi kỹ thuật" của nó là thực tế là tần số Doppler tỷ lệ thuận với . Biên độ của cosin, tuy nhiên, không được phân bố đồng đều, nhưng có trọng số lớn đối với . $\cos\theta$ $\pm 1$

Ví dụ biểu đồ để chứng minh, sử dụng mã Python / Pylab:

theta = linspace(0, 2*pi, 1001)
x = cos(theta)
hist(x)

Có thể thấy sự nghiêm ngặt hơn bằng cách lưu ý rằng và công suất nhận được ở bất kỳ góc nào tỷ lệ thuận với mức tăng góc nhỏ :

\begin{aligned} f & = f_{d} \cos θ \\ θ & = \cos^{- 1} (\frac{f}{f_{d}}) \end{aligned}

$\begin{align} f &= f_d \cos\theta\\ \theta &= \cos^{-1}\left(\frac{f}{f_d}\right) \end{align}$

d θ

$d\theta$

P (θ) \propto d θ = \frac{- 1}{f_{d} \sqrt{1 - {(\frac{f}{f_{d}})}^{2}}} d f

$P(\theta) \propto d\theta = \frac{-1}{f_d\sqrt{1-\left(\frac{f}{f_d}\right)^2}} df$

Và tổng công suất có thể được xác định bằng cách tích hợp đại lượng trên, đây chính là yếu tố xác định mật độ phổ công suất.

— Robert L
nguồn

Cảm ơn bạn. Toán học rõ ràng, nhưng không trả lời câu hỏi của tôi. Câu hỏi của tôi là giải thích vật lý của phân phối cos này là gì, hoặc cách phản xạ LoS và 180 ° thu được hầu hết năng lượng vật lý.

— AlexTP

Các phản xạ LoS và 180 độ không thu được nhiều năng lượng nhất-- điều này không được mô hình khẳng định. Nó chỉ có vẻ là như vậy bởi vì cốt truyện với các điểm kỳ dị là so với tần số, không phải là góc. Ánh xạ phi tuyến giữa tần số và góc là lý do tại sao các điểm kỳ dị xuất hiện.

— Robert L.

Cảm ơn một lần nữa, đây là những gì tôi muốn hỏi, "ánh xạ phi tuyến". Bạn có đồng ý rằng tôi có thể nói, trong một ngôn ngữ khác, nếu chúng ta sử dụng cùng một lượng băng thông để tích hợp, thì càng gần với cực trị của phổ Doppler thì dải này càng nhiều chúng ta tích lũy, và đó là Lý do tại sao chúng ta có nhiều quyền lực hơn ở các chi?

Δ f

$\Delta f$

d Θ

$d\Theta$

— AlexTP

Ngoài câu trả lời của Carlos, tôi muốn sửa lại cách hiểu chung của bạn:

Điều tôi hiểu về sự lan truyền Doppler là chuyển động tương đối giữa Máy phát (TX) và Máy thu (RX) thay đổi thời gian phơi sáng của tín hiệu. Trong mối quan hệ với TX-RX khoảng cách không đổi, việc di chuyển về phía tín hiệu "nén" TX-RX khác theo thời gian (tín hiệu mất ít thời gian để truyền), sau đó tín hiệu được "mở rộng" trong miền tần số. Tương tự, một tín hiệu "mở rộng" RX-TX di chuyển theo thời gian và "nén" phổ của nó. Nói tóm lại, đó là nhân rộng Fourier Transform .

Hiểu biết của bạn là chính xác theo nghĩa rộng. Tuy nhiên, mô hình của Clarke đề cập đến tình huống băng hẹp, trong đó mức Doppler được đưa ra bởi . Trong tình huống băng rộng, bạn không có tần số sóng mang. Trong mô hình Clarkes, bạn giả sử rằng băng thông của tín hiệu nhỏ hơn nhiều so với và tín hiệu được tập trung trong . Trong mô hình của Clarke, mỗi tần số trải qua cùng một dịch chuyển, tức là X_ {out} (f) = X_ {in} (f-df), trong đó là dịch chuyển tự nhiên, là các biến đổi Fourier của tín hiệu truyền và nhận. Điều này gần đúng, miễn là $f_d=f_c \frac{v}{c}$ $\Delta f$ $f_c$ $f_c\pm\frac{\Delta f}{2}$ $df$ $X_{in},X_{out}$ $\Delta f<<f_c$ . Trong mô hình băng rộng của bạn, mỗi tần số trải qua một sự thay đổi tỷ lệ với tần số, tức là với . $X_{out}(f)=X_{in}(\alpha f)$ $\alpha=\frac{v}{c}$

EDIT: Hãy để tôi giải thích thêm một chút về thuật ngữ toán học:

Nói chung, với một sóng hình sin có tần số được gửi đến máy thu, trong đó TX và RX có tốc độ tương đối là , sóng hình sin được nhận với tần số (dấu hiệu tùy theo hướng di chuyển). $f$ $v$ $f(1\pm-\frac{v}{c})$

Giả định băng thông hẹp hiện nói rằng tín hiệu truyền được đặt xung quanh tần số sóng mang trong đó là băng thông của tín hiệu (Tôi sử dụng làm băng thông cho đơn giản ký hiệu). Bây giờ, giả sử một sóng hình sin có tần số được truyền đi. Vì vậy, sóng hình sin nhận được có tần số trong đó phép tính gần đúng đến từ $f_c\pm\Delta f$ $2\Delta f<<f_c$ $2\Delta f$ $f_c-\Delta f$

f_{o u t} = f_{i n} (1 - \frac{v}{c}) = f_{c} (1 - \frac{v}{c}) - Δ f (1 - \frac{v}{c}) = f_{c} - Δ f - f_{c} \frac{v}{c} - Δ_{f} \frac{v}{c} \approx f_{i n} - f_{c} \frac{v}{c}

$f_{out}=f_{in}\left(1-\frac{v}{c}\right)=f_c\left(1-\frac{v}{c}\right)-\Delta f\left(1-\frac{v}{c}\right)=f_c-\Delta f - f_c\frac{v}{c} - \Delta_f\frac{v}{c}\approx f_{in}-f_c\frac{v}{c}$

Δ f << f_{c}

$\Delta f << f_c$ . Như bạn thấy, sự thay đổi tần số không phụ thuộc vào tần số thực tế liên quan đến tần số sóng mang. Đây là giả định narowband.

Tôi không muốn nói rằng hiệu ứng lan truyền Doppler không làm thay đổi băng thông của tín hiệu. Trong thực tế, nó truyền tín hiệu theo . Tuy nhiên, điểm khác biệt quan trọng tôi muốn chỉ ra là trong băng tần hẹp, bạn có thể giả sử tất cả các tần số trải qua cùng một sự thay đổi, trong khi ở dải tần rộng, sự thay đổi phụ thuộc vào tần số thực tế. Mô hình của Clarke giữ cho trường hợp băng tần hẹp, vì nó mô tả phân phối của sự thay đổi tần số, khi một sóng hình sin với bất kỳ tần số nào (trong băng thông) được gửi vào hệ thống. $f_D=f_c\frac{v}{c}$

— Maximilian Matthé
nguồn

Cảm ơn. Tuy nhiên tôi không nhận được nó. Làm thế nào là những trường hợp băng rộng và băng hẹp khác nhau? Tôi có thể nói trong trường hợp băng hẹp và vì ?. Hãy để tôi nêu ý kiến của mình theo một cách khác, bạn đang nói với tôi rằng sự lan truyền Doppler không làm thay đổi băng thông của tín hiệu? Ý kiến của tôi là băng tần được mở rộng, nhưng việc mở rộng không đáng kể do tính chất băng hẹp (hoặc điều kiện) .

X_{o u t} (f_{1}) = X_{i n} (α f_{1}), X_{o u t} (f_{2}) = X_{i n} (α f_{2})

$X_{out}(f_1) = X_{in}(\alpha f_1), X_{out}(f_2) = X_{in}(\alpha f_2)$

f_{1} - f_{2} \approx α (f_{1} - f_{2})

$f_1 - f_2 \approx \alpha (f_1 - f_2)$

a b s (f_{1} - f_{2}) << 1

$abs(f_1 - f_2) << 1$

Δ f

$\Delta f$

Δ f << f_{c}

$\Delta f << f_c$

— AlexTP

@AlexTP Tôi đã thêm một số toán học. phái sinh, có lẽ điều này làm cho nó rõ ràng hơn?

— Maximilian Matthé

Cảm ơn. Tôi thấy những gì bạn có nghĩa là bây giờ. Thật vậy, chúng tôi đã kể câu chuyện tương tự vì vẫn hoạt động theo tỷ lệ, nhưng xấp xỉ điểm với sự thay đổi tần số không đổi là rất thú vị. Bạn có thể giải thích rõ hơn về "mô hình của Clarke dành cho trường hợp băng tần hẹp, vì nó mô tả phân phối của sự thay đổi tần số"? Tôi hiểu rằng không có giả định băng thông hẹp, công thức phổ Doppler không giống như những gì tôi đã trích dẫn.

f_{o u t} = f_{i n} (1 - \frac{v}{c})

$f_{out} = f_{in}(1-\frac{v}{c})$

— AlexTP

Điều tôi muốn biết là nếu sự hỗ trợ của phổ Doppler phụ thuộc vào giả định băng hẹp. Bởi vì tôi hiểu rằng với một tần số nhất định, mỗi góc của ingial sẽ tạo ra một . Đường phản xạ LoS và 180 độ tạo ra hai cực của phổ Doppler và sự hỗ trợ phải độc lập với bản chất của tín hiệu truyền đi. Những gì sẽ thay đổi chỉ là phổ điện.

θ

$\theta$

f_{o u t} (θ)

$f_{out}(\theta)$

— AlexTP

Mỗi góc đến tạo ra một sự thay đổi tần số , đó là . Theo những cách khác, tôi nghĩ bạn có thể hiểu phổ Doppler như là một hàm mật độ xác suất của sự dịch chuyển doppler có kinh nghiệm, khi góc tới được phân bố đều. Tức là, rất có thể, sự thay đổi là , nhưng không có khả năng cao là sự thay đổi là .

f (θ)

$f(\theta)$

f_{o u t} = f_{i n} + f (θ)

$f_{out}=f_{in}+f(\theta)$

\pm f_{D}

$\pm f_D$

0

$0$

— Maximilian Matthé