Ảnh hưởng của cửa sổ lên tiếng ồn

Tôi hiểu rằng việc cắt một tín hiệu kịp thời 'làm mờ' đáp ứng tần số tùy thuộc vào cửa sổ được chọn. Nói chung, thời lượng tín hiệu càng ngắn, đáp ứng tần số 'càng phẳng', như được thấy ở đây ( http://www.thefouriertransform.com/pairs/box.php ):

Tuy nhiên, làm thế nào để độ dài cửa sổ ảnh hưởng đến đáp ứng tần số của nhiễu (Gaussian trắng phụ gia dải)? Giả sử một cửa sổ hình chữ nhật biên độ $A$ , thời lượng $T$ và tương ứng $\operatorname{sinc}(\cdot)$ thùy chính trong miền tần số với biên độ $A\,T$ và chiều rộng $\frac{2}{T}$ :

\begin{aligned} F {Một \cdot trực tràng (\frac{t}{T})} & = = \int_{- \infty}^{+ \infty} Một \cdot trực tràng (\frac{t}{T}) e^{- j 2 π f t} d t \\ = = \int_{\frac{- T}{2}}^{\frac{+ T}{2}} Một e^{- j 2 π f t} d t \\ = = Một \frac{tội (π f T)}{π f} \\ = = Một T chân thành (f T) \end{aligned}

$\begin{align} \mathscr{F}\bigg\{A \cdot \operatorname{rect}\left(\tfrac{t}{T}\right) \bigg\} &= \int_{-\infty}^{+\infty} A \cdot \operatorname{rect}\left(\tfrac{t}{T}\right) \, e^{-j2\pi ft} \ dt \\ \\ &= \int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{+T}{2}} A \, e^{-j2\pi ft} \ dt \\ \\ &= A \, \frac{\sin(\pi fT)}{\pi f} \\ \\ &= A \,T \, \operatorname{sinc}(fT) \\ \end{align}$

Nếu $A$ đã được sửa chữa và $T$ đã giảm một nửa, điều đó sẽ dẫn đến một $\operatorname{sinc}$ của biên độ giảm một nửa nhưng chiều rộng thùy chính tăng gấp đôi. Sau đó nó dường như kết thúc điều này $\operatorname{sinc}$ sẽ dẫn đến biên độ nhiễu 'giống nhau' trong miền tần số vì $\frac{1}{2}\cdot 2 = 1$ hủy bỏ Nghĩa là, băng thông nhiễu hiệu quả đóng góp vào một tần số nhất định được nhân đôi, nhưng đóng góp trên mỗi Hz của băng thông đó giảm đi một nửa.

Điều đó có đúng không? Và nói chung, thời lượng và hình dạng của cửa sổ ảnh hưởng đến đáp ứng tần số của tiếng ồn như thế nào?
Nếu (1) là đúng, điều này có nghĩa là giảm một nửa thời lượng cửa sổ cũng sẽ giảm một nửa SNR của một hình sin? (Vì cường độ chân thực của tín hiệu giảm một nửa, nhưng mức nhiễu vẫn không đổi)

Chỉnh sửa: Một điểm tôi nhận ra là có thể có sự giao thoa triệt tiêu giữa các thành phần nhiễu có tần số khác nhau, và do đó đây không phải là một phân tích đơn giản như chỉ kết hợp biến đổi nhiễu của hàm cửa sổ với căn bậc hai của mật độ phổ công suất nhiễu. Có lẽ pha nhiễu phân bố đồng đều ở mỗi tần số có thể được giả định?

Tôi không có quyền truy cập, nhưng có lẽ bài viết này hữu ích? http://ieeexplore.ieee.org/document/199437/

fourier-transform noise window-functions

— abc
nguồn

Tôi nghĩ rằng bạn muốn đề cập đến mật độ phổ công suất của nhiễu cửa sổ, thay vì biến đổi Fourier đơn giản của nó (đáp ứng tần số) ...?

— Fat32

Sử dụng PSD có thể là một cách tốt hơn để mô tả mọi thứ. Cuối cùng, tôi đang cố gắng hiểu cửa sổ sẽ ảnh hưởng đến SNR như thế nào ở một tần số duy nhất và 'bôi nhọ' phản hồi tần số của việc thực hiện chuỗi nhiễu là trực quan với tôi.

— abc

Tôi đoán sử dụng PSD không phù hợp ở đây, vì tiếng ồn không ổn định. Có tiếng ồn trong cửa sổ, không có tiếng ồn (và tín hiệu bằng không) bên ngoài cửa sổ. Vì vậy, PSD có thể áp dụng được, bởi vì đó là biến đổi Fourier của tự tương quan tiếng ồn và tương quan tự động tiếng ồn bằng không, vì mức độ tự động trung bình trong mọi thời điểm, nhưng tiếng ồn chỉ ở đó trong một khoảng thời gian giới hạn.

— Maximilian Matthé

@ MaximilianMatthé Tôi thấy những gì bạn đang nói, nhưng người ta sẽ không lấy PSD của quá trình đứng yên (không giới hạn thời gian) và sau đó kết hợp nó với biến đổi phạm vi của cửa sổ? (do nhân thời gian <> thuộc tính tích hợp tần số)

— abc

Không, điều này sẽ không hoạt động (ít nhất là không theo lý thuyết tiêu chuẩn mà tôi đề cập đến). PSD và autocorrelation được ghép nối thông qua FT do Định lý Wiener-Khintschin chỉ áp dụng cho các quá trình đứng yên (thực ra, có ý nghĩa rộng - đứng yên). Tuy nhiên, đối với việc thực hiện tiếng ồn cụ thể được nhân với một cửa sổ để chắc chắn định lý tích chập giữ.

— Maximilian Matthé

CẬP NHẬT: Phản hồi trước đây của tôi không trả lời câu hỏi của OP. Sau đây giải quyết trực tiếp câu hỏi:

Dòng dưới cùng:Trước khi ra cửa sổ kịp thời, mỗi mẫu có tần số là biến ngẫu nhiên IID Gaussian do Biến đổi Fourier của dạng sóng AWGN theo thời gian dẫn đến dạng sóng phân tán giống hệt nhau (Gaussian phân phối và có nghĩa là màu trắng mỗi mẫu không phụ thuộc vào mẫu tiếp theo) . Sau khi cửa sổ kịp thời, một sự phụ thuộc được tạo ra giữa các mẫu liền kề theo tần số. Nhưng đáp ứng tần số tổng thể vẫn sẽ là màu trắng (đồng nhất và công suất tổng thể bằng nhau) và Gaussian. Phương sai của sóng hình sin liên quan đến phương sai / Hz của quá trình nhiễu trắng (phương sai của quy trình AWGN phải được đưa ra dưới dạng mật độ tính theo đơn vị công suất / Hz vì quá trình nhiễu trắng thực sự có công suất vô hạn) sẽ không thay đổi trong quan hệ với nhau; nếu cửa sổ làm cho sức mạnh của dây gân giảm một nửa, sức mạnh của tiếng ồn cũng sẽ giảm đi một nửa. Các giá trị thực tế phụ thuộc vào cách chuẩn hóa được thực hiện trong các tính toán, nhưng đối với tính toán công suất thẳng là năng lượng / thời gian, việc giảm một nửa cửa sổ (ví dụ) sẽ làm giảm một nửa công suất độc lập với loại sóng có liên quan (Sin, AWGN, v.v.). Điều này trái ngược với những gì sẽ xảy ra nếu chúng ta kết hợp với một cửa sổ hình chữ nhật, được bao phủ trong nửa sau của bài viết dưới đây (phản hồi ban đầu, nhưng sai lầm của tôi).

Chi tiết:

Đối với các tín hiệu thời gian riêng biệt, hãy xem xét các điều sau đây từ Định lý Parseval cho thấy năng lượng của tín hiệu theo thời gian và tần số là như nhau:

Khi thời gian trôi qua $-\infty$ đến $+\infty$ sẽ dành cho DTFT:

\begin{matrix} (1) & Σ_{n = = - \infty}^{\infty} | x [n] |^{2} = = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} | X ((e^{j φ}) |^{2} d φ \end{matrix}

$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^2=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|X((e^{j\phi})|^2d\phi\tag{1}$

Lưu ý khi sử dụng tần số chuẩn hóa (1) trở thành biểu mẫu bên dưới có lẽ dễ theo dõi hơn:

Σ_{n = = - \infty}^{\infty} | x [n] |^{2} = = \int_{- 0,5}^{0,5} | X (f) |^{2} d f

$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^2=\int_{-0.5}^{0.5}|X(f)|^2df$

Khi thời gian bị giới hạn (cửa sổ) sẽ dành cho DFT:

\begin{matrix} (2) & \sum_{n = 0}^{N - 1} | x [n] |^{2} = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} | X [k] |^{2} \end{matrix}

$\sum_{n=0}^{N-1}|x[n]|^2=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}|X[k]|^2\tag{2}$

Trong mối quan hệ DFT ở trên sử dụng Định lý Parseval, chúng ta đang so sánh năng lượng; Nếu chúng ta chia tỷ lệ thêm theo M trong đó M biểu thị tổng thời gian quan sát trong các mẫu, thì chúng ta sẽ so sánh công suất theo các kích thước cửa sổ hình chữ nhật khác nhau của N mẫu mà chúng ta có thể áp dụng cho cả tông màu hình sin và nhiễu trắng:

\begin{matrix} (3) & \frac{1}{M} \sum_{n = 0}^{N - 1} | x [n] |^{2} = \frac{1}{M} \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} | X [k] |^{2} \end{matrix}

$\frac{1}{M}\sum_{n=0}^{N-1}|x[n]|^2=\frac{1}{M}\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}|X[k]|^2\tag{3}$

Trường hợp DTFT sẽ không hội tụ nếu không có bất kỳ cửa sổ nào được áp dụng (năng lượng vô hạn) nhưng chúng ta có thể hiểu rõ hơn về câu trả lời bằng cách xem xét một cửa sổ lớn tùy ý (DFT) và sau đó so sánh với những gì xảy ra khi chúng ta giảm nó với một cửa sổ nhỏ hơn.

Sóng hình sin

Hãy xem xét một sóng hình sin có cửa sổ N dài một cách tự nhiên với thời gian quan sát cũng bằng N:

Nếu cửa sổ thực sự rất lớn so với một chu kỳ của hình sin, thì DFT của sóng hình sin sẽ được xấp xỉ bằng hai xung (như trường hợp chính xác khi cửa sổ là một số nguyên chu kỳ của hình sin) mỗi một cường độ gấp N / 2 lần cường độ cực đại của sóng hình sin theo thời gian. Do đó, đối với sóng hình sin có cửa sổ dài tùy ý, định lý của Parseval dẫn đến phương sai dự kiến của sóng hình sin có cực đại $A_p$ (sử dụng M = N trong phương trình (3)):

\frac{1}{N^{2}} \sum_{k = 0}^{N - 1} | X [k] |^{2} = \frac{1}{N^{2}} ({(\frac{N}{2} A_{p})}^{2} + {(\frac{N}{2} A_{p})}^{2}) = \frac{A_{p}^{2}}{2} = σ^{2}

$\frac{1}{N^2}\sum_{k=0}^{N-1}|X[k]|^2 = \frac{1}{N^2}\left( \left(\frac{N}{2}A_p\right)^2+\left(\frac{N}{2}A_p\right)^2\right)=\frac{A_p^2}{2}=\sigma^2$

Khi chúng ta giảm cửa sổ cho hình sin, đáp ứng tần số của sóng hình sin thực sự bị "làm mờ" đối với các thùng khác; các xung sẽ trở thành các hàm Sinc theo tần số sẽ rộng hơn khi cửa sổ hẹp hơn và tổng công suất khi xem xét tổng bình phương của tất cả các thùng sẽ giảm xuống khi tỷ lệ N / M trong đó M đại diện cho kích thước cửa sổ ban đầu. Lưu ý rằng tổng công suất của kích thước cửa sổ ban đầu M sẽ thay đổi trong cả hai miền nếu phần dư của chu kỳ sóng hình sin trở nên đáng kể so với diện tích tích hợp trong một chu kỳ bình phương, như trường hợp khi thời lượng cửa sổ không dài hơn đáng kể một chu kỳ của sóng hình sin. Nếu chúng ta đang xem xét một âm tần số mũ phức tạp duy nhất, sự thay đổi này khi kích thước cửa sổ giảm đáng kể sẽ không xảy ra.

AWGN

Một quá trình nhiễu trắng Gaussian phụ gia theo thời gian là một quá trình nhiễu trắng Gaussian phụ gia theo tần số, có cùng phân phối trong cả hai miền. (Vì vậy, theo như một hàm toán học, nó chỉ là một sự thay đổi của biến theo thời gian theo tần số khi sử dụng một biến đổi Fourier đơn nhất). Chúng ta cũng hãy tự nhắc nhở AWGN là gì về mặt khái niệm: Nó có màu trắng, nghĩa là nó có mật độ công suất bằng nhau trên TẤT CẢ tần số (và do đó công suất không giới hạn và do đó không thể thực hiện được), và Gaussian - có nghĩa là sự phân bố cường độ của nó theo thời gian có hình dạng Gaussian . Biến đổi Fourier của một quá trình trắng Gaussian cũng là một quá trình trắng Gausssian; điều đó nghĩa là gì? Trong miền tần số, sự phân bố độ lớn của hàm so với tần số cũng có hình dạng Gaussian và trong trường hợp này là về mặt "trắng" điều đó có nghĩa rõ ràng là sự biến đổi của hàm này (hàm miền thời gian) có sức mạnh tương đương với TẤT CẢ thời gian. Dòng dưới cùng, theo như chúng tôi quan tâm, bên cạnh biến xác định miền, các hàm là giống hệt nhau. Đối với các biến đổi Fourier, nhân với một cửa sổ trong một miền là tích chập của nhân cửa sổ (Biến đổi Fourier của cửa sổ) trong miền khác. Khi chúng ta lọc một tín hiệu, chúng ta kết hợp tín hiệu với đáp ứng xung của bộ lọc, đó là biến đổi Fourier ngược của đáp ứng tần số. Cần lưu ý thêm khi làm việc với DFT như chúng tôi đã làm ở trên, bản thân tích chập là một các chức năng là giống hệt nhau. Đối với các biến đổi Fourier, nhân với một cửa sổ trong một miền là tích chập của nhân cửa sổ (Biến đổi Fourier của cửa sổ) trong miền khác. Khi chúng ta lọc một tín hiệu, chúng ta kết hợp tín hiệu với đáp ứng xung của bộ lọc, đó là biến đổi Fourier ngược của đáp ứng tần số. Cần lưu ý thêm khi làm việc với DFT như chúng tôi đã làm ở trên, bản thân tích chập là một các chức năng là giống hệt nhau. Đối với các biến đổi Fourier, nhân với một cửa sổ trong một miền là tích chập của nhân cửa sổ (Biến đổi Fourier của cửa sổ) trong miền khác. Khi chúng ta lọc một tín hiệu, chúng ta kết hợp tín hiệu với đáp ứng xung của bộ lọc, đó là biến đổi Fourier ngược của đáp ứng tần số. Cần lưu ý thêm khi làm việc với DFT như chúng tôi đã làm ở trên, bản thân tích chập là mộttích chập tuần hoàn .

Như đã nói, hãy xem xét điều gì sẽ xảy ra với đáp ứng tần số của quy trình AWGN khi chúng ta mở cửa sổ kịp thời: Trước khi cửa sổ, đó là trường hợp cửa sổ N dài tùy ý với thời gian quan sát bằng N, đáp ứng tần số thực sự là màu trắng và như chúng tôi đã lưu ý ở trên "phản ứng thời gian" cũng tương tự "màu trắng" trong trường hợp này (có nghĩa là nó kéo dài trên toàn bộ chiều dài với tất cả các mẫu có phân phối tương tự). Cũng cần lưu ý, liên quan đến khoảng thời gian mẫu của chúng tôi, mỗi mẫu trong thời gian không bị tách rời khỏi khoảng thời gian tiếp theo (do đó dẫn đến phổ trên khoảng tần số kỹ thuật số của chúng tôi thực sự là màu trắng). Phương sai của tín hiệu miền thời gian của chúng ta bằng với phương sai của DFT của chúng ta khi chúng ta chia tỷ lệ DFT theo N = M như trong (3).

Giống như trong trường hợp của sóng hình sin, nếu chúng ta giảm cửa sổ hình chữ nhật M nhỏ hơn M, công suất (phương sai) sẽ giảm theo N / M, nhưng điều thú vị và phù hợp với câu hỏi, đó là đáp ứng tần số sẽ vẫn trắng và Gaussian! Tại sao lại thế này? Bằng cách giảm cửa sổ hình chữ nhật xuống M, chúng tôi đang tạo ra đáp ứng tần số với một hàm Fucntion (hoặc trong hệ thống rời rạc của chúng tôi, nó gần đúng với một hàm Sinc cho M lớn và thực sự là một hàm "bí danh" và như đã lưu ý đây là dạng hình tròntích chập. Do đó, đáp ứng tần số sẽ vẫn có màu trắng, nhưng cần lưu ý, chúng tôi đã tạo ra sự phụ thuộc cho từng mẫu theo tần số trên các mẫu liền kề do hoạt động tích chập. Điều này có nghĩa là về tần số, mỗi mẫu không còn độc lập từ mẫu này sang mẫu khác, do đó, trong miền thời gian, phép biến đổi sẽ không còn màu trắng nữa - nhưng trong miền tần số, phân bố biên độ sẽ vẫn là Gaussian và mật độ công suất sẽ vẫn đồng nhất trên tất cả các tần số trong khoảng tần số kỹ thuật số được sử dụng và do đó thực sự vẫn là tần số trắng.

Do đó, tác động của cửa sổ hình chữ nhật theo thời gian đối với miền tần số là loại bỏ tính độc lập giữa các mẫu tần số liền kề và giảm công suất tổng thể theo tỷ lệ khi so sánh trong cùng khoảng thời gian quan sát (như được thực hiện với sóng hình sin, do đó, không thay đổi SNR); nhưng nó không thay đổi mô tả thống kê về màu trắng (tần số) và phân bố Gaussian. Sự phụ thuộc giữa các mẫu theo tần số tương tự như tác động của sự phụ thuộc của các mẫu theo thời gian: Khi chúng ta có sự phụ thuộc giữa các mẫu trong thời gian chúng ta có một quy trình giới hạn băng tần (được lọc thấp) mà chúng ta có thể nói là "giới hạn tần số" . Khi chúng tôi có sự phụ thuộc giữa các mẫu trong tần số, chúng tôi có một quy trình giới hạn thời gian; đó là những gì cửa sổ hình chữ nhật đang làm.

Như một điểm cuối cùng để giúp xem những gì đang xảy ra; đôi khi dễ dàng suy nghĩ trong một miền thay vì miền khác, vì vậy hãy xem xét nếu chúng ta áp dụng cửa sổ hình chữ nhật cho bất kỳ tín hiệu AWGN nào có tần số ban đầu là màu trắng (mật độ đồng nhất trên tất cả các tần số). Trước khi ra cửa sổ - tín hiệu miền thời gian sẽ mở rộng trong khoảng thời gian quan sát hoàn chỉnh của chúng tôi và DFT sẽ mở rộng trên không gian tần số hoàn chỉnh được xác định bởi khoảng thời gian lấy mẫu của chúng tôi. Khi quan sát tín hiệu kịp thời, bất kể chúng ta phóng to bao nhiêu vào dạng sóng miền thời gian, nó sẽ xuất hiện như trong âm mưu đầu tiên bên dưới cho AWGN, bởi vì mọi mẫu đều độc lập với mẫu tiếp theo. Và lịch sử phân bố cường độ là Gaussian. Nếu chúng ta giới hạn băng tần đáp ứng tần số (bằng cách nhân đáp ứng tần số với cửa sổ hình chữ nhật), chúng ta sẽ thấy trong miền thời gian tương tự như âm mưu thứ hai bên dưới; trong đó khi chúng ta phóng to, chúng ta có thể thấy các quỹ đạo xác định từ mẫu này sang mẫu khác! Lưu ý rằng biểu đồ của cường độ (miễn là chúng ta làm điều đó qua đủ mẫu) không thay đổi và vẫn là Gaussian. Và lưu ý quan trọng là chức năng miền thời gian của chúng tôi vẫn kéo dài theo thời gian quan sát hoàn chỉnh của chúng tôi với công suất đồng nhất - vì vậy nó có màu trắng theo thời gian và Gaussian nhưng tần số không còn trắng nữa. Do đó, chúng tôi thấy trực tiếp những gì sẽ xảy ra với đáp ứng tần số trong trường hợp câu hỏi của OP. Thay vì các dạng sóng dưới đây là thời gian, chúng sẽ là tần số. Đáp ứng tần số vẫn đồng đều về công suất (màu trắng) và Gaussian, nhưng do có cửa sổ kịp thời nên chúng tôi có thể phóng to đáp ứng tần số và quan sát mẫu tương quan mẫu tồn tại mà trước đây không tồn tại để cửa sổ. Trước khi cửa sổ, mỗi mẫu có tần số sẽ độc lập với các mẫu liền kề để khi chúng tôi phóng to đáp ứng tần số, nó sẽ tiếp tục giống như âm mưu đầu tiên bên dưới. Nhưng nếu chức năng miền thời gian được hiển thị, nó sẽ tạo ra sự phụ thuộc giữa các mẫu liền kề theo tần số và khi chúng tôi phóng to đáp ứng tần số trong trường hợp đó, chúng tôi sẽ bắt đầu quan sát thứ gì đó như âm mưu thứ hai bên dưới:

Tiếng ồn Gaussian trắng (AWGN)

Tiếng ồn Gaussian có giới hạn

Một cách khác để chứng minh rằng đáp ứng tần số vẫn trắng sau khi nhân hàm miền thời gian với cửa sổ hình chữ nhật là quan sát chức năng tự tương quan trong mỗi trường hợp: Fucntion fucntion cho tín hiệu AWGN là một xung và tần số đáp ứng của xung là một chức năng thống nhất. Thêm các số không vào fucntion AWGN (hoặc cửa sổ tương đương) không thay đổi kết quả từ một xung và do đó đáp ứng tần số sẽ vẫn đồng nhất (màu trắng). Việc thêm các số 0 sẽ nội suy giữa các mẫu hiện có theo tần số và do đó, các quỹ đạo được mô tả trước đây được tạo ra ... và để lưu ý rằng, đối với kích thước cửa sổ cho trước có độ dài T của tín hiệu AWGN, các mẫu có tần số cách nhau 1 / T sẽ vẫn độc lập,

Bài đăng trước: Ban đầu sau đây được đưa ra dưới dạng phản hồi nhưng điều này cụ thể để kết hợp với một cửa sổ hình chữ nhật không phải là câu hỏi được hỏi:

Thời lượng và hình dạng cửa sổ ảnh hưởng đến mật độ phổ của tiếng ồn trắng dựa trên đáp ứng tần số của cửa sổ trực tiếp. Trong khi tiếng ồn sẽ giảm công suất dựa trên chiều dài tương đối của cửa sổ; có nghĩa là một tổng bình phương hoặc $\int_0^T(x^2)dx$ , trong khi một sóng hình sin trong băng thông tương quan của cửa sổ (có nghĩa là tần số <1 / T trong đó T là chiều dài cửa sổ) sẽ tăng lên khi tính tổng. Tôi thích coi cửa sổ là một trung bình di động sao cho sóng hình sin (nếu tần số đủ thấp) không thay đổi và tiếng ồn nhỏ hơn tương ứng. Điều này chỉ có nghĩa là chúng ta đã bình thường hóa cửa sổ theo chiều dài của nó nhưng trực quan hơn là cửa sổ sẽ không ảnh hưởng đến sóng hình sin mà sẽ loại bỏ nhiễu. Việc chuẩn hóa nếu không được sử dụng chỉ dẫn đến tỷ lệ tùy ý nhưng tỷ lệ tín hiệu so với nhiễu là điều đáng quan tâm cuối cùng trong cả hai trường hợp.

Xem xét một ví dụ về quy trình nhiễu trắng (kỹ thuật số) với tổng phương sai = 1

Nếu chúng tôi đã lọc bộ lọc này bằng bộ lọc đạt được sự thống nhất 10 vòi (đại diện cho quá trình nhiễu trắng với cửa sổ hình chữ nhật rời rạc [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1]), tiếng ồn từ vòi đến vòi trong bộ lọc sẽ không được xử lý, do đó sẽ tăng theo sqrt (10) về độ lệch chuẩn (đại diện cho đại lượng cường độ của nó), trong khi sóng hình sin nằm trong băng thông bộ lọc sẽ tương quan và sẽ tăng thêm 10 lần nữa.

Quan sát đáp ứng tần số của bộ lọc như vậy, trong đó mức tăng DC 20dB đại diện cho hệ số 10 được mô tả ở trên, như (20Log10 (10)). Phản hồi này cho thấy chính xác những gì sẽ xảy ra với mức công suất của một âm ở bất kỳ tần số nào trong phổ bộ lọc, trong khi công suất của nhiều âm sẽ là tổng công suất riêng của chúng (đó là cách chúng ta xử lý những gì xảy ra với nhiễu, như trong $\sum x^2$ ):

Và hiệu quả mong đợi đối với tiếng ồn trắng

Tiếng ồn bây giờ được định hình (tô màu) do tính chất thông thấp của cửa sổ và tiếng ồn tổng thể sau khi xử lý qua bộ lọc này chỉ tăng 10log10 (10) = 10 dB. Do đó, SNR đã tăng 10 dB kể từ âm (tín hiệu) khi tăng 20 dB trong khi tiếng ồn tăng 10dB hoặc nếu chúng ta bình thường hóa đến mức của âm, thì tiếng ồn đã giảm 10 dB hoặc 1/10 tổng công suất.

Thử nghiệm điều này bằng thực nghiệm:

noise= randn(2^12,1);
var1 = std(noise);
noisefilt = filter(ones(10,1),1,noise);
var2 = std(noisefilt);
freqz(ones(10,1));  % frequency response

Kết quả trong var1 = 1.00355 và var2 = 10.64.

Sự gia tăng chỉ là một hệ số khuếch đại không đổi (và tùy ý), vì vậy điều quan trọng là làm thế nào tiếng ồn được tác động so với sóng hình sin, trong đó cửa sổ giảm công suất nhiễu của nhiễu trắng theo tỷ lệ (trong trường hợp này so sánh một cửa sổ rộng hơn với một Kích thước 1/10 và cái nhỏ hơn sẽ loại bỏ 1/10 công suất) trong khi giảm mức độ hình sin theo chức năng Sinc với null đầu tiên ở 1 / T trong đó T là chiều dài của cửa sổ. (Hoặc đối với bất kỳ cửa sổ tùy ý dựa trên biến đổi Fourier của chính cửa sổ đó).

Cũng như tôi đã đề cập trong bình luận dưới bài đăng gốc, tôi tin rằng harris fred xử lý toán học tốt trong việc mô tả mức tăng kết hợp và không kết hợp, băng thông nhiễu tương đương, vv trong các hệ thống cửa sổ trong bài báo kinh điển này mà tôi thường tham khảo: https: // www .utdallas.edu / ~ cpb021000 / EE% 204361 / Tuyệt vời% 20DSP% 20 Giấy tờ / Harris% 20on% 20Windows.pdf

— Dan Boschen
nguồn

Bạn giải thích những gì xảy ra khi bạn lọc tín hiệu (trong trường hợp của bạn là trung bình di động). Nhưng, OP hỏi điều gì xảy ra khi bạn bật tín hiệu (tức là nhân với cửa sổ và lấy DFT). Bạn có thể giải thích thêm, làm thế nào mô tả của bạn liên quan đến cửa sổ? Tôi đoán liên kết cuối cùng của bạn là một tài liệu tham khảo tốt cho toàn bộ câu hỏi và tôi tin rằng câu trả lời nằm trong bài báo đó, nhưng tôi đã không đọc nó.

— Maximilian Matthé

@ MaximilianMatthé À vâng, tất nhiên rồi. Hình như tôi có một số việc phải làm; Tôi thấy đường dẫn, hãy để tôi cập nhật.

— Dan Boschen

Tôi thích sự tương tự của bạn với nhiễu trắng cửa sổ theo tần số, tạo ra nhiễu Gaussian tương quan, nhưng vẫn trong miền thời gian. Theo tính đối ngẫu, cùng giữ cho miền khác.

— Maximilian Matthé

Có, tôi thường gặp các tình huống nếu tôi trao đổi do tính hai mặt, tôi có thể "thấy" một câu trả lời trực quan hơn; Ripple gợn sóng trong miền tần số gây ra tiếng vang dẫn đầu và theo dõi trong miền thời gian là một ví dụ điển hình - vì tôi rất quen thuộc rằng sóng hình sin theo thời gian là hai xung tần số - vì vậy tôi xem Ripple băng tần như một hình sin với độ lệch DC.

— Dan Boschen

@ MaximilianMatthé mà nhân tiện là cách tôi nghĩ ra: dsp.stackexchange.com/questions/19584/ trên . Cảm ơn vì đã thực sự đọc bài đăng này để có được sự tương tự đó, và giúp tôi sau lần đâm đầu tiên vào nó - tôi nhận ra bây giờ nó có thể ngắn gọn hơn nhiều; đã suy nghĩ thông qua khi tôi viết.

— Dan Boschen

Chỉnh sửa : Tôi muốn sửa tính toán của tôi dưới đây. Tính toán là chính xác, nhưng nó không tính toán những gì thực sự được hỏi.

Cho tín hiệu nhiễu $n(t)$ và cửa sổ $w(t)$ , tín hiệu tổng thể là $n(t)w(t)$ . Điều bạn quan tâm là biểu hiện $E[|\mathcal{F}\{n(t)w(t)\}(f)|^2]$ . (Sự thay đổi đối với cách tính cũ là bạn thực sự quan tâm đến phương sai trên từng mẫu tần số, chứ không phải năng lượng nhiễu quá mức)

Vì vậy, hãy làm phép tính:

\begin{aligned} E [| F {n (t) w (t)} (f) |^{2}] & = = E [| N (f) * W (f) |^{2}] & Định lý tích phân \\ = = E [| \int_{R} N (f_{1}) W (f - f_{1}) d f_{1} |^{2}] & Kết hợp rõ ràng \\ = = E [\int_{R} \int_{R} N (f_{1}) W (f - f_{1}) N^{*} (f_{2}) W^{*} (f - f_{2}) d f_{1} d f_{2}] & sử dụng | x |^{2} = = x x^{*} \\ = = \int_{R} \int_{R} E [N (f_{1}) N^{*} (f_{2})] W (f - f_{1}) W^{*} (f - f_{2}) d f_{1} d f_{2} & kỳ vọng thành tích phân \\ = = \int_{R} \int_{R} N_{0} δ (f_{1} - f_{2}) W (f - f_{1}) W^{*} (f - f_{2}) d f_{1} d f_{2} & tiếng ồn không tương thích \\ = = N_{0} \int_{R} W (f - f_{1}) W^{*} (f - f_{1}) d f_{1} & Sifting tài sản của dirac \\ = = N_{0} E_{w} \end{aligned}

$\begin{align} E[|\mathcal{F}\{n(t)w(t)\}(f)|^2]&=E[|N(f)*W(f)|^2] &\text{Convolution theorem}\\ &=E[|\int_{\mathbb{R}}N(f_1)W(f-f_1)df_1|^2]&\text{Explicit convolution}\\ &=E[\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}N(f_1)W(f-f_1)N^*(f_2)W^*(f-f_2)df_1df_2]&\text{using }|x|^2=xx^*\\ &=\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}E[N(f_1)N^*(f_2)]W(f-f_1)W^*(f-f_2)df_1df_2&\text{expectation into integral}\\ &=\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}N_0\delta(f_1-f_2)W(f-f_1)W^*(f-f_2)df_1df_2&\text{uncorrelated noise}\\ &=N_0\int_\mathbb{R}W(f-f_1)W^*(f-f_1)df_1&\text{Sifting property of dirac}\\ &=N_0E_w \end{align}$ Trường hợp trong phương trình cuối cùng

E_{w} = \int_{R} ‖ W (f) ‖^{2} d f

$E_w=\int_\mathbb{R}\|W(f)\|^2df$ là năng lượng của cửa sổ. Vì vậy, bạn thấy rằng phương sai nhiễu trên mỗi ngăn tần số được khuếch đại bởi năng lượng quá mức của cửa sổ (có vẻ hợp lý với tôi).

Câu trả lời cũ:

Bài đăng này không trả lời câu hỏi, như là phân kỳ tích phân cuối cùng. Tôi tin rằng có một lỗi trong tính toán của tôi, có lẽ ai đó có thể xem nó?

Cho tín hiệu nhiễu $n(t)$ và cửa sổ $w(t)$ , tín hiệu tổng thể là $n(t)w(t)$ . Điều bạn quan tâm là biểu hiện $E[\|\mathcal{F}\{n(t)w(t)\}\|^2]$ .

Vì vậy, hãy làm phép tính:

\begin{aligned} E [‖ F {n (t) w (t)} ‖^{2}] & = = E [‖ N (f) * W (f) ‖^{2}] & Định lý tích phân \\ = = E [‖ \int_{R} N (f_{1}) W (f - f_{1}) d f_{1} ‖^{2}] & Kết hợp rõ ràng \\ = = E [\int_{R} \int_{R} \int_{R} N (f_{1}) W (f - f_{1}) N^{*} (f_{2}) W^{*} (f - f_{2}) d f_{1} d f_{2} d f] & định mức rõ ràng \\ = = \int_{R} \int_{R} \int_{R} E [N (f_{1}) N^{*} (f_{2})] W (f - f_{1}) W^{*} (f - f_{2}) d f_{1} d f_{2} d f] & kỳ vọng thành tích phân \\ = = \int_{R} \int_{R} \int_{R} N_{0} δ (f_{1} - f_{2}) W (f - f_{1}) W^{*} (f - f_{2}) d f_{1} d f_{2} d f & tiếng ồn không tương thích \\ = = N_{0} \int_{R} \int_{R} W (f - f_{1}) W^{*} (f - f_{1}) d f_{1} d f & Sifting tài sản của dirac \\ = = N_{0} \int_{R} E_{w} d f = = \infty \end{aligned}

$\begin{align} E[\|\mathcal{F}\{n(t)w(t)\}\|^2]&=E[\|N(f)*W(f)\|^2] &\text{Convolution theorem}\\ &=E[\|\int_{\mathbb{R}}N(f_1)W(f-f_1)df_1\|^2]&\text{Explicit convolution}\\ &=E[\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}N(f_1)W(f-f_1)N^*(f_2)W^*(f-f_2)df_1df_2df]&\text{explicit norm}\\ &=\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}E[N(f_1)N^*(f_2)]W(f-f_1)W^*(f-f_2)df_1df_2df]&\text{expectation into integral}\\ &=\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}N_0\delta(f_1-f_2)W(f-f_1)W^*(f-f_2)df_1df_2df&\text{uncorrelated noise}\\ &=N_0\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}W(f-f_1)W^*(f-f_1)df_1df&\text{Sifting property of dirac}\\ &=N_0\int_\mathbb{R}E_wdf=\infty \end{align}$

Trường hợp trong phương trình cuối cùng $E_w=\int_\mathbb{R}\|W(f)\|^2df$ là năng lượng của cửa sổ.

Thật không may, các phân kỳ tích phân cuối cùng. Lỗi ở đâu? Nó không thể phân kỳ, bởi vì nhiễu không thể có phương sai vô hạn.

— Maximilian Matthé
nguồn

Không có gì sai cả. Phương sai của nhiễu trắng thời gian liên tục là vô hạn .

— Peter K.

Một quan điểm khác, bạn cho rằng tiếng ồn là màu trắng với mật độ

N_{0}

$N_0$ , biến đổi Fourier nghịch đảo của nó phải là xung dirac với năng lượng vô hạn (định lý Parseval).

— AlexTP

Tất nhiên khi nói về biến đổi fourier, tôi đã thư giãn điều kiện tồn tại của nó.

— AlexTP

Vì vậy, bắt đầu từ dòng 'tích chập rõ ràng', bạn có thể giả sử nó là AWGN được phân vùng bằng băng thông

B

$B$ ?

— abc

Tiếng ồn trắng có phương sai vô hạn và do đó được mô tả là mật độ (như dBm / Hz), trong khi quá trình nhiễu trắng có cửa sổ sẽ có năng lượng hữu hạn và bị giới hạn về thời gian, không giới hạn về tần số nhưng có giới hạn là đường bao của chân thành đi xuống ở mức 1 / f khi f đi đến vô cùng.

— Dan Boschen