Tại sao răng cưa vốn dĩ không tuyến tính?

7

Ví dụ: khi có 2 tín hiệu $x(t)$ và $y(t)$ và biến đổi từng cái bằng cách thêm phổ của chúng, phép toán là tuyến tính, vì kết quả sẽ giống như phép biến đổi của $(x + y)(t)$ .

Ngay cả khi nhìn vào chuỗi lấy mẫu, mỗi phần tử vô hạn cộng lại thành tuyến tính.

Nhưng làm thế nào là răng cưa cho một hoạt động phi tuyến tính và làm thế nào nó được chứng minh về mặt toán học?

sampling aliasing non-linear

— Sao
nguồn

6

Tôi nghĩ bạn có nghĩa là "hình ảnh" , không phải "bí danh" . Chúng trở thành bí danh nếu có sự gấp lại từ việc lấy mẫu lại.

Đó là bởi vì bạn không thêm hai tín hiệu, $x(t)$ và $\operatorname{III}(t)$ , bạn đang nhân chúng mà những hình ảnh này xuất hiện.

\begin{aligned} x_{s} (t) & ≜ x (t) \cdot III (t / T) \\ = x (t) \cdot \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} T δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x (t) \cdot δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x (n T) \cdot δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] \cdot δ (t - n T) \end{aligned}

$\begin{align} x_\text{s}(t) & \triangleq x(t) \cdot \operatorname{III}(t/T) \\ &= x(t) \cdot \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} T \delta(t-nT) \\ &= T \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x(t) \cdot \delta(t-nT) \\ &= T \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT) \cdot \delta(t-nT) \\ &= T \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \cdot \delta(t-nT) \\ \end{align}$

trong đó và $x[n] \triangleq x(nT)$

III (u) ≜ \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} δ (u - n)

$\operatorname{III}(u) \triangleq \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(u-n)$

\begin{aligned} III (t / T) & = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} δ (\frac{t}{T} - n) \\ = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} δ (\frac{t - n T}{T}) \\ = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} T δ (t - n T) \\ = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} e^{j k \frac{2 π}{T} t} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{III}(t/T) &= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta\left(\tfrac{t}{T}-n\right) \\ &= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta\left(\tfrac{t-nT}{T}\right) \\ &= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} T \delta(t-nT) \\ &= \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} e^{j k \frac{2 \pi}{T} t} \\ \end{align}$

Dòng cuối cùng là từ làm loạt phạm vi. Bây giờ, nếu bạn sử dụng thuộc tính dịch chuyển của Biến đổi Fourier, thì Biến đổi Fourier của là $x_\text{s}(t)$

\begin{aligned} X_{s} (f) & ≜ F {x_{s} (t)} \\ = F {x (t) III (t / T)} \\ = F {x (t) \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} e^{j k \frac{2 π}{T} t}} \\ = F {\sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x (t) e^{j k \frac{2 π}{T} t}} \\ = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} F {x (t) e^{j k \frac{2 π}{T} t}} \\ = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} X (f - \frac{k}{T}) \end{aligned}

$\begin{align} X_\text{s}(f) & \triangleq \mathscr{F}\{x_\text{s}(t)\} \\ &= \mathscr{F}\{x(t) \operatorname{III}(t/T) \} \\ &= \mathscr{F}\left\{x(t) \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} e^{j k \frac{2 \pi}{T} t} \right\} \\ &= \mathscr{F}\left\{\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} x(t) \, e^{j k \frac{2 \pi}{T} t} \right\} \\ &= \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \mathscr{F}\left\{ x(t) \, e^{j k \frac{2 \pi}{T} t} \right\} \\ &= \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} X\left(f-\tfrac{k}{T}\right) \\ \end{align}$

trong đó . $X(f) \triangleq \mathscr{F}\{ x(t) \}$

Quá trình nhân phi tuyến tính đó tạo ra các thành phần tần số so với trước đây không tồn tại trong . Các thành phần mới này chỉ là các phiên bản thay đổi của và được gọi là "hình ảnh" . $x(t)$ $X(f)$

— robert bristow-johnson
nguồn

1

Từ định nghĩa về tính tuyến tính của một hệ thống, quá trình răng cưa dưới toán tử lấy mẫu dường như là một tuyến tính ... Tôi cho rằng thuật ngữ méo mó phần nào tạo ra sự hiểu lầm rằng quy trình này là phi tuyến. Lấy mẫu là một hoạt động tuyến tính (nhưng thay đổi theo thời gian) và răng cưa chỉ là một trường hợp cụ thể của lấy mẫu trong đó có sự chồng chéo quang phổ. Nhưng giải trình miền thời gian rõ ràng là tuyến tính: HOẶC Tôi đang thiếu một cái gì đó ở đây. Btw: Bí danh không thể đảo ngược nhưng tất cả các phép biến đổi tuyến tính có nên (tôi không chắc chắn)?

y (t) = T {x (t)} = (\sum δ (t - k T)) x (t)

$y(t) = T\{x(t)\} = (\sum {\delta(t-kT)})x(t)$

— Fat32

4

Gợi ý:

Hệ thống LTI có thể tạo các thành phần ở một số tần số nếu tín hiệu đầu vào sao cho không? $\omega_0$ $x(n)$ $X(e^{j\omega_0})=0$
Liệu răng cưa có làm điều đó không?

Các câu trả lời cho những câu hỏi này rất đơn giản và kết hợp lại, chúng trả lời câu hỏi ban đầu.

— Tendero
nguồn

Tôi biết rằng việc lấy mẫu có thể được mô tả như là một chuỗi các khối xây dựng tuyến tính, nhưng tôi không nhớ được nguồn và trang. Đó phải là chìa khóa, phải không?

— Starhowl

3

@Tendero: hoàn toàn có thể cho một hệ thống tuyến tính tạo ra các tần số mới, nếu đó là biến thể thời gian. Nó chỉ là một hệ thống LTI không thể.

— MBaz

@MBaz Cảm ơn bạn đã chỉ ra điều đó - Tôi đã chỉnh sửa câu trả lời.

— Tendero