Danh tính biến đổi Fourier

Chúng tôi biết dưới đây,

$$\mathscr{F}\big\{x(t)\big\}=X(f) \tag{1}$$ F { x ∗ ( t ) } = X ∗ ( - f $$\mathscr{F}\big\{x(-t)\big\}=X(-f) \tag{2}$$ $$\mathscr{F}\big\{x^*(t)\big\}=X^*(-f) \tag{3}$$

Bây giờ, nếu cho một số tín hiệu

$$x(-t)=x^*(t) \tag{4}$$

Sau đó, có an toàn để giả định sau đây?

$$X(-f)=X^*(-f) \tag{5}$$

hoặc nó phụ thuộc vào loại tín hiệu?

Bạn nói đúng. Phương trình cuối cùng của bạn chỉ đơn giản là một cách thú vị để nói rằng có giá trị thực.$X(f)$

Nói chung: nếu nó thực trong một miền, thì nó sẽ đối xứng với nhau trong miền khác.

Có, nếu eqs. (2) và (3) giữ cho bất kỳ "loại tín hiệu" nào (mà chúng làm), sau đó (5) phải giữ.

Chèn (4) vào (2) chúng ta sẽ nhận được và sử dụng (3) X ( - f ) = X ∗ ( - f

$$\mathscr{F}\big\{x^*(t)\big\} = X(-f)$$ $$X(-f) = X^*(-f)$$

Nếu chúng ta thay thế chúng ta sẽ có , như Hilmar đã quan sát , có nghĩa là có giá trị thực. Điều này được dự kiến ​​là, theo (4), thể hiện sự đối xứng phức tạp liên hợp .X ( g ) = X ∗ ( g ) X ( f ) x ( t $f = - g$

$$X(g) = X^*(g)$$ $X(f)$$x(t)$

Câu trả lời của @Deve và @Hilmar là hoàn hảo về mặt kỹ thuật. Tôi muốn cung cấp một số hiểu biết bổ sung, với một vài câu hỏi.

Trước tiên, bạn có biết một tín hiệu thỏa mãn nhận dạng đảo ngược thời gian / liên hợp này không :

$$x(−t)=x^*(t)\,?$$

Một ý tưởng rõ ràng đầu tiên là chọn giữa các tín hiệu thực và đối xứng. Một thứ tự nhiên trong khung Fourier là cosin .

Bây giờ, chúng ta hãy phức tạp hơn một chút (chơi chữ có ý định).

Vì vậy, thứ hai, những gì về sin thực sự ? Đó là chống đối xứng. Nhưng nếu bạn nhớ rằng , hàm cũng trở thành một giải pháp. Vì vậy, do nghiện, chức năng$i^*=-i$$t\to i.\sin t$

$$t\to e^{i t}$$

(được gọi là hàm mũ phức tạp hoặc cisoid ) cũng là một giải pháp . Và biến đổi Fourier của nó (như một hàm tổng quát) thực sự là có thật (mặc dù bằng cách nào đó "vô hạn"). Đi xa hơn, bất kỳ sự kết hợp tuyến tính của cisoids với các hệ số thực sẽ làm điều đó.

Câu hỏi của bạn minh họa mức độ đối ngẫu của Fourier là quan trọng và cách sử dụng nó có thể đơn giản hóa một số vấn đề. Như đã thấy trong SYMMETRY CỦA DTFT CHO CÁC TÍN HIỆU THỰC SỰ :

Nói cách khác, nếu tín hiệu là có thực, thì phổ của nó là Hermiti (`` đối xứng liên hợp '').$x(n)$

Ở đây, tín hiệu cơ sở của bạn là Hermiti và phiên bản Fourier là có thật. Vì vậy, để hiểu được nó tốt hơn, chỉ cần tưởng tượng$x$$t$$f$

Nó cũng được gọi là nút chai / xoắn ốc Heyser .