Tín hiệu ngẫu nhiên là tín hiệu nguồn

Tại sao các tín hiệu ngẫu nhiên được coi là tín hiệu công suất (tức là tín hiệu có năng lượng vô hạn và công suất trung bình hữu hạn)?

Liệu điều này có ý nghĩa gì? Điều đó có nghĩa gì đối với các tín hiệu ngẫu nhiên có năng lượng vô hạn mặc dù chúng ta biết rằng các tín hiệu thực tế (thường có tính ngẫu nhiên vốn có trong chúng) có năng lượng hữu hạn!

— Có khả năng
nguồn

Bạn đang đưa ra nhiều tuyên bố không đúng hoặc chỉ đúng một nửa. Trước hết, bạn xác định một mô hình cho tín hiệu ngẫu nhiên của bạn. Nếu mô hình đó có năng lượng vô hạn, đó là lỗi của bạn. Sau đó, yeah, vũ trụ là hữu hạn và một ngày nào đó mặt trời sẽ chết, nhưng với tất cả các mục đích thực tế, tất cả các nguồn tiếng ồn xuất hiện tự nhiên có xu hướng là một nguồn năng lượng vô hạn.

— Marcus Müller

@ MarcusMüller Ok. Về cơ bản, điều bạn đang nói là điều này chỉ đúng với các tín hiệu ngẫu nhiên trong đó nhiễu phát ra từ một nguồn tự nhiên (ví dụ như chuyển động Brownian chẳng hạn). Đúng không?

— Có khả năng

Không, cái đó không đúng.

— Marcus Müller

Cũng như

\sin (w t)

$\sin(wt)$ có phạm vi vô hạn , là một cấu trúc toán học và không phải là thực tế (thực tế), định nghĩa toán học của một quá trình ngẫu nhiên nên có năng lượng vô hạn: Tích phân năng lượng không thể hội tụ bởi vì bạn không thể chỉ ra rằng

X (t)

$X(t)$ trở về không

t

$t$ đi đến vô cùng (như bạn phải chỉ ra điều này để tích phân được hội tụ). Bởi vì nếu bạn đã có thể hiển thị nó, thì

X (t)

$X(t)$ sẽ trở thành một tín hiệu xác định khi t đi đến vô cùng ... (vì giá trị của nó được dự đoán một cách chắc chắn, là 0, trong giới hạn).

— Fat32

Vâng, đó là về định nghĩa toán học của một quá trình ngẫu nhiên. Mặt khác, bất kỳ ứng dụng thực tế nào sẽ chỉ quan sát một mức độ hữu hạn của quá trình như vậy và do đó sẽ có năng lượng lớn nhưng hữu hạn. Chủ đề này tương tự như quan sát tín hiệu DC. Tín hiệu DC thực sự phải có một phạm vi vô hạn do đó năng lượng vô hạn. Nhưng cái thực tế sẽ không. Như một hệ quả của thực tế này, Biến đổi Fourier của DC đúng là một xung (biên độ vô hạn) trong khi FT của một cửa sổ (thực tế) DC là một sinc xung , hữu hạn có giá trị, năng lượng hữu hạn.

— Fat32

Câu trả lời:

Lưu ý rằng điều kiện

\begin{matrix} (1) & \int_{- \infty}^{\infty} | f (t) |^{2} d t < \infty \end{matrix}

$\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt<\infty\tag{1}$

(tức là tín hiệu $f(t)$ có năng lượng hữu hạn) rất hạn chế khi chúng ta cố gắng mô hình hóa các tín hiệu, mặc dù rõ ràng bất kỳ tín hiệu thực sự nào xảy ra đều phải có năng lượng hữu hạn. Mô hình hóa các tín hiệu như các quá trình ngẫu nhiên có nghĩa là chúng ta bỏ qua điều kiện $(1)$ . Các mô hình luôn không thực tế ở một mức độ nhất định, nhưng nhiều tín hiệu có thể được mô tả rất tốt bằng các quy trình ngẫu nhiên mặc dù các tín hiệu có năng lượng hữu hạn và mô hình của chúng thì không. Khía cạnh này của mô hình thường không liên quan.

Một ví dụ có thể phục vụ để hiểu thực tế này tốt hơn một chút là mô hình được sử dụng thường xuyên của một quá trình đứng yên (nghĩa rộng). Một số tính chất thống kê của một quy trình như vậy không thay đổi theo thời gian và do đó, việc thực hiện quy trình đó thường không phân rã như $t\rightarrow\pm\infty$ và $(1)$ nhìn chung sẽ không hài lòng, mặc dù chúng tôi chỉ quan tâm đến các thuộc tính của quá trình đó trong một cửa sổ thời gian hữu hạn nhất định. Tuy nhiên, công suất và phổ công suất có thể được xác định cho các quy trình như vậy và hầu hết các quy trình thực tế hữu ích đều có công suất hữu hạn (hoặc có thể dễ dàng thực hiện để có công suất hữu hạn).

— Matt L
nguồn

"Mô hình hóa các tín hiệu như các quá trình ngẫu nhiên có nghĩa là chúng ta bỏ qua điều kiện (1)", điều này có nghĩa là tuyên bố rằng các tín hiệu ngẫu nhiên không thể có năng lượng hữu hạn mà chỉ có công suất hữu hạn là đúng? Xin lỗi nếu điều này có vẻ như hỏi điều tương tự hai lần nhưng bây giờ tôi thực sự bối rối và tôi nghĩ rằng tôi cần một câu trả lời rõ ràng cho câu hỏi đó.

— Có khả năng

@ Có khả năng: Vâng, điều đó đúng, mặc dù việc thực hiện cụ thể một quy trình ngẫu nhiên về mặt lý thuyết có thể có năng lượng hữu hạn.

— Matt L.

Tôi nghĩ đơn giản.

Chúng tôi muốn mô hình một hiện tượng vật lý ngẫu nhiên cho mục đích phân tích. Một cách là mô hình hóa nó bằng một quá trình ngẫu nhiên $X(t)$ , tức là một chuỗi thời gian của các biến ngẫu nhiên $\left\lbrace X(t_k) = X(t=t_k), t_k \in \mathbb{R} \right\rbrace$ .

Biến ngẫu nhiên $X(t_k)$ được liên kết với hàm phân phối xác suất (PDF) với một số khoảnh khắc hữu hạn (trong trường hợp điển hình, khoảnh khắc thứ 1 và thứ 2 tương đương với giá trị trung bình và phương sai), một lần nữa cho mục đích phân tích.

Thực tế là kết quả của biến ngẫu nhiên $X(t_k)$ có thể là vô hạn, thậm chí với xác suất rất thấp, (nói chung) làm cho năng lượng thực hiện quá trình ngẫu nhiên $X(t)$ vô hạn trong bất kỳ phiên bản cửa sổ thời gian nào của $X(t)$ .

Còn sức mạnh thì sao?

P = lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{- T}^{+ T} | x (t) |^{2} d t

$P=\lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T}^{+T} |x(t)|^2 \mathrm{d}t$

Công suất có thể được xác định hữu hạn bằng, ví dụ, giả sử tính linh hoạt của và các khoảnh khắc hữu hạn. $P$ $X(t)$

Mọi người nghĩ rằng loại mô hình này là hợp lý, đã thử sử dụng nó và đã tìm thấy nó phù hợp với nhiều quy trình hữu ích. Do đó mô hình được giữ.

— AlexTP
nguồn

-1 cho những điều vô nghĩa trong đoạn thứ tư. Theo định nghĩa, các biến ngẫu nhiên đảm nhận các giá trị trong , chứ không phải và do đó, việc thực hiện không thể có giá trị trong một khoảng thời gian khác không, nghĩa là không đóng góp gì cho năng lượng của việc thực hiện, cho dù cửa sổ thời gian hay không.

R

$\mathbb R$

R +

$\mathbb R+$

X (t)

$X(t)$

\pm \infty

$\pm \infty$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate cảm ơn, tôi có thể hiểu rằng nếu các biến lấy giá trị trong (là ?), Việc nhận ra có thể có giá trị trong một khoảng thời gian khác không? Và làm thế nào bạn có thể giải thích rằng một tín hiệu ngẫu nhiên theo thời gian có năng lượng vô hạn?

R +

$\mathbb{R}+$

(0, + \infty) \subset R

$(0,+\infty) \subset \mathbb{R}$

X (t)

$X(t)$

\pm \infty

$\pm \infty$

— AlexTP

Trong các giải trình cơ bản về lý thuyết về các biến ngẫu nhiên, một biến ngẫu nhiên là ánh xạ từ một không gian mẫu đến và người ta phủ nhận sự tồn tại của bất kỳ kết quả nào trong được ánh xạ tới : các giá trị đó không phải là trong . Giải trình chính thức hơn cho phép phạm vi nhưng nhấn mạnh rằng tập hợp tất cả các kết quả được ánh xạ tới là một sự kiện có xác suất . Bây giờ, năng lượng là tích phân của và giá trị nhất thời của

Ω

$\Omega$

R

$\mathbb R$

ω

$\omega$

\pm \infty

$\pm\infty$

R

$\mathbb R$

R +

$\mathbb R+$

\pm \infty

$\pm \infty$

0

$0$

| x (t) |^{2}

$|x(t)|^2$

\pm \infty

$\pm \infty$ truyền tải không có năng lượng; bạn cầntrở thành trong một khoảng thời gian khác không ...

| x (t) |

$|x(t)|$

\infty

$\infty$

— Dilip Sarwate

... và nếu mô hình quy trình ngẫu nhiên của bạn cho phép vô cùng nhiều có giá trị vì nếu nhận ra là phải nhấn và ở đó trong một khoảng thời gian khác, bạn có nhiều vấn đề nghiêm trọng cần lo lắng hơn là tầm thường về năng lượng và sức mạnh.

X (t_{k})

$X(t_k)$

\pm \infty

$\pm \infty$

X (t)

$X(t)$

\pm \infty

$\pm\infty$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate Tôi đồng ý với bạn rằng giải thích của tôi về "tín hiệu ngẫu nhiên có năng lượng vô hạn" là không chính xác. Và nếu tôi hiểu chính xác, bạn vừa giải thích rằng một mô hình quy trình ngẫu nhiên không thể có có giá trị để chứng minh rằng tôi đã sai. Bạn có thể cho tôi một số trực giác tại sao tín hiệu ngẫu nhiên là vô hạn năng lượng? Câu trả lời của Matt L "Mô hình hóa tín hiệu như các quá trình ngẫu nhiên có nghĩa là chúng ta bỏ qua điều kiện năng lượng hữu hạn" có vẻ mơ hồ. Cảm ơn

X (t_{k})

$X(t_k)$

\pm \infty

$\pm \infty$

— AlexTP

Ngoài nhận xét của Marcus Müller, Nếu tín hiệu có năng lượng hữu hạn thì giá trị tín hiệu phải đạt đến 0 sau thời gian đủ dài, nhưng đối với tín hiệu ngẫu nhiên, tín hiệu của bạn thường không có hạn chế như vậy.

— Mohammad M
nguồn

Nhưng những gì bạn đang nói có nghĩa là các tín hiệu ngẫu nhiên không có năng lượng hữu hạn !! Do đó, đúng là nói họ có thể có sức mạnh hữu hạn!

— Có khả năng

Hãy xem xét nhiễu nhiệt của điện trở, nếu bạn có thể giữ nhiệt độ của điện trở đó bằng 0, thì nhiễu nhiệt của bạn có năng lượng vô hạn, nói cách khác là nếu bạn quản lý để tiêu hao năng lượng từ nhiễu nhiệt của điện trở đó, thì nhiệt độ của nó sẽ giảm trừ khi bạn thêm năng lượng vào điện trở đó và giữ nhiệt độ của nó trên 0.

— Mohammad M

@ Có khả năng Vấn đề năng lượng vô hạn tăng lên khi biên độ tín hiệu phân kỳ hoặc nó có thời lượng vô hạn.

— Mohammad M

Được rồi tôi hiểu rồi. Vẫn là bạn đang làm tôi bối rối. Trong câu trả lời của bạn, bạn đã đưa ra một điều kiện để các tín hiệu có năng lượng hữu hạn và cho biết các tín hiệu ngẫu nhiên không tuân theo nó, nói cách khác, các tín hiệu ngẫu nhiên không thể có năng lượng hữu hạn. Bây giờ, bạn đang đưa ra các điều kiện để một tín hiệu ngẫu nhiên có năng lượng vô hạn mà thực tế là không thể, điều đó có nghĩa là các tín hiệu ngẫu nhiên không thể có năng lượng vô hạn. Cuối cùng, tôi không thể biết đó là sự thật!

— Có khả năng

Tôi không nói tất cả các tín hiệu ngẫu nhiên không tuân theo điều kiện đó, bạn có thể xác định các quy trình ngẫu nhiên (tín hiệu ngẫu nhiên) với năng lượng hữu hạn. Trong khoa học, chúng ta luôn sử dụng các giả định đơn giản hóa, ví dụ, trong cơ học thiên thể, chúng ta cho rằng trái đất chỉ là một điểm không có bất kỳ chiều nào và đáng ngạc nhiên nhận được kết quả thỏa mãn.

— Mohammad M