Thứ nhất bộ lọc thông thấp

Tôi đang cố gắng để hiểu rõ hơn về bộ lọc thông thấp thứ nhất:

Tóm tắt :

Trên mỗi wikipedia, bộ lọc thông thấp thứ tự đầu tiên mang lại kết quả sau trong thời gian riêng biệt: mang lại hoặc

\frac{Y (s)}{U (s)} = \frac{ω_{c}}{s + ω_{c}}

$\frac{Y(s)}{U(s)}= \frac{\omega_{c}}{s+\omega_{c}}$

y [k] = (\frac{ω_{c} T_{s}}{1 + ω_{c} T_{s}}) u [k] + (\frac{1}{1 + ω_{c} T_{s}}) y [k - 1]

$y[k] = \left(\frac{\omega_c T_{s}}{1+\omega_{c} T_{s}} \right) u[k]+\left(\frac{1}{1+\omega_c T_{s}}\right) y[k-1]$

y [k] = = α bạn [k] + (1 - α) y [k - 1]

$y[k] =\alpha \, u[k] \ + \ (1 - \alpha)y[k-1]$

Ở đâu

$\begin{array}{cclc} \omega_{c} &:& \text{Cutoff angular frequency of filter} & [\frac{rad}{s}] \\ T_{s} &:& \text{Sampling period} & [s] \\ \end{array}$

Câu 1 :

Mặc dù bộ lọc này ở trong thời gian riêng biệt, nhưng nó vẫn mô hình bộ lọc tương tự ( -plane)? $s$

Nếu tôi muốn sử dụng một hệ thống máy tính rời rạc để lọc theo thời gian thực,
tôi có cần sử dụng tương đương kỹ thuật số ( -plane) không? $z$
Nếu vậy, quá trình chung để thực hiện điều này là gì?
Dự đoán tốt nhất của tôi là:
1. Xác định tần số cắt kỹ thuật số . $\omega_d$
2. Chuyển đổi sang tần số cắt tương tự . $\omega_a = \frac{2}{T} \cdot \mathrm{tan}(\omega_d \cdot \frac{T}{2})$
3. Xác định hàm truyền cho bộ lọc
  tương tự (bậc thấp thứ nhất) sử dụng tần số cắt tương tự . $\omega_a$
4. Chuyển đổi sang chức năng chuyển đổi cho bộ lọc kỹ thuật số
  bằng cách sử dụng biến đổi song tuyến $z = \frac{2}{T} \cdot \frac{z-1}{z+1}$

Liên quan đến làm mịn theo cấp số nhân :

Trên cùng một trang, làm mịn theo cấp số nhân được tham chiếu.
Các mịn mũ trang mô tả một bình quân gia quyền theo cấp số nhân như:

y [k] = = α bạn [k] + (1 - α) y [k - 1] Ở đâu α = = 1 - e^{- ω_{c} \cdot T_{S}}

$y[k] =\alpha u[k]+\left(1 - \alpha\right)y[k-1]\quad\text{where}\quad\alpha = 1 - e^{-\omega_{c} \cdot T_{s}}$

Câu 2 :

Làm thế nào có thể liên kết alpha bộ lọc thông thấp thứ nhất
với alpha làm mịn theo cấp số nhân?

— kando
nguồn

Dường như với tôi rằng hai hoàn toàn giống nhau.

α

$\alpha$

— robert bristow-johnson

@ robertbristow-johnson Bạn có thể chứng minh rằng ?

\frac{1}{1 + x} = 1 - e^{- x}

$\frac{1}{1+x} = 1 - e^{-x}$

— kando

@ Fat32: Bạn có thể cung cấp một số ví dụ? Tôi đã không thể tìm thấy các mô tả cấp độ cơ bản cho trước đây, hoặc bất cứ điều gì liên quan đến liên quan đến làm mịn theo cấp số nhân.

e

$e$

— kando

oh tôi vô cùng xin lỗi Tôi có nghĩa là biến đổi song tuyến tất nhiên ... Tìm kiếm với thiết kế bộ lọc biến đổi song tuyến ...

— Fat32

Điều này có trả lời câu hỏi của bạn không? Bộ lọc thông thấp IIR đơn cực - công thức nào đúng cho hệ số phân rã?

— Dan Boschen

Để trả lời câu hỏi đầu tiên của bạn, vâng, bạn sẽ cần chuyển đổi tín hiệu thành mặt phẳng Z. Biến đổi tuyến tính hai chiều là một cách để đạt được kết quả mong muốn. Bạn thậm chí có thể thử Impulse Invariant Transform để chuyển đổi bộ lọc tương tự sang bộ lọc kỹ thuật số.

— Srinidhi Bharadwaj
nguồn

Bộ lọc trong miền kỹ thuật số tất nhiên có sự tương ứng trong miền tương tự. Tuy nhiên, hành vi miền tương tự khác với bộ lọc tương tự thông qua biến đổi song tuyến do cong vênh tần số: suy giảm đi đến khi tín hiệu tiếp cận tần số Nyquist thay vì tín hiệu tiếp cận tần số vô hạn. $-\infty$

Để trả lời cho câu hỏi đầu tiên, không nhất thiết bạn không cần phải chuyển đổi tín hiệu thành miền z, nhưng đó có lẽ là điều phổ biến nhất để làm. Một cách khác là tính toán đáp ứng tần số rời rạc của bộ lọc và nhân DFT (FFT) của tín hiệu đầu vào với nó, sau đó lấy DFT nghịch đảo (FFT). Tôi thường làm điều này trong các plugin âm thanh của mình cho các bộ lọc có thứ tự cao hơn hai để đảm bảo tính ổn định, đặc biệt là khi các tham số bộ lọc thay đổi.

— DaveClark
nguồn