Là tín hiệu đồng bằng Dirac (xung) là tín hiệu năng lượng hay tín hiệu năng lượng?

8

Tôi là người mới bắt đầu rất xin lỗi nếu câu hỏi này rất cơ bản. Dirac impulse có diện tích hữu hạn tức là = 1. Nhưng tôi đã nghe nói rằng không xác định. Vì vậy, diện tích dưới cũng là undefined và tín hiệu không tồn tại trong mọi thời đại nên nó không thể là một tín hiệu điện. Vì vậy, dự đoán của tôi là cả tín hiệu Sức mạnh và Năng lượng. Tôi có đúng không $|\delta(t)|^2$ $|\delta(t)|^2$ $t$

signal-power signal-energy

— Hendry Newman
nguồn

Rời khỏi không xác định không có nghĩa là tích phân của nó là vô hạn. Lý do không có định nghĩa là không có cách nhất quán để định nghĩa nó. Nếu bạn sử dụng phương pháp xác định phân phối Dirac là giới hạn của các hàm đơn vị diện tích với hỗ trợ tiếp cận 0, thì bình phương của hàm đó đơn giản có thể hội tụ với bất kỳ thứ gì bạn muốn. Do đó, hình vuông không được ngụ ý bởi thuộc tính xác định của phân phối Dirac.

| δ |^{2}

$|\delta|^2$

— Jazzmaniac

Cụ thể, bạn có thể định nghĩa một chuỗi các hàm như vậy hội tụ đếnsao cho diện tích của hình vuông điểm của nó hội tụ về 0 hoặc bất kỳ số không âm nào khác.

| δ |

$|\delta|$

— Jazzmaniac

1

Vâng, tôi hiểu sai lầm của tôi. Nhưng giải phương trình Parseval − | x (t) | 2dt = ∫∞ − | X (f) | 2df, Năng lượng của tín hiệu xung đơn vị Eω = ∫∞ − ∞ | 1 | 2df =. Là cách tiếp cận xác định năng lượng là vô hạn là tốt?

— Hendry Newman

@Jazzmaniac điều gì xảy ra nếu bạn xác định chính đối tượng là giới hạn của các hàm thông thường, (giống như thông thường được định nghĩa như vậy), chẳng hạn như: trong đó ... Vì vậy, ít nhất sau đó chúng ta sẽ không tự hỏi về các thuộc tính của hình vuông của hàm tổng quát. Thay vào đó, chính nó, độc lập với , được định nghĩa trực tiếp ... điều đó có giúp ích gì không?

δ (t)^{2}

$\delta(t)^2$

δ (t)

$\delta(t)$

δ (t)^{2} = lim_{Δ \to 0} F_{Δ} (t)

$\delta(t)^2 = \lim_{{\Delta} \rightarrow 0} F_{\Delta}(t)$

F_{Δ} (t) = p_{Δ} (t) p_{Δ} (t) = p_{δ} (t)^{2}

$F_{\Delta} (t) = p_{\Delta}(t) p_{\Delta}(t) = p_{\delta}(t)^2$

δ (t)

$\delta(t)$

— Fat32

2

Một câu đơn giản cần nhớ: "dirac delta chỉ có ý nghĩa dưới một dấu hiệu không thể tách rời"

— percusse

7

[Đã thêm một tài liệu tham khảo về định lý bất khả thi của Schwartz cho các sản phẩm phân phối]

Dirac delta liên tục không được coi là một chức năng hoặc tín hiệu thực sự, mà là một phân phối. Từ trang wikipedia của nó : $\delta$

Hàm delta cũng có thể được định nghĩa theo nghĩa phân phối chính xác như trên trong trường hợp một chiều. [25] Tuy nhiên, mặc dù sử dụng rộng rãi trong bối cảnh kỹ thuật, (2) nên được xử lý cẩn thận, vì sản phẩm của các bản phân phối chỉ có thể được xác định trong các trường hợp khá hẹp .

Nó có thể được định nghĩa sao cho, đối với bất kỳ hàm thỏa mãn một số thuộc tính quan trọng và cho : $f$ $a\in \mathbb{R}$

\int f (t) δ (t - a) d t = f (a) .

$\int f(t)\delta(t-a)dt=f(a).$

Theo hiểu biết tốt nhất của tôi, những thuộc tính quan trọng đó không được thỏa mãn bởi , do đó người ta không thể thay thế trực tiếp bằng và nhận được kết quả có ý nghĩa. Theo như được biết, sản phẩm của hai bản phân phối Dirac không được xác định rõ, trừ khi người ta nói về các phiên bản chiều, hay còn gọi là các thao tác "chính thức" như được sử dụng trong vật lý, hoặc toán học phức tạp hơn. Một tài khoản ngắn về sản xuất đơn giản các danh tính chức năng đồng bằng Dirac được cung cấp bởi Nicholas Wheeler. Nếu một người muốn tìm hiểu sâu hơn, tôi muốn đề xuất Lý thuyết về các chức năng tổng quát của Colombia , bởi Ta Ngọc Tri, 2005: $\delta$ $f$ $\delta$ $n$

Ngay sau khi giới thiệu lý thuyết của riêng mình, L. Schwartz đã xuất bản một bài báo trong đó ông cho thấy một kết quả không thể (xem [Sch54]) về sản phẩm của hai bản phân phối tùy ý.

Một kết quả là kết quả không thể Schwartz . Nó (bằng cách nào đó) nói rằng nếu một người muốn bao gồm đạo hàm của các hàm phân biệt liên tục để giữ quy tắc đạo hàm của Leibniz, thì người ta nhận được . $\delta^2(|x|)=0$

Tuy nhiên, từ quan điểm không chính thức, đôi khi được sử dụng trong DSP (và trong vật lý), "sản phẩm" này, theo như tôi biết, không phải là năng lượng hay năng lượng. Tuy nhiên, theo quan điểm logic, nếu nó không tồn tại, người ta có thể ảnh hưởng đến "sản phẩm" này rất nhiều thuộc tính ...

Một số bài viết liên quan:

Sản phẩm của chức năng delta với chính nó là gì?
Căn bậc hai của Hàm Dirac Delta là gì?
Các sản phẩm và tác phẩm có chức năng delta Dirac , CK Raju, Tạp chí Vật lý A: Toán học và Đại cương, Tập 15, Số 2

— Laurent Duval
nguồn

1

Khi bạn nói sản phẩm này không phải là năng lượng hay năng lượng, bạn có nghĩa là theo nghĩa của hàm không phải là năng lượng, cũng không phải là tín hiệu năng lượng, (vì nó có năng lượng vô hạn và công suất trung bình vô hạn)? Hay bạn có nghĩa là nó không được xác định (hoặc không thể quyết định)?

x (t) = t u (t)

$x(t) = t u(t)$

— Fat32

Tôi đã đưa ra câu trả lời của mình và @endolith (trong một động thái tốt), đã thực hiện một số chỉnh sửa và các chỉnh sửa của tôi đã bị mất (vì tôi trên Chrome). Vì vậy, cho đến khi tôi tìm thấy năng lượng để làm lại: Đầu tiên, trừ khi tôi tìm ra cách để định nghĩa hình vuông Dirac độc đáo và có căn cứ, hữu ích cho DSP, có thể đánh giá nhân vật năng lượng / năng lượng, không phải là (IMO), trong cách trần tục truyền thống. Thứ hai: nếu không phải là duy nhất hoặc có thể quyết định, tôi nên chọn thêm một "tiên đề năng lượng / năng lượng". Một sản phẩm như vậy là quá hoang dã đối với tâm trí của tôi ở thời điểm hiện tại (như trong quá khứ)

i \times i

$i\times i$

— Laurent Duval

3

$\delta(x)$ hoàn toàn không tồn tại đối với bất kỳ cụ thể nào . Giống như Laurent Duval đã nói, Dirac không phải là hàm , mà là toàn bộ ánh xạ là một chức năng , ánh xạ các hàm đến các giá trị của hàm được đánh giá tại một số điểm cụ thể. Có thể cho rằng sẽ phản ánh điều đó với một chuyên dụng biểu tượng, như (Lý do nên viết như thể đó là một Hàm là bất kỳ $x$ $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$

∖ f \mapsto f (a) \equiv ‘ ‘ \int_{R} d t f (t) \cdot δ (t - a) "

$\backslash f \mapsto f(a) \equiv ``\int_\mathbb{R}\!\!\mathrm{d}t\: f(t) \cdot \delta(t-a)"$

\int δ_{a} d t f (t) .

$\int\!\!\!\!\delta_a\mathrm{d}t\: f(t).$

δ

$\delta$

R \to R

$\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ Hàm tích hợp vuông tạo ra một hàm theo cách tương tự, cụ thể là Thực tế đó chỉ là sản phẩm vô hướng giữa và ; không gian chức năng là một không gian Hilbert Lợi ích của ký hiệu Dirac-delta là nó cho phép bạn viết các chồng chập của các hàm chức năng thực và các hàm Dirac như vậy, ví dụ như xung xung cao

g

$g$

γ : L^{2} (R) \to R, γ (f) = \int_{R} d t f (t) \cdot g (t) .

$\gamma : L^2(\mathbb{R})\to\mathbb{R}, \quad \gamma(f) = \int_\mathbb{R}\!\!\mathrm{d}t\:f(t)\cdot g(t).$

L^{2}

$L^2$

f

$f$

g

$g$

L^{2}

$L^2$

δ (t) - \sqrt{\frac{ω_{0}}{2 π}} \cdot \exp (- t^{2} \cdot \frac{ω_{0}^{2}}{2}) .

$\delta(t) - \sqrt{\frac{\omega_0}{2\pi}}\cdot\exp(-t^2\cdot\tfrac{\omega_0^2}2).$ Đó là một chức năng mà bạn không bao giờ thực sự có thể thực hiện trong thực tế, chỉ gần đúng, nhưng nó nắm bắt được khái niệm về bộ lọc thông cao không thực sự liên quan đến đáp ứng xung như vậy, nhưng bằng cách gấp nó với thực tế- tín hiệu thế giới và chính sự gấp khúc cung cấp tích phân xác định ý nghĩa của .)

δ

$\delta$

Vì vậy, vì không phải là một hàm, không có lý do gì để tin rằng nó có thể có ý nghĩa để viết vì trong biểu thức đó, delta không xảy ra chính xác một lần bên dưới một tích phân chạy qua biến của nó . Ngay cả khi bạn đã viết một tích phân xung quanh nó, nó sẽ luôn có hai deltas có cùng tham số trong đó và điều đó không được xác định. $\delta$ $|\delta(t)|^2$

Tóm tắt: bạn nói đúng, Dirac không phải là tín hiệu, không phải năng lượng hay năng lượng.

— bên trái
nguồn

1

Định dạng latex của bạn dường như bị phá vỡ. Bạn đã sử dụng một trình soạn thảo / chuyển đổi công thức latex hay đây là chủ ý?

— Jazzmaniac

@Jazzmaniac định dạng vẫn ổn trong trình duyệt của tôi, nhưng tôi đã vô tình sử dụng một vài Unicode thay vì LaTeX \mathbb{R}, có lẽ MathJax không hỗ trợ đáng tin cậy điều đó. Nó làm cho ok bây giờ?

— leftaroundabout

3

Bạn nói đúng rằng bình phương của xung delta Dirac không được xác định, do đó, năng lượng và năng lượng không thể được xác định theo cách thông thường đối với các tín hiệu chứa xung Dirac.

Tuy nhiên, tương tự với các tín hiệu thời gian rời rạc, người ta thường xác định năng lượng và công suất của tín hiệu bao gồm các xung Dirac theo cách sau. Nếu một tín hiệu được đưa ra bởi $x(t)$

\begin{matrix} (1) & x (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} a_{n} δ (t - t_{n}) \end{matrix}

$x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n\delta(t-t_n)\tag{1}$

sau đó năng lượng của nó có thể được định nghĩa là

\begin{matrix} (2) & E_{x} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} | a_{n} |^{2} \end{matrix}

$E_x=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|a_n|^2\tag{2}$

và sức mạnh của nó có thể được xác định bởi

\begin{matrix} (3) & P_{x} = lim_{T \to \infty} \frac{1}{2 T} \sum_{n : | t_{n} | < T} | a_{n} |^{2} \end{matrix}

$P_x=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{2T}\sum_{n:\;|t_n|<T}|a_n|^2\tag{3}$

Sử dụng định nghĩa và , tín hiệu bao gồm các xung Dirac có thể là tín hiệu năng lượng ( ) hoặc tín hiệu công suất ( , ) hoặc không phải của hai (cả và không tồn tại). $(2)$ $(3)$ $E_x<\infty$ $E_x\rightarrow\infty$ $P_x<\infty$ $(2)$ $(3)$

— Matt L
nguồn

Việc khái quát hóa rằng các ô vuông không được xác định cho bất kỳ phân phối nào là không chính xác, ít nhất là không phải không có trình độ bổ sung của phân phối hạn.

— Jazzmaniac

@Jazzmaniac: Tôi đã xóa tham chiếu đến các bản phân phối chung vì nó không thêm bất cứ điều gì hữu ích vào câu trả lời. Nhân tiện, tuyên bố đó được lấy từ tài liệu kỹ thuật, điều này thực sự có thể không chính xác khi nói đến chi tiết về các bản phân phối.

— Matt L.

0

Bạn đã có câu trả lời hay ở đây nhưng tôi đang cố gắng giải thích nó một cách đơn giản: Xung động là bất kỳ tín hiệu nào hoàn toàn bằng không ngoại trừ một đốm ngắn có hình dạng tùy ý. Ví dụ, một xung cho máy phát vi sóng có thể phải ở trong phạm vi picosecond vì các thiết bị điện tử phản ứng tính bằng nano giây. So sánh, một ngọn núi lửa phun trào trong nhiều năm có thể là một động lực hoàn toàn tốt cho những thay đổi địa chất mất hàng thiên niên kỷ. Các nhà toán học không muốn bị giới hạn bởi bất kỳ hệ thống cụ thể nào và thường sử dụng thuật ngữ xung để có nghĩa là một tín hiệu đủ ngắn để trở thành một xung cho bất kỳ hệ thống nào! Đó là một tín hiệu cực kỳ hẹp và một lần nữa các nhà toán học định nghĩa một xung là: 1. tín hiệu ngắn gọn vô hạn 2. Xung xảy ra ở thời điểm 0 và 3. Xung phải có một vùng [By Steven W. Smith]

— S Fateri
nguồn