Thay thế một số điện tử trong công thức của Euler bằng một số khác

8

Công thức của Euler có còn hiệu lực không nếu chúng ta sử dụng bất kỳ số thực nào ngoài hằng số ? Ví dụ: thay thế bằng 5 sẽ làm cho công thức giống như thế này: . $e$ $e$ $5^{it}$

Tôi đã thử ý tưởng này trong Matlab và thay thế bằng một vài số thực khác (ví dụ 1.5, 10, 2.1) và mỗi lần cốt truyện vẫn hiển thị những gì có vẻ như sóng cos và sin. Tần số của cos và sin đã thay đổi tùy thuộc vào cơ sở. $e$

Đây là cách tiếp cận của tôi:

w = freq * 2 * pi;
t = 0:0.001:1000 ;

a = real( number ^ (i*wt) ) ; % cos in Euler's formula
b = imag( number ^ (i*wt) ) ; % sin in Euler's formula

— Tò mò
nguồn

23

Giả sử bạn quan tâm đến Lưu ý rằng vì vậy có thể được viết là

\begin{matrix} (1) & M^{j 2 π f_{0} t} . \end{matrix}

$M^{j2\pi f_0 t}. \tag{1}$

M = e^{\log M},

$M = e^{\log M},$

(1)

$(1)$

\begin{aligned} M^{j 2 π f_{0} t} & = {(e^{\log M})}^{j 2 π f_{0} t} \\ = e^{j 2 π (f_{0} \log M) t} \\ = \cos (2 π (f_{0} \log M) t) + j \sin (2 π (f_{0} \log M) t), \end{aligned}

$\begin{align} M^{j2\pi f_0 t} &= \left( e^{\log M} \right) ^ {j2\pi f_0 t} \\ &= e^{j2\pi (f_0\log M) t} \\ &= \cos(2\pi (f_0\log M) t) + j \sin(2\pi (f_0\log M) t), \end{align}$ là một hình sin phức tạp với tần số . Đó là lý do tại sao sử dụng thay vì dẫn đến thay đổi tần số.

f_{0} \log M

$f_0 \log M$

M

$M$

e

$e$

— MBaz
nguồn

2

Đó là một câu hỏi thú vị. Chúng ta hãy xem những số phức nào khác có thuộc tính mà chúng "hoạt động như " trong công thức cổ điển, nghĩa là cho tất cả các phức . Để thuận tiện, giả sử chúng ta có thể viết $w$ $e$

e^{z} = w^{z}

$e^z = w^z$

z = x + i y

$z=x+iy$

w = r e^{i t}

$w=re^{it}$

Biểu tượng lấy nhiều giá trị có thể $w^z$

w^{z} = e^{z \log w} = e^{(x + i y) (\overset{possible values of \log w}{\overset{⏞}{\ln r + i t + 2 k π i}})} = e^{(x \ln r - y t - 2 k π y) + i (y \ln r + x t + 2 k π x)}

$w^z =e^{z\log w} = e^{(x+iy)(\overbrace{\ln r + it + 2k\pi i}^{\textrm{possible values of $\log w$}})} =e^{(x\ln r - yt-2k\pi y) +i(y\ln r + xt +2k\pi x)}$

Điều này có nghĩa là chúng ta sẽ có khi cho một số . Nhưng điều này có nghĩa (bằng cách đánh đồng các phần thực và ảo ở cả hai bên) Điều này có thể xảy ra với tất cả (nghĩa là tất cả ) chỉ khi và . $e^z=w^z$

(x + y i) - [(x \ln r - y t - 2 k π y) + i (y \ln r + x t + 2 k π x)] = 2 π n i

$(x+yi)-[(x\ln r - yt-2k\pi y) +i(y\ln r + xt +2k\pi x)] = 2\pi n i$

n

$n$

{\begin{cases} x = x \ln r - y t - 2 k π y \\ y = y \ln r + x t + 2 k π x + 2 π n \end{cases}

$\begin{cases}x=x\ln r - yt-2k\pi y\\y=y\ln r + xt +2k\pi x + 2\pi n \end{cases}$

z

$z$

x, y

$x,y$

r = e

$r=e$

t = k = n = 0

$t=k=n=0$

Nhưng điều đó có nghĩa là , vì vậy không có số phức nào khác sẽ thực hiện thủ thuật. $w =e\cdot e^{0i}=e$ $w$

— MPW
nguồn

1

Với mọi a, vì " " và "ln (x)" là "các hàm nghịch đảo. Vì vậy, . Sau đó $a= e^{ln(a)}$ $e^x$

a^{i t} = e^{\ln (a^{i t})} = e^{i t \ln (a)}

$a^{it}= e^{\ln(a^{it})}= e^{it \ln(a)}$

a^{i t} = e^{i (t \ln (a))} = \cos (t \ln (a)) + i \sin (t \ln (a)) .

$a^{it}= e^{i (t \ln(a))}= \cos(t \ln(a))+ i \sin(t \ln(a)).$

— Hội trường
nguồn

Đối với tích cực

a

$a$

— Laurent Duval

@HallsofIvy: Điều này không hoàn toàn chính xác. Ngay cả khi giả sử , nhận nhiều giá trị: (lấy phục hồi giá trị cụ thể của bạn). Nếu là âm hoặc không có thực, nó thậm chí còn phức tạp hơn.

a > 0

$a>0$

a^{i t}

$a^{it}$

a^{i t} = e^{i t (\ln a + 2 π k i)} = e^{- 2 π k t + i t \ln a} = e^{- 2 π k t} (\cos (t \ln a) + i \sin (t \ln a))

$a^{it}=e^{it(\ln a + 2\pi ki)} = e^{-2\pi kt + it\ln a} = e^{-2\pi kt}(\cos(t\ln a) + i\sin(t\ln a))$

k = 0

$k=0$

a

$a$

— MPW