Biến đổi Fourier thời gian rời rạc của chuỗi bước đơn vị

Từ sách giáo khoa, chúng ta biết rằng DTFT của $u[n]$ được đưa ra bởi

\begin{matrix} (1) & U (ω) = π δ (ω) + \frac{1}{1 - e^{- j ω}}, - π \leq ω < π \end{matrix}

$U(\omega)=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{1-e^{-j\omega}},\qquad -\pi\le\omega <\pi\tag{1}$

Tuy nhiên, tôi chưa thấy một cuốn sách giáo khoa DSP nào ít nhất là giả vờ đưa ra một dẫn xuất âm thanh ít nhiều của $(1)$ .

Proakis [1] có nguồn gốc nửa bên phải của phía bên tay phải của $(1)$ bằng cách thiết lập $z=e^{j\omega}$ trong $\mathcal{Z}$ -transform của $u[n]$ , và nói rằng nó có giá trị trừ $\omega=2\pi k$ ( Tất nhiên là đúng). Sau đó, ông tuyên bố rằng ở cực của $\mathcal{Z}$ -transform, chúng ta phải thêm một xung delta với diện tích là $\pi$ , nhưng nó xuất hiện giống như một công thức đối với tôi hơn bất kỳ thứ gì khác.

Oppenheim và Schafer [2] đề cập đến trong bối cảnh này

Mặc dù nó không hoàn toàn đơn giản để hiển thị, trình tự này có thể được biểu diễn bằng biến đổi Fourier sau:

được theo sau bởi một công thức tương đương với $(1)$ . Thật không may, họ đã không gặp khó khăn để cho chúng tôi thấy bằng chứng "không hoàn toàn đơn giản".

Một cuốn sách mà tôi thực sự không biết, nhưng cuốn sách mà tôi tìm thấy khi tìm bằng chứng về là Giới thiệu về Thiết kế bộ lọc và xử lý tín hiệu số của BA Shenoi. Trên trang 138 có "đạo hàm" của , nhưng không may là nó sai. Tôi đã hỏi một câu hỏi "câu đố DSP" để mọi người chỉ ra điều gì sai với bằng chứng đó.] $(1)$ $(1)$

Vì vậy, câu hỏi của tôi là:

Bất cứ ai cũng có thể cung cấp một bằng chứng / dẫn xuất của âm thanh hoặc thậm chí nghiêm ngặt trong khi có thể truy cập được cho các kỹ sư nghiêng về toán học? Không thành vấn đề nếu nó chỉ được sao chép từ một cuốn sách. Tôi nghĩ rằng nó sẽ là tốt để có nó trên trang web này anyway. $(1)$

Lưu ý rằng ngay cả trên math.SE gần như không có gì liên quan được tìm thấy: câu hỏi này không có câu trả lời, và rằng một có hai câu trả lời, một trong số đó là sai (giống hệt nhau để tranh luận Shenoi), và một trong những khác sử dụng "tài sản tích lũy" , điều mà tôi sẽ hài lòng, nhưng sau đó người ta cần chứng minh tài sản đó, điều đó đưa bạn trở lại điểm khởi đầu (vì cả hai bằng chứng về cơ bản đều chứng minh điều tương tự).

Như một lưu ý cuối cùng, tôi đã đưa ra một cái gì đó giống như một bằng chứng (tốt, tôi là một kỹ sư), và tôi cũng sẽ đăng nó như một câu trả lời vài ngày kể từ bây giờ, nhưng tôi sẽ rất vui khi thu thập các bằng chứng được công bố hoặc chưa được công bố khác đơn giản và thanh lịch, và quan trọng nhất là có thể truy cập được đối với các kỹ sư DSP.

PS: Tôi không nghi ngờ tính hợp lệ của $(1)$ , tôi chỉ muốn xem một hoặc một số bằng chứng tương đối đơn giản.

[1] Proakis, JG và DG Manolakis, Xử lý tín hiệu số: Nguyên tắc, Thuật toán và Ứng dụng , ấn bản thứ 3, Mục 4.2.8

[2] Oppenheim, AV và RW Schafer, Xử lý tín hiệu thời gian rời rạc , tái bản lần 2, tr. 54.

Lấy cảm hứng từ một bình luận bởi Marcus Müller, tôi muốn chứng minh rằng

U (ω)

$U(\omega)$ như được đưa ra bởi Eq.

(1)

$(1)$ thỏa mãn yêu cầu

u [n] = u^{2} [n] \to U (ω) = \frac{1}{2 π} (U ⋆ U) (ω)

$u[n]=u^2[n]\rightarrow U(\omega)=\frac{1}{2\pi}(U\star U)(\omega)$

Nếu $U(\omega)$ là DTFT của $u[n]$ , thì

V (ω) = \frac{1}{1 - e^{- j ω}}

$V(\omega)=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}$

phải là DTFT của

v [n] = \frac{1}{2} sign [n]

$v[n]=\frac12\text{sign}[n]$

(nơi chúng tôi xác định ), bởi vì $\text{sign}[0]=1$

V (ω) = U (ω) - π δ (ω) ⟺ u [n] - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} sign [n]

$V(\omega)=U(\omega)-\pi\delta(\omega)\Longleftrightarrow u[n]-\frac12=\frac12\text{sign}[n]$

Vì vậy chúng tôi có

\frac{1}{2 π} (V ⋆ V) (ω) ⟺ {(\frac{1}{2} sign [n])}^{2} = \frac{1}{4}

$\frac{1}{2\pi}(V\star V)(\omega)\Longleftrightarrow \left(\frac12\text{sign}[n]\right)^2=\frac14$

từ đó nó theo đó

\frac{1}{2 π} (V ⋆ V) (ω) = DTFT {\frac{1}{4}} = \frac{π}{2} δ (ω)

$\frac{1}{2\pi}(V\star V)(\omega)=\text{DTFT}\left\{\frac14\right\}=\frac{\pi}{2}\delta(\omega)$

Với điều này, chúng tôi nhận được

\begin{aligned} \frac{1}{2 π} (U ⋆ U) (ω) & = \frac{1}{2 π} [(π δ (ω) + V (ω)) ⋆ (π δ (ω) + V (ω))] \\ = \frac{1}{2 π} [π^{2} δ (ω) + 2 π V (ω) + (V ⋆ V) (ω)] \\ = \frac{π}{2} δ (ω) + V (ω) + \frac{π}{2} δ (ω) \\ = U (ω) q.e.d. \end{aligned}

$\begin{align}\frac{1}{2\pi}(U\star U)(\omega)&=\frac{1}{2\pi}\left[(\pi\delta(\omega)+V(\omega))\star (\pi\delta(\omega)+V(\omega))\right]\\&=\frac{1}{2\pi}\left[\pi^2\delta(\omega)+2\pi V(\omega)+(V\star V)(\omega)\right]\\&=\frac{\pi}{2}\delta(\omega)+V(\omega)+\frac{\pi}{2}\delta(\omega)\\&=U(\omega)\qquad\text{q.e.d.}\end{align}$

— Matt L
nguồn

waaah Đừng phá vỡ thế giới của tôi. Nghi ngờ trong công thức đó giới thiệu một vương quốc của sự hỗn loạn. Ví dụ:

và do đó (với một tiền tố định nghĩa FT phụ thuộc vào hằng số

u^{2} (t) = u (t)

$u^2(t) = u(t)$

c

$c$

\begin{aligned} DTFT (u^{2}) (ω) & = c \cdot U (ω) * U (ω) \\ = c π U (ω) + \frac{c}{1 + e^{- j ω}} * U (ω) \\ = c π (π δ (ω) + \frac{1}{1 - e^{- j ω}}) + \frac{c π}{1 + e^{- j ω}} + c \frac{1}{1 + e^{- j ω}} * \frac{1}{1 + e^{- j ω}} \\ = c π^{2} δ (ω) + \frac{2 c π}{1 + e^{- j ω}} + c \frac{1}{1 + e^{- j ω}} * \frac{1}{1 + e^{- j ω}} \\ \overset{magic?}{=} U \end{aligned}

$\begin{align}\text{DTFT}(u^2)(\omega) &=c\,\cdot\, U(\omega)*U(\omega) \\&=c\pi U(\omega)+ \frac{c}{1+e^{-j\omega}}*U(\omega)\\&=c\pi \left(\pi\delta(\omega)+\frac{1}{1-e^{-j\omega}}\right)+\frac{c\pi}{1+e^{-j\omega}}+c\frac{1}{1+e^{-j\omega}}*\frac{1}{1+e^{-j\omega}}\\&=c\pi^2\delta(\omega)+\frac{2c\pi}{1+e^{-j\omega}} + c\frac{1}{1+e^{-j\omega}}*\frac{1}{1+e^{-j\omega}}\\&\overset{\text{magic?}}=U\end{align}$

— Marcus Müller

u^{2} [n] = u [n]

$u^2[n]=u[n]$

Tôi cho rằng bản thân mình rất đơn giản và điều đó có nghĩa là tôi lo lắng khi mọi thứ không cảm thấy "an toàn" khi tôi không thể thấy chúng có nguồn gốc như thế nào.

— Marcus Müller

U (w)

$U(w)$

DTFT {1} = 2 π δ (ω)

$\text{DTFT}\{1\}=2\pi\delta(\omega)$

Câu trả lời:

Cedron Dawg đã đăng một điểm ban đầu thú vị trong câu trả lời này . Nó bắt đầu với các bước sau:

\begin{aligned} U (ω) & = \sum_{n = 0}^{+ \infty} e^{- j ω n} \\ = lim_{N \to \infty} \sum_{n = 0}^{N - 1} e^{- j ω n} \\ = lim_{N \to \infty} [\frac{1 - e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}}] \\ = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} - lim_{N \to \infty} [\frac{e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}}] \end{aligned}

$\begin{align} U(\omega) &= \sum\limits_{n=0}^{+\infty} e^{-j \omega n} \\ &= \lim_{ N \to \infty } \sum\limits_{n=0}^{N-1} e^{-j \omega n}\\ &= \lim_{ N \to \infty } \left[ \frac{ 1 - e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } \right] \\ &= \frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } } - \lim_{ N \to \infty } \left[ \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } \right] \end{align}$

Hóa ra thuật ngữ bên trong giới hạn có thể được mở rộng như sau :

\begin{aligned} \frac{e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}} = & \frac{1}{\sin^{2} (ω) + (1 - \cos (ω))^{2}} \cdot \\ [- \cos (ω) \cos (N ω) + \cos (N ω) - \sin (ω) \sin (N ω) + j (- \sin (ω) \cos (N ω) + \cos (ω) \sin (ω) - \sin (N ω))] \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } ={} &\frac{1}{\sin^2(\omega)+(1-\cos(\omega))^2} \cdot \\ &\left[-\cos(\omega)\cos(N\omega)+\cos(N\omega)-\sin(\omega)\sin(N\omega)+ \\ j(-\sin(\omega)\cos(N\omega)+\cos(\omega)\sin(\omega)-\sin(N\omega))\right] \end{aligned}$

Yếu tố chung bên ngoài dấu ngoặc có thể được biểu thị như sau:

\frac{1}{\sin^{2} (ω) + (1 - \cos (ω))^{2}} = \frac{1}{4 \sin^{2} (ω / 2)}

$\frac{1}{\sin^2(\omega)+(1-\cos(\omega))^2} = \frac{1}{4\sin^2(\omega/2)}$

Phần thực bên trong ngoặc cũng bằng :

- \cos (ω) \cos (N ω) + \cos (N ω) - \sin (ω) \sin (N ω) = 2 \sin (ω / 2) \sin [ω (- N + 1 / 2)]

$-\cos(\omega)\cos(N\omega)+\cos(N\omega)-\sin(\omega)\sin(N\omega)= 2\sin(\omega/2)\sin[\omega(-N+1/2)]$

Mặt khác, phần tưởng tượng có thể được viết lại thành :

- \sin (ω) \cos (N ω) + \cos (ω) \sin (ω) - \sin (N ω) = - 2 \sin (ω / 2) \cos [ω (- N + 1 / 2)]

$-\sin(\omega)\cos(N\omega)+\cos(\omega)\sin(\omega)-\sin(N\omega)=-2\sin(\omega/2)\cos[\omega(-N+1/2)]$

Viết lại thuật ngữ gốc, chúng tôi nhận được rằng:

\begin{aligned} \frac{e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}} & = \frac{2 \sin (\frac{ω}{2})}{4 \sin^{2} (\frac{ω}{2})} (\sin [ω (- N + 1 / 2)] - j \cos [ω (- N + 1 / 2)]) \\ = - \frac{\sin [ω (M + 1 / 2)]}{2 \sin (\frac{ω}{2})} - j \frac{\cos [ω (M + 1 / 2)]}{2 \sin (\frac{ω}{2})} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } &=\frac{2\sin\left(\frac \omega 2\right)}{4\sin^2\left(\frac \omega 2\right) } \left( \sin[\omega(-N+1/2)] - j\cos[\omega(-N+1/2)]\right) \\ &=-\frac{\sin[\omega(M+1/2)]}{2\sin\left(\frac \omega 2\right)} - j\frac{\cos[\omega(M+1/2)]}{2\sin\left(\frac \omega 2\right)} \end{align}$

$M=N-1$ $M\to \infty$

Theo định nghĩa thứ 7 trong trang web này :

lim_{M \to \infty} - \frac{1}{2 \sin (ω / 2)} \sin [ω (M + 1 / 2)] = - π δ (ω)

$\lim_{M\to \infty} -\frac{1}{2\sin(\omega/2)}\sin[\omega(M+1/2)] = -\pi \delta(\omega)$

Cho đến nay chúng ta có điều đó:

lim_{M \to \infty} \frac{e^{- j ω (M + 1)}}{1 - e^{- j ω}} = - π δ (ω) - j lim_{M \to \infty} \frac{\cos [ω (M + 1 / 2)]}{2 \sin (ω / 2)}

$\lim_{ M \to \infty } \frac{ e^{-j \omega (M+1)} }{ 1 - e^{-j \omega } } =-\pi\delta(\omega) -j\lim_{M\to \infty} \frac{\cos[\omega(M+1/2)]}{2\sin(\omega/2)}$

$0$

\begin{aligned} U (ω) & = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} - lim_{N \to \infty} [\frac{e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}}] \\ = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} + π δ (ω) + j lim_{M \to \infty} \frac{\cos [ω (M + 1 / 2)]}{2 \sin (ω / 2)} \\ = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} + π δ (ω) \end{aligned}

$\begin{align} U(\omega) &= \frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } } - \lim_{ N \to \infty } \left[ \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } \right] \\ &=\frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } }+\pi\delta(\omega) +j\lim_{M\to \infty} \frac{\cos[\omega(M+1/2)]}{2\sin(\omega/2)} \\ & =\frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } }+\pi\delta(\omega) \end{align}$

— Tendero
nguồn

Điều này là rất tốt đẹp! Tôi đã kiểm tra nó và mọi thứ dường như là chính xác, do đó phần tưởng tượng phải có xu hướng bằng không trong một số ý nghĩa. Tôi sẽ suy nghĩ về nó một chút.

— Matt L.

@MattL. Hãy cho tôi biết nếu bạn có thể đạt được bất kỳ tiến bộ!

— Tendero

@MattL. Bằng chứng cuối cùng đã hoàn tất!

— Tendero

ω = 0

$\omega=0$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

1 / (1 - e^{- j ω})

$1/(1-e^{-j\omega})$

ω = 0

$\omega=0$

Tôi sẽ cung cấp hai bằng chứng tương đối đơn giản không yêu cầu bất kỳ kiến thức nào về lý thuyết phân phối. Để biết bằng chứng tính toán DTFT theo quy trình giới hạn sử dụng kết quả từ lý thuyết phân phối, hãy xem câu trả lời này của Tendero .

Tôi sẽ chỉ đề cập (và không nêu chi tiết) bằng chứng đầu tiên ở đây, bởi vì tôi đã đăng nó như một câu trả lời cho câu hỏi này , mục đích của nó là cho thấy một bằng chứng được công bố nào đó là bị lỗi.

$u[n]$

\begin{matrix} (1) & u_{e} [n] = \frac{1}{2} (u [n] + u [- n]) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} δ [n] \end{matrix}

$u_e[n]=\frac12\left(u[n]+u[-n]\right)=\frac12+\frac12\delta[n]\tag{1}$

$(1)$

\begin{matrix} (2) & DTFT {u_{e} [n]} = π δ (ω) + \frac{1}{2} \end{matrix}

$\text{DTFT}\{u_e[n]\}=\pi\delta(\omega)+\frac12\tag{2}$

$u[n]$

\begin{matrix} (3) & U_{R} (ω) = Re {U (ω)} = π δ (ω) + \frac{1}{2} \end{matrix}

$U_R(\omega)=\text{Re}\{U(\omega)\}=\pi\delta(\omega)+\frac12\tag{3}$

$u[n]$ $U(\omega)$ $U_R(\omega)$ $U(\omega)$ $h[n]=h[n]u[n]$ $h[n]$ $H(\omega)=\frac{1}{2\pi}(H\star U)(\omega)$ $u[n]$ $U(\omega)$

$U_I(\omega)=\text{Im}\{U(\omega)\}$ $u[n]$

\begin{matrix} (4) & u_{o} [n] = \frac{1}{2} (u [n] - u [- n]) = u [n - 1] - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} δ [n] \end{matrix}

$u_o[n]=\frac12\left(u[n]-u[-n]\right)=u[n-1]-\frac12+\frac12\delta[n]\tag{4}$

$(4)$

\begin{aligned} j U_{I} (ω) & = e^{- j ω} U (ω) - π δ (ω) + \frac{1}{2} \\ = e^{- j ω} (U_{R} (ω) + j U_{I} (ω)) - π δ (ω) + \frac{1}{2} \\ = e^{- j ω} (π δ (ω) + \frac{1}{2}) + e^{- j ω} j U_{I} (ω) - π δ (ω) + \frac{1}{2} \\ (5) & = \frac{1}{2} (1 + e^{- j ω}) + e^{- j ω} j U_{I} (ω) \end{aligned}

$\begin{align}jU_I(\omega)&=e^{-j\omega}U(\omega)-\pi\delta(\omega)+\frac12\\&=e^{-j\omega}(U_R(\omega)+jU_I(\omega))-\pi\delta(\omega)+\frac12\\&=e^{-j\omega}\left(\pi\delta(\omega)+\frac12\right)+e^{-j\omega}jU_I(\omega)-\pi\delta(\omega)+\frac12\\&=\frac12(1+e^{-j\omega})+e^{-j\omega}jU_I(\omega)\tag{5}\end{align}$

$(3)$ $(5)$

\begin{matrix} (6) & j U_{I} (ω) (1 - e^{- j ω}) = \frac{1}{2} (1 + e^{- j ω}) \end{matrix}

$jU_I(\omega)(1-e^{-j\omega})=\frac12(1+e^{-j\omega})\tag{6}$

$(6)$

\begin{matrix} (7) & j U_{I} (ω) = \frac{1}{2} \frac{1 + e^{- j ω}}{1 - e^{- j ω}} + c δ (ω) \end{matrix}

$jU_I(\omega)=\frac12\frac{1+e^{-j\omega}}{1-e^{-j\omega}}+c\delta(\omega)\tag{7}$

$U_I(\omega)$ $\omega$ $u[n]$ $c=0$ $(3)$ $(7)$

\begin{aligned} U (ω) & = U_{R} (ω) + j U_{I} (ω) \\ = π δ (ω) + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \frac{1 + e^{- j ω}}{1 - e^{- j ω}} \\ = π δ (ω) + \frac{1}{2} (1 + \frac{1 + e^{- j ω}}{1 - e^{- j ω}}) \\ (8) & = π δ (ω) + \frac{1}{1 - e^{- j ω}} \end{aligned}

$\begin{align}U(\omega)&=U_R(\omega)+jU_I(\omega)\\&=\pi\delta(\omega)+\frac12+\frac12\frac{1+e^{-j\omega}}{1-e^{-j\omega}}\\&=\pi\delta(\omega)+\frac12\left( 1+\frac{1+e^{-j\omega}}{1-e^{-j\omega}}\right)\\&=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{1-e^{-j\omega}}\tag{8}\end{align}$

— Matt L
nguồn