Sự khác biệt giữa biến đổi Hough và Radon là gì?

Tôi quen thuộc với biến đổi Radon từ việc tìm hiểu về quét CT, nhưng không phải là biến đổi Hough. Wikipedia nói

Mặt phẳng (r,) đôi khi được gọi là không gian Hough cho tập hợp các đường thẳng theo hai chiều. Sự biểu diễn này làm cho biến đổi Hough về mặt khái niệm rất gần với biến đổi Radon hai chiều. (Chúng có thể được xem là những cách khác nhau để xem cùng một biến đổi. [5])

Đầu ra của chúng trông giống với tôi:

• Wolfram Alpha: Radon
• Wolfram Alpha: Hough

Vì vậy, tôi không hiểu sự khác biệt là gì. Có phải chúng chỉ giống nhau được nhìn theo những cách khác nhau? Lợi ích của mỗi quan điểm khác nhau là gì? Tại sao họ không kết hợp thành "biến đổi Hough-Radon"?

Biến đổi Hough và biến đổi Radon thực sự rất giống nhau và mối quan hệ của chúng có thể được định nghĩa một cách lỏng lẻo vì trước đây là một dạng rời rạc của sau này.

Biến đổi Radon là một biến đổi tích phân toán học, được xác định cho các hàm liên tục trên $\mathbb{R}^n$ trên các siêu phẳng trong . Mặt khác, biến đổi Hough vốn là một thuật toán riêng biệt phát hiện các đường (có thể mở rộng sang các hình dạng khác) trong một hình ảnh bằng cách bỏ phiếu và bỏ phiếu (hoặc bỏ phiếu).$\mathbb{R}^n$

Tôi nghĩ rằng một sự tương tự hợp lý cho sự khác biệt giữa hai sẽ giống như sự khác biệt giữa

1. tính toán hàm đặc trưng của một biến ngẫu nhiên là biến đổi Fourier của hàm mật độ xác suất (PDF) và
2. tạo ra một chuỗi ngẫu nhiên, tính toán PDF theo kinh nghiệm của nó bằng cách tạo biểu đồ và sau đó chuyển đổi nó một cách thích hợp.

Tuy nhiên, biến đổi Hough là một thuật toán nhanh có thể dễ bị một số tạo tác nhất định. Radon, âm thanh toán học hơn, chính xác hơn nhưng chậm hơn. Trong thực tế, bạn có thể thấy các tạo tác trong ví dụ biến đổi Hough của bạn dưới dạng các chuỗi dọc. Đây là một ví dụ nhanh khác trong Mathicala:

img = Import["http://i.stack.imgur.com/mODZj.gif"];
radon = Radon[img, Method -> "Radon"];
hough = Radon[img, Method -> "Hough"];
GraphicsRow[{#1, #2, ColorNegate@ImageDifference[#1, #2]} & @@ {radon,hough}]

Hình ảnh cuối cùng thực sự mờ nhạt, mặc dù tôi đã phủ nhận nó để hiển thị các cảnh trong màu tối, nhưng nó ở đó. Nghiêng màn hình sẽ giúp. Bạn có thể nhấp vào tất cả các số liệu cho một hình ảnh lớn hơn.

Một phần lý do tại sao sự tương đồng giữa hai người không được biết đến nhiều là vì các lĩnh vực khoa học & kỹ thuật khác nhau trong lịch sử chỉ sử dụng một trong hai thứ này cho nhu cầu của họ. Ví dụ, trong chụp cắt lớp (y tế, địa chấn, v.v.), kính hiển vi, v.v., biến đổi Radon có lẽ được sử dụng riêng. Tôi nghĩ lý do cho điều này là việc giữ các cổ vật ở mức tối thiểu là vô cùng quan trọng (một cổ vật có thể là một khối u chẩn đoán sai). Mặt khác, trong xử lý hình ảnh, thị giác máy tính, v.v., đó là biến đổi Hough được sử dụng vì tốc độ là chính.

Bạn có thể thấy bài viết này khá thú vị và thời sự:

M. van Ginkel, CL Luengo Hendriks và LJ van Vliet, Giới thiệu ngắn về các biến đổi Radon và Hough và cách chúng liên quan với nhau , Nhóm hình ảnh định lượng, Phòng Khoa học & Công nghệ hình ảnh, TU Delft

Các tác giả cho rằng mặc dù cả hai có liên quan rất chặt chẽ (theo định nghĩa ban đầu của chúng) và tương đương nếu bạn viết biến đổi Hough dưới dạng biến đổi liên tục, Radon có lợi thế là trực quan hơn và có cơ sở toán học vững chắc.

Ngoài ra còn có biến đổi Radon tổng quát tương tự như biến đổi Hough tổng quát, hoạt động với các đường cong tham số thay vì các đường. Đây là một tài liệu tham khảo liên quan đến nó:

Toft, PA, "Sử dụng biến đổi Radon tổng quát để phát hiện các đường cong trong hình ảnh nhiễu" , IEEE ICASSP-96, Vol. 4, 2219-2222 (1996)

Ngoài ra với câu trả lời của Lorem Ipsum giải thích về biến đổi Hough như một dạng biến đổi Radon rời rạc, tôi thích cách giải thích mô tả này - cũng theo Ginkel và những người khác :

$\rho$$\theta$

$\theta$$\theta$$\Delta\rho$$(x,y)$ và thêm cường độ thích hợp cho tất cả các thùng không gian tham số tương ứng.

$\Delta\theta$$\Delta\rho$

$\theta$$\theta$

Tôi đoán Hough chiếm ưu thế trong nhiều lĩnh vực vì thuật toán đơn giản của nó, trong khi Radon được sử dụng trong đó độ chính xác là rất quan trọng hoặc kiến ​​thức tiên nghiệm có sẵn.

Xem thêm Matlab tài liệu tham khảo (mở rộng Algorithm tab):

www.mathworks.com/help/images/ref/radon.html

www.mathworks.com/help/images/ref/hough.html