Nếu bạn thực hiện một biểu đồ FFT của một tín hiệu đơn giản, như:

t = 0:0.01:1 ;
N = max(size(t));
x = 1 + sin( 2*pi*t ) ;
y = abs( fft( x ) ) ;
stem( N*t, y )

Hình sin 1Hz + DC

FFT ở trên

Tôi hiểu rằng số trong thùng thứ nhất là "có bao nhiêu DC" trong tín hiệu.

y(1)  %DC
  > 101.0000

Số trong thùng thứ hai phải là "bao nhiêu chu kỳ trên toàn bộ tín hiệu" có:

y(2)  %1 cycle in the N samples
  > 50.6665

Nhưng đó không phải là 101! Đó là khoảng 50,5.

Có một mục khác ở cuối tín hiệu fft, có độ lớn bằng nhau:

y(101)
  > 50.2971

Thế là 50,5 nữa.

Câu hỏi của tôi là, tại sao FFT được nhân đôi như thế này? Tại sao nó không phải là 101 in y(2)(tất nhiên điều đó có nghĩa là, tất cả 101 thùng tín hiệu của bạn có hình sin 1 Hz trong đó?)

Nó sẽ chính xác để làm:

mid = round( N/2 ) ;

% Prepend y(1), then add y(2:middle) with the mirror FLIPPED vector
% from y(middle+1:end)
z = [ y(1), y( 2:mid ) + fliplr( y(mid+1:end) ) ];

stem( z )

Lật và bổ trợ nửa sau của vectơ FFT

Bây giờ tôi nghĩ, phần được nhân đôi ở phía bên tay phải được thêm vào một cách chính xác, mang lại cho tôi "tất cả 101 thùng FFT mong muốn chứa một hình sin 1Hz"

>> z(2)

ans =

  100.5943

Các tín hiệu thực được "nhân đôi" trong nửa thực và âm của biến đổi Fourier vì bản chất của biến đổi Fourier. Biến đổi Fourier được định nghĩa như sau-

$H(f) = \int h(t)e^{-j2\pi ft}dt$

Về cơ bản, nó tương quan tín hiệu với một loạt các hình sin phức tạp, mỗi hình có tần số riêng. Vì vậy, những hình sin phức tạp trông như thế nào? Hình dưới đây minh họa một hình sin phức tạp.

"Nút chai" là hình sin phức tạp xoay theo thời gian, trong khi hai hình sin đi theo nó là các thành phần thực và ảo được trích xuất của hình sin phức tạp. Người đọc sắc sảo sẽ lưu ý rằng các thành phần thực và ảo là giống hệt nhau, chỉ có chúng lệch pha nhau 90 độ ( ). Vì chúng lệch pha 90 độ nên chúng trực giao và có thể "bắt" bất kỳ thành phần nào của tín hiệu ở tần số đó.$\frac{\pi}{2}$

Mối quan hệ giữa hàm mũ và cosin / sin được đưa ra theo công thức của Euler -

$e^{jx} = cos(x) + j*sin(x)$

$$H(f) = \int h(t)e^{-j2\pi ft}dt \\ = \int h(t)(cos(2\pi ft) - j*sin(2\pi ft))dt$$

$$H(-f) = \int h(t)(cos(2\pi (-f)t) - j*sin(2\pi (-f)t))dt \\ = \int h(t)(cos(2\pi ft) + j*sin(2\pi ft))dt$$

So sánh phiên bản tần số âm với phiên bản tần số dương cho thấy cosin giống nhau trong khi sin bị đảo ngược. Tuy nhiên, chúng vẫn lệch pha nhau 90 độ, cho phép chúng bắt bất kỳ thành phần tín hiệu nào ở tần số (âm) đó.

Bởi vì cả hai hình sin tần số dương và âm đều lệch pha 90 độ và có cùng độ lớn, cả hai sẽ phản ứng với tín hiệu thực theo cùng một cách. Hay đúng hơn, mức độ phản ứng của họ sẽ giống nhau, nhưng giai đoạn tương quan sẽ khác nhau.

EDIT: Cụ thể, tương quan tần số âm là liên hợp của tương quan tần số dương (do thành phần hình sin tưởng tượng ngược) cho các tín hiệu thực. Theo thuật ngữ toán học, đây là, như Dilip đã chỉ ra, như sau-

$H(-f) = [H(f)]^*$

Một cách khác để suy nghĩ về nó:

Các thành phần tưởng tượng chỉ có vậy .. Hình ảnh! Chúng là một công cụ, cho phép sử dụng một mặt phẳng phụ để xem mọi thứ trên và thực hiện nhiều xử lý tín hiệu số (và tương tự), nếu không dễ dàng hơn nhiều so với sử dụng các phương trình vi phân!

$^\dagger$

$^\dagger$$5i$

$N$$101$$N$$N$$2^k$$4^k$ để tăng tốc tính toán DFT thông qua FFT.

$\mathbf x = \bigr(x[0], x[1], x[2], \ldots, x[N-1]\bigr)$$N$$\mathbf X =\bigr(X[0], X[1], X[2], \ldots, X[N-1]\bigr)$

$$X[m] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(-j2\pi \frac{m}{N}\right)\right)^n, m = 0, 1, \ldots, N-1$$ $j = \sqrt{-1}$$\mathbf X$$\mathbf x$$\mathbf x$$\displaystyle X[0]=\sum_{n=0}^{N-1} x[n]$$N$$\exp(-j\pi) = -1$ $$X\left[\frac{N}{2}\right] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(-j2\pi \frac{N/2}{N}\right)\right)^n = \sum_{n=0}^{N-1} x[n](-1)^n$$ $N$$\mathbf X$$\mathbf x$ $m$$1 \leq m \leq N-1$ $$\begin{align*} X[m] &= \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(-j2\pi \frac{m}{N}\right)\right)^n\\ X[N-m] &= \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(-j2\pi \frac{N-m}{N}\right)\right)^n\\ &= \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(-j2\pi + j2\pi\frac{m}{N}\right)\right)^n\\ &= \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(j2\pi\frac{m}{N}\right)\right)^n\\ &= \left(X[m]\right)^* \end{align*}$$ $1 \leq m \leq N-1$$X[N-m] = \left(X[m]\right)^*$$m = N/2$$N$$X[N/2] = \left(X[N/2]\right)^*$$X[N/2]$

$m$$(N-m)$

$1$

---

$\mathbf x$$1$$1$

$$x[n] = 1 + \sin(2\pi (0.01n)), ~ 0 \leq n \leq 100$$ $x[0] = x[100] = 1$$101$ $$X[m] = \sum_{n=0}^{100} \left(1+\sin\left(2\pi \left(\frac{n}{100}\right)\right)\right)\left(\exp\left(-j2\pi \frac{m}{101}\right)\right)^n$$ $100$$101$$X[m]$$2 \leq m \leq 99$t$100$$t=0, 0.01, 0.02, \ldots, 0.99$ $$x[n] = 1 + \sin(2\pi (0.01n)), ~ 0 \leq n \leq 99.$$ $$X[m] = \sum_{n=0}^{99} \left(1+\sin\left(2\pi \left(\frac{n}{100}\right)\right)\right)\left(\exp\left(-j2\pi \frac{m}{100}\right)\right)^n,$$ $\mathbf X = (100, -50j, 0, 0, \ldots, 0, 50j)$$0 \leq n \leq 99$ $$\begin{align*} x[n] &= \frac{1}{100}\sum_{m=0}^{99}X[m]\left(\exp\left(j2\pi \frac{n}{100}\right)\right)^m\\ &= \frac{1}{100}\left[100 - 50j\exp\left(j2\pi \frac{n}{100}\right)^1 + 50j \left(\exp\left(j2\pi \frac{n}{100}\right)\right)^{99}\right]\\ &= 1 + \frac{1}{2j}\left[\exp\left(j2\pi \frac{n}{100}\right) - \exp\left(j2\pi \frac{-n}{100}\right)\right]\\ &= 1 + \sin(2\pi (0.01n)) \end{align*}$$

Lưu ý rằng kết quả FFT được nhân đôi (như đối xứng liên hợp) chỉ khi dữ liệu đầu vào là có thật.

Đối với dữ liệu đầu vào thực sự nghiêm ngặt, hai hình ảnh phản chiếu liên hợp trong kết quả FFT sẽ loại bỏ các phần ảo của bất kỳ hình sin phức tạp nào, và do đó tổng hợp thành một hình sin thực sự (ngoại trừ nhiễu tròn số nhỏ), do đó khiến bạn có biểu hiện nghiêm ngặt sóng hình sin thực.

Nếu kết quả FFT không được nhân đôi, nó sẽ biểu thị dạng sóng có các giá trị phức tạp (các thành phần tưởng tượng khác không), không phải là thứ gì đó thực sự có giá trị.